如何利用低級計算器按出圓周率的值？

01-03

計算器只有數字鍵、四則運算、百分號和等號、根號、+/-、M+/M-/MR/MC、清除鍵，也就是和那些店鋪用的計算器差不多。
假設預先不知道圓周率的準確值，這樣就排除了直接打3.14的方法。
假設計算器的精度足夠高，這樣就排除了計算近似值的方法。
可以用有限步得出準確值，也可以通過可數步，使得其中一個子列的值極限是圓周率，在這種情況下，收斂得越快越好，且最好為周期性地按按鈕，不需要人工計數。
這是一個思維實驗，不是代為完成的個人任務！

請認真審題謝謝！

我最先想到的是連分式，因為如果計算器上有[倒數]鍵，這就是最適合「周期性按鍵」的公式了。

很不幸，找到的幾個連分式的「通項」都不是常數：

我最終找到的、最適合「周期性按鍵」的公式是這個：

$frac{2}{pi} = sqrt{frac{1}{2}} cdot sqrt{frac{1}{2} + frac{1}{2}sqrt{frac{1}{2}}} cdot sqrt{frac{1}{2} + frac{1}{2}sqrt{frac{1}{2} + frac{1}{2}sqrt{frac{1}{2}}}} cdot cdots$

如果計算器上有[M*]鍵，表示把存儲器中數值更新成「存儲器中數值與當前結果的乘積」，則用以下步驟可以得到pi：

[MC] [.] [5] [sqrt] [M+] // 把 $sqrt{1/2}$ 存入存儲器
[/] [2] [+] [.] [5] [=] [sqrt] [M*] // 重複足夠多次，計算連乘積
[2] [/] [MR] [=] // 得到pi

一般的計算器上並沒有[M*]鍵，但如果有[log]和[exp]鍵，也可以迂迴一下：

[MC] [.] [5] [sqrt] [log] [M+] // 把 $log sqrt{1/2}$ 存入存儲器
[exp] [/] [2] [+] [.] [5] [=] [sqrt] [log] [M+] // 重複足夠多次，計算連乘積的對數
[2] [/] [MR] [exp] [=] // 得到pi

用割圓術

已知AB長度為a和圓半徑r求AC長度

AC=sqrt（2r^2-2r*sqrt（r^2-1/4a^2））

圓內切正四邊形邊長sqrt（2）*r，面積為2r^2

圓內切正八邊形邊長sqrt（2-sqrt（2））*r，面積為2sqrt（2）r^2

圓內切正十六邊形邊長sqrt（2-sqrt（2+sqrt（2）））r，面積為4sqrt（2-sqrt（2））r^2

圓內切正三十二邊形邊長sqrt（2-sqrt（2+sqrt（2+sqrt（2））））r，面積為8sqrt（2-sqrt（2+sqrt（2）））r^2

普通計算器沒法根號裡面加根號，不過可以從右往左一步一步算。

以正六十四邊形為例，按鍵順序為2/根號/+/2/=/根號/+/2/=/根號/-/2/=/+-/根號/*/16/=3.13654849072

由於計算器有精度限制，一般會在中間某個值最接近圓周率，再往後就變成0了，一般算出來也就和祖沖之的差不多。

不可能用有限步得到準確值。這個結論很出名大家應該都知道。（古希臘三大幾何難題之化圓為方，或者可以說「π是超越數」）

π的展開式太多了，總有一款適合你，前人之述備矣。

另外題主不允許近似值卻允許極限為π的數列，這件事情挺矛盾的。大概題主要的是一個可以任意精確的演算法。

這個答案算是回答了題主的問題的一個沒人回答過的部分…另外希望有人探討計算器舍入誤差的影響以及如何估計誤差的問題。

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給個好玩的但是不符合題主要求的演算法吧。額外道具：硬幣一枚，紙和筆。

用硬幣生成二進位隨機數0.abcd…abcd由硬幣兩面決定是零還是1。小數位數由需要的精度確定。轉換成十進位。

每生成一對兒之後算一下x^2+y^2，小於1的話計數。

做了很多組之後。

把小於1的計數和總對數做商乘4即得到圓周率近似值。

根據大數定律，只要實驗次數足夠多，它與π的差小於預先給定的值的概率和1的差小於預先給定的值。

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再來一種方法：

計算

(1/1)/2+1/1.01+1/1.04+1/1.09+1/1.16+1/1.25+1/1.36+1/1.49+1/1.64+1/1.81+(1/2)/2

然後乘4除10得到3.14

pi 是超越數,計算機敲不出精確值

lim (1 - 1/3 +1/5 - 1/7 + 1/9 - ... ) = pi/4

可以打 4 = m+; 4 / 3 = m-; 4 / 5 = m+; 4 / 7 = m- ...

用捲尺量好周長，量出r，用計算器一除

割圓術

內割：

pi=lim（k趨於無窮）ksin（180/k）

外切：

pi=lim ktan（180/k）

割到96份時已經夠用了

如果內割面積，公式稍稍複雜：

pi=lim ksin（180/k）cos（180/k）

不會用打公式，好遺憾

如果真的只有加減乘除，並且對π完全不知道的話，那還是把計算器丟了吧！

回去拿張紙，一支筆，一把尺，割圓

馬青公式啊

Approximations of π

(知乎無法識別出π只好手打。。。)

這個頁面里有很多很好的方法。比如說如果限制稍微放鬆一點的話可以用 $pi=16 arctan frac15 - 4 arctan frac{1}{239}$

嚴格一點的話可以用

$pi=2(1+frac13+frac{1cdot 2}{3cdot 5}+frac{1cdot 2cdot 3}{3cdot 5 cdot 7}+cdots)$

還有我個人很喜歡的

$pi=2(1+frac13(1+frac25(1+frac37(cdots))))$

我一般會直接寫出30位不要問我為什麼因為後面的我沒被會

這是我當年看傳記書記住的。

祖率（祖沖之算的圓周率）的密率是355/113

你不愛敲的話記這個

但我想我們小時候教背的3.1415926敲上更容易。