Braid group都有哪些應用？任何領域都可以，比如物理學、密碼學等等。?

01-03

順著@qfzklm的答案多說幾句.

有些非常奇怪的二維強關聯量子系統裡面的准激發是所謂anyon. Anyon的交換統計因子平方不是+1, 換句話說, 拖著一個anyon繞另一個anyon兜一圈回來, 波函數會多一個統計相位.

直接後果是, 一個含有多個anyon系統的量子態作為anyon位置的函數是多值的(有branch cut), 在拖著anyon繞來繞去的時候, 波函數的變換構成了一個braid group(而不是簡單的置換群)的表示.

更複雜的系統裡面還會有所謂的non-Abelian anyon. 特別的地方在於波函數的branch cut是矢量的. 兩個anyon繞一繞, 得到的態不是原來的態乘上個相位這麼簡單, 而是另外一個線性無關的態. 這種系統就構成一個braid group的高維表示. 描述這東西的數學是所謂unitary braided fusion category (幺正編辮聚合範疇論), (相對於凝聚態理論用到的數學的平均水平)非常高大上.

這東西實驗上目前還沒有直接觀測到, 但非常熱門. 主流方向包括分數量子霍爾效應, 以及最近幾年熱起來的拓撲超導體相關係統里所謂的Majorana fermions. 終極目標是製造所謂的拓撲量子計算機.

在物理學裡面，這個東西直接涉及anyon，在二維上的粒子之間的統計中非常重要。

可以用來做非線性熱方程Blow-up的刻畫

http://www.ams.org/journals/tran/2011-363-03/S0002-9947-2010-04784-1/S0002-9947-2010-04784-1.pdf

這是以前搜奇奇怪怪的東西時找到的，當時整個不明覺厲

(對了你拿作者名字去孤勾的話搜出的全是柔道運動員...)

物理當中應用應該主要在統計物理方面吧，比如Yang-Baxter equation。

據我所知，至少在數學物理里有應用，比如現在流行的一些範疇化的內容，lie2group,lie2algebra. 可以看看baez的文章。lie2algebra的定義里有一個取代雅可比恆等式的jacobiator identity, 那個就可以用braid的語言來刻畫，實際上就是一個所謂的yang-baxter方程。

當年抽代二最後的讀書報告就寫的是辮群在密碼學中的應用，可惜都忘光了