請問σ-代數(sigma-algebra)的含義是什麼,能否舉例說明?
假設擲一枚6面骰子,集合{1,2,3,4,5,6}是概率空間中的Ω
Ω的所有子集是:{空,1},{空,2},……,{空,6},{空,1,2},{空,1,3},……,{空,1,2,3},……,{空,1,2,3,4,5,6}。這些子集構成概率空間中的F。那麼這其中有哪些可以構成sigma代數?哪些不能?例如{空,1}與{空,1,2,3,4,5,6}能構成一個sigma代數嗎,如果是,那麼這個sigma代數是寫作{{空,1},{空,1,2,3,4,5,6}}嗎?如果是{空,1}與{空,2}呢?能構成sigma函數嗎??
告訴一個人三個準則,讓其計算-field 太簡單了,初一學生學過集合基本概念都會。
但是有很多人其實能夠做題,但是實際上並不能夠透徹的理解它們的含義,我相信題主是希望徹底或者儘可能多理解它的各個方面的~
我根據描述認為你的問題時建立在概率論這個範疇內的哈,我給它增加了「概率論」的標籤
我的這個答案就限定在概率論的領域內了(其實其它領域的應用我也不夠了解。。。)首先我們得知道,為啥在概率空間三要素中(-Sample space 樣本空間,試驗中所有可能結果的集合。(註:每個結果需要互斥,所有可能結果必須被窮舉)
-Set of events 事件集合,是
的一些子集構成的集合。(這裡注意哦,這個集合的每個元素也是集合哦,所以描述中直接寫1,2,3,4 是不對的,應該是{1},{2},{3}等???????),並且它需要滿足以下三點特性(也就是必須是
-field):
(也就是必須包含不可能事件)
- 如果
,
。
- 如果
,那麼
(似乎我記得有翻譯成可列可加和)
-Probability measure 概率測度(或概率),描述一次隨機試驗中被包含在
中的所有事件的可能性。並且它「碰巧」也需要滿足三點特性:
(實際限制了總測度為1)
(包含樣本空間並且概率為1)
- 如果
是互斥事件,那麼
你發現了沒有,2.與3. 雖然有一點不同,但整體上幾乎就是對應的~
也就是我們習慣意義上的概率似乎是定義在
上的,然而概率裡面的
定義卻是在
上的函數。這點非常重要!
的第1. 與2.點可以推出
,發現了不,它和
的第2. 點對應。
的第3. 點和
的第三點對應
相對於
就是就多了個限制-「總測度為1」,其它幾乎一一對應,其實你非要定義個2也行,就是已經這麼定了~~
你可能會覺得有啥用呢,我咋平時做題從來沒管過他呢? 實際上你在不知不覺中就這麼用了,知識有的時候用的「太過自然」,以至於忘了最初的夢想!不對。。。是最初的嚴格限制。
舉個極簡單的例子,比如如果一輛車在0點到1點的任何時間都可以到達,這個時候有無窮多個,並且還他喵的「不可數」,然後你就會發現你沒有辦法對任何一個「結果」
進行概率的分配。 這個時候不管你咋想的,甚至你做題都會自然的寫出來的概率表達式其實建立在如下的一個
和對應的
上。
對於任意的。
- 我們現代的概率與經典概率不同,我們的概率是定義在一群符合某些條件的「事件」上的。而經典概率是定義在不同「結果」上的。
- 概率空間中的
是定義在
上的函數。
與
各個性質幾乎完全相對應,其實構建
實際上是為了讓我們得到一個自洽的體系。因為面對某些「不可數」的概率空間,經典概率理論可以說是懵圈了~~?o??o?
前面「高大上」的總體性的內容寫的應該足夠清楚了,下面就是解決你的具體問題了(雖然我覺得你應該都會了),我來隨便給出幾種-field 的答案:
(空集和樣本空間,這個很偷懶哈,但它還真是對的??????)
(按奇偶來分一分)
(這裡表示為Power set-冪集,也就是
的全部子集)
=?????????? =?????????? =?????????? =?????????? =??????????
公式比較多,知乎這一塊做的不夠好,為了確保顯示正確請用電腦查看吧~~
又是大半夜趕完正事兒想答一下這個題,晚睡的毛病得改。。。可能有錯別字哈,擔待一下下,歡迎探討,我去睡覺咯~~~sigma代數其實是個集合系,它保證在這裡頭的集合,不管如何做交差並補,隨便做可列次,結果都還在這個系裡面.這對運算的良定義是很關鍵的.
sigma-代數應該是集族,是選取 X 的某些子集作為元素的集合。記 Ω = {1,2,3,4,5,6}比如最小的 sigma-代數是 {?,Ω}={?,{1,2,3,4,5,6}};最大的 sigma-代數是以 Ω 的全體子集(共 2^6 個)為元素的集族。所以你問題中的寫法就不對了,1 並不是 Ω 的子集,{1} 才是。----------------------------------------------------------------------------------------突然覺得你好像是對空集的理解有問題。。。? 是 Ω 的子集;{?} 不是 Ω 的子集;{?,1} 不是 Ω 的子集;{?,1,2,3,4,5,6} 不是 Ω 的子集。。。
革命與西格瑪域 - 知乎專欄:再寫一篇科普。。。。。O(∩_∩)O~
首先你空集和子集的概念理解不對。
其實sigma代數簡單說,就是一堆包含空集在內的集,能取補集,能取並集(可數並,對有限集只需任意兩個取並)。
例如{?,Ω,{1,2},{3}}不是,為了讓它是,你得添加{1,2}並{3}也就是{1,2,3}.還得添加各自的補集。
對於有限集而言,你倒不妨把上面這個例子理解為{1,2},{3},{4,5,6}中任意取幾個並。這可以看作把一些基本事件拼到一起當作整體,而不考慮拆分它們。對於有限集而言,沒有什麼本質的意義,只是可能丟掉了一些事件。然而對於無限集而言,如果你要讓每個事件都有概率,由於不可測集的存在,一定會出現無法自洽的情況。所以引入sigma代數就是既能做可數並交,又能做補集,但允許排除一些不可測集。從而不用討論它們的概率。讓概率的理論在一個相對寬鬆的限制之下可以自由運用。媽呀,我找了至少5個youtube視頻才找到一個說人話的,也就是給出個全面詳細的例子的,我不知道理解的對不對奧
比如全集={1,2,3}
1.列出power set={{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{3,1},空,全} 2^N個2.從這8個裡面任意選組合綁定,比如A={{1},{2}}3.判斷2個條件一.任意一個A中的元素的補集也得在A中,你看奧A中的{1}在全集里的補集是{2,3},顯然不在A里,所以第一條不符合二:任意A中元素的並集也在A中{1,2}顯然不在所以A這麼選不是個sigma algebra
如果以上我理解的對,那麼我依然有2個問題1.聲明一個概率測度空間的時候,這個sigma代數是所有符合條件的sigma代數的還是其中任意一個?2.這玩意除了寫法高大上外和概率到底有啥本質的關係。。。。。請用人話給一個可視化的例子被
個人認為,sigma field可以在某種程度上理解為集合連續性。對於一元函數,我們很多情況下希望它的定義域或值域是連續(稠密?)的,這樣它便具有很多「良」的性質,例如,在定義上的每一點皆有定義、介值性等。這樣更易於理解和研究。對於概率空間,P measure的「定義域」可以理解為sigma field,P在定義上連續表明P對可能出現的所有事件都能給出一個概率,甚至這些概率還是「連續的」。
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