請問σ-代數（sigma-algebra）的含義是什麼，能否舉例說明？

01-03

假設擲一枚6面骰子，集合｛1，2，3，4，5，6｝是概率空間中的Ω
Ω的所有子集是：｛空，1｝，｛空，2｝，……，｛空，6｝，｛空，1，2｝，｛空，1，3｝，……，｛空，1，2，3｝，……，｛空，1，2，3，4，5，6｝。這些子集構成概率空間中的F。
那麼這其中有哪些可以構成sigma代數？哪些不能？
例如｛空，1｝與｛空，1，2，3，4，5，6｝能構成一個sigma代數嗎，如果是，那麼這個sigma代數是寫作｛｛空，1｝，｛空，1，2，3，4，5，6｝｝嗎？
如果是｛空，1｝與｛空，2｝呢？能構成sigma函數嗎？？

告訴一個人三個準則，讓其計算 $sigma$ -field 太簡單了，初一學生學過集合基本概念都會。

但是有很多人其實能夠做題，但是實際上並不能夠透徹的理解它們的含義,我相信題主是希望徹底或者儘可能多理解它的各個方面的~

我根據描述認為你的問題時建立在概率論這個範疇內的哈，我給它增加了「概率論」的標籤

我的這個答案就限定在概率論的領域內了（其實其它領域的應用我也不夠了解。。。）

首先我們得知道，為啥在概率空間三要素中( $Omega$ , $mathcal{F}$ , $P$ ) 要有 $mathcal{F}$ 。而且 $mathcal{F}$ 必須是 $sigma$ －field。最最最重要的就是這三者的定義，我盡我所能說到最準確（說實話我其實覺得英語的定義更好看些，中文有好幾種翻譯，並且會讓人誤解）：

$Omega$ －Sample space 樣本空間，試驗中所有可能結果的集合。（註：每個結果需要互斥，所有可能結果必須被窮舉）
$mathcal{F}$ －Set of events 事件集合，是 $Omega$ 的一些子集構成的集合。（這裡注意哦，這個集合的每個元素也是集合哦，所以描述中直接寫1，2，3，4 是不對的，應該是{1},{2},{3}等???????），並且它需要滿足以下三點特性（也就是必須是 $sigma$ －field）：

$Phi in mathcal{F}$ （也就是必須包含不可能事件）
如果 $Ein mathcal{F}$ , $E^cin mathcal{F}$ 。
如果 $E_1,E_2,...,E_i inmathcal{F}$ ,那麼 $U_{i=1}^{infty }E_iinmathcal{F}$ （似乎我記得有翻譯成可列可加和）

$mathcal{P}$ －Probability measure 概率測度（或概率），描述一次隨機試驗中被包含在 $mathcal{F}$ 中的所有事件的可能性。並且它「碰巧」也需要滿足三點特性：

$0leq P(E)leq 1$ （實際限制了總測度為1）
$P(Omega)=1$ （包含樣本空間並且概率為1）
如果 $E_1,E_2,...,E_i$ 是互斥事件,那麼 $P(U_{i=1}^{infty }E_i)=sum_{i=1}^{infty}{P(E_i)}$

你發現了沒有，2.與3. 雖然有一點不同，但整體上幾乎就是對應的～

$mathcal{P}: mathcal{F} ightarrow R$ 也就是我們習慣意義上的概率似乎是定義在 $Omega$ 上的，然而概率裡面的 $mathcal{P}$ 定義卻是在 $mathcal{F}$ 上的函數。這點非常重要！
$mathcal{F}$ 的第1. 與2.點可以推出 $phi^c=Omega in mathcal{F}$ ，發現了不，它和 $mathcal{P}$ 的第2. 點對應。
$mathcal{F}$ 的第3. 點和 $mathcal{P}$ 的第三點對應
$mathcal{P}$ 相對於 $mathcal{F}$ 就是就多了個限制－「總測度為1」，其它幾乎一一對應，其實你非要定義個2也行，就是已經這麼定了～～

你可能會覺得 $mathcal{F}$ 有啥用呢，我咋平時做題從來沒管過他呢？實際上你在不知不覺中就這麼用了，知識有的時候用的「太過自然」，以至於忘了最初的夢想！不對。。。是最初的嚴格限制。

舉個極簡單的例子，比如如果一輛車在0點到1點的任何時間都可以到達，這個時候 $Omega$ 有無窮多個，並且還他喵的「不可數」，然後你就會發現你沒有辦法對任何一個「結果」 $omega$ 進行概率的分配。這個時候不管你咋想的，甚至你做題都會自然的寫出來的概率表達式其實建立在如下的一個 $mathcal{F}$ 和對應的 $mathcal{P}$ 上。

對於任意的 $[x_1,x_2] (0le x_1le x_2le1),P([x_1,x_2])=x_2-x_1$ 。

來來來，總結總結剛才討論的：

我們現代的概率與經典概率不同，我們的概率是定義在一群符合某些條件的「事件」上的。而經典概率是定義在不同「結果」上的。
概率空間中的 $mathcal{P}$ 是定義在 $mathcal{F}$ 上的函數。 $mathcal{F}$ 與 $mathcal{P}$ 各個性質幾乎完全相對應，其實構建 $mathcal{F}$ 實際上是為了讓我們得到一個自洽的體系。因為面對某些「不可數」的概率空間，經典概率理論可以說是懵圈了~~?o??o?

前面「高大上」的總體性的內容寫的應該足夠清楚了，下面就是解決你的具體問題了（雖然我覺得你應該都會了），我來隨便給出幾種 $sigma$ -field 的答案：

$mathcal{F}_1={Phi ,Omega }$ （空集和樣本空間，這個很偷懶哈，但它還真是對的??????）
$mathcal{F}_2={Phi ,{1,3,5},{2,4,6},Omega }$ （按奇偶來分一分）
$mathcal{F}_3={{0,1}}^Omega$ （這裡表示為Power set-冪集，也就是 $Omega$ 的全部子集）

=?????????? =?????????? =?????????? =?????????? =??????????

公式比較多，知乎這一塊做的不夠好，為了確保顯示正確請用電腦查看吧~~

又是大半夜趕完正事兒想答一下這個題，晚睡的毛病得改。。。可能有錯別字哈，擔待一下下，歡迎探討，我去睡覺咯~~~

sigma代數其實是個集合系,它保證在這裡頭的集合,不管如何做交差並補,隨便做可列次,結果都還在這個系裡面.這對運算的良定義是很關鍵的.

sigma-代數應該是集族，是選取 X 的某些子集作為元素的集合。記 Ω = {1,2,3,4,5,6}

比如最小的 sigma-代數是 {?,Ω}={?,{1,2,3,4,5,6}}；

最大的 sigma-代數是以 Ω 的全體子集（共 2^6 個）為元素的集族。

所以你問題中的寫法就不對了，1 並不是 Ω 的子集，{1} 才是。

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突然覺得你好像是對空集的理解有問題。。。

? 是 Ω 的子集；

{?} 不是 Ω 的子集；

{?,1} 不是 Ω 的子集；

{?,1,2,3,4,5,6} 不是 Ω 的子集。。。

革命與西格瑪域 - 知乎專欄：再寫一篇科普。。。。。O(∩_∩)O~

首先你空集和子集的概念理解不對。

其實sigma代數簡單說，就是一堆包含空集在內的集，能取補集，能取並集（可數並，對有限集只需任意兩個取並）。

例如{?,Ω,{1,2},{3}}不是，為了讓它是，你得添加{1,2}並{3}也就是{1,2,3}.還得添加各自的補集。

對於有限集而言，你倒不妨把上面這個例子理解為{1,2},{3},{4,5,6}中任意取幾個並。

這可以看作把一些基本事件拼到一起當作整體，而不考慮拆分它們。

對於有限集而言，沒有什麼本質的意義，只是可能丟掉了一些事件。

然而對於無限集而言，如果你要讓每個事件都有概率，由於不可測集的存在，一定會出現無法自洽的情況。

所以引入sigma代數就是既能做可數並交，又能做補集，但允許排除一些不可測集。從而不用討論它們的概率。讓概率的理論在一個相對寬鬆的限制之下可以自由運用。

媽呀，我找了至少5個youtube視頻才找到一個說人話的，也就是給出個全面詳細的例子的，我不知道理解的對不對奧

比如全集={1,2,3}

1.列出power set={{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{3,1},空,全} 2^N個

2.從這8個裡面任意選組合綁定，比如A={{1},{2}}

3.判斷2個條件

一.任意一個A中的元素的補集也得在A中，你看奧A中的{1}在全集里的補集是{2,3}，顯然不在A里，所以第一條不符合

二：任意A中元素的並集也在A中{1,2}顯然不在

所以A這麼選不是個sigma algebra

如果以上我理解的對，那麼我依然有2個問題

1.聲明一個概率測度空間的時候，這個sigma代數是所有符合條件的sigma代數的還是其中任意一個？

2.這玩意除了寫法高大上外和概率到底有啥本質的關係。。。。。請用人話給一個可視化的例子被

個人認為，sigma field可以在某種程度上理解為集合連續性。

對於一元函數，我們很多情況下希望它的定義域或值域是連續（稠密？）的，這樣它便具有很多「良」的性質，例如，在定義上的每一點皆有定義、介值性等。這樣更易於理解和研究。

對於概率空間，P measure的「定義域」可以理解為sigma field，P在定義上連續表明P對可能出現的所有事件都能給出一個概率，甚至這些概率還是「連續的」。