為什麼整數不能被7整除時，循環節是142857或其循環位移？

01-03

1/7=0.142857...
2/7=0.285714...
3/7=0.428571...
4/7=0.571428...
5/7=0.714285...

6/7=0.857142...
...

這個現象是因為10 是7 的原根。即 10^1,...,10^6 除以7的餘數恰好是1,...,6的一個排列。

這樣比如10^2 mod 7=2，那麼 2/7就是10^2/7的小數部分，所以就恰好是1/7的小數往前挪3位。

所以你要找和7 類似的數，就是等價於找素數p 使得10是模p的原根。

這樣的數是很多的，但是現在似乎除了死算以外，沒有別的找原根的方法。

對於一個素數p，我們把這個性質 10是模p的原根叫做性質A好了。

首先10能被 2,5 整除所以2,5 沒有性質A。 10 mod 3=1 所以3也沒有。

我們知道對任何素數p，(Z/pZ)^{×}作為乘法群同構於 Z/(p-1)Z作為加法群。所以10是p的原根等價於對於任何p-1的真因子d 有 10^d mod p不等於1. 那麼我們只用對d是p-1的極大的真因子進行驗算就可以了。

下面考慮p大於等於7.

注意到p-1是偶數，所以(p-1)/2 是p-1的極大真因子。 10^{(p-1)/2}=1 當且僅當 10是p 的2次剩餘。用2次互反律知道這當且僅當 (p mod 8=±1 且 p mod 5 =± 1) 或 (p mod 8=±3 且 p mod 5 =± 2) .

這時p沒有A.

比方說 p=7時，我們只用驗算d=2,3. 10^2 mod 7=3^mod 7=2mod 7 10^3mod7=2*3mod 7=-1mod 7 都不是1 所以7滿足A。

p=11時，我們要驗算 d=2,5. 注意到10mod 11=-1, 所以 10^2mod 11=1. 所以11 沒有A。

p=13時， 13 mod 8=-3 且 13 mod 5 =-2 所以10^6mod 13=1.所以13 沒有A.

p=17時，只要驗算 d=8, 因為 17 mod 8=1 且 17 mod 5 =2 , 所以 10^8mod17=-1. 所以有A

p=19時，要驗算d=6,9, 因為 19 mod 8=3且 19 mod 5 =-1 , 所以 10^9mod19=-1.

10^6 mod 19=5^3 mod 19=6*5 mod 19= 11 mod 19. 所以 19 有A。

一個自然的問題是，是否有無窮多的p滿足性質A。

這個問題是

Artin"s conjecture on primitive roots 的一個特例。

Artin 的猜想是說

對任何整數a 如果a不是-1且不是完全平方，那麼存在無窮多素數p 使得 a是p的原根。

目前對於任何給定的a，這個猜想都是open的。

但是如果假設廣義黎曼猜想，可以證明Artin"s conjecture on primitive roots 成立。

一個很有意思的結果是Heath-Brown的，證明了除掉最多兩個特例，Artin"s conjecture on primitive roots對所以a都成立。不過對任何數不如10，我們不知道是不是特例。。。

詳細情況見Primitive root modulo n

junyi xie同志正解。

也是剛剛想出來的，還是寫一下吧。

盡量不用太數論的語言來說。

假定分母p是大於5的素數。

1 若1/p的十進位小數循環節長度恰好是p-1，那麼素數p就會有像7一樣的現象.

其實就是把原根換了個說法......

2 若1/p的十進位小數循環節長度為d，此時d一定整除p-1.記k=(p-1)/d，那麼1/p,2/p,...,(p-1)/p可以分成k組，每組d個數.此時每組都有這樣循環的現象.

p.s.把這個問題的奇怪的標籤都去掉怎麼樣？

這太普通了，無數的數字都是如此。簡單列舉幾個：

比如7,17,19,23,29,47,59,61,97……你自己試試算算就知道了。

多說幾句：這裡，可以觀察到：7的循環節共6位數字，17的循環節共16位數字，19的循環節共18位數字，……97的循環節共96位數字……事實上，當一個質數 n 的倒數化成循環小數後，如果循環節的位數等於 n-1，就會出現你說的這種情況。

如果你懂一點抽象代數，可以自己看看：原根 Primitive root modulo n

先向樓上各位大神致敬。

非數學專業，說得比較業餘，請不要打我。

身為幾何級數的愛好者，從幾何級數角度描述一下問題吧。

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有理數 $Q=a/b <1 (a,bin Z)$ 能寫成循環小數的形式，將其按循環節寫成幾何級數就是 $Q=frac{a}{b} =frac{a_1}{1-10^{-n}} =frac{a_1 imes 10^n}{10^n-1}$ 。

其中，n是循環節的長度， $10^n-1=99..9$ (n個9)， $a_{1}$ 是第一個循環節結束之前的數。

那麼， $frac{k}{7} =frac{a_1 imes 10^n}{10^n-1} Rightarrow a_1 imes 10^n=frac{10^n-1}{7} imes k$ ，k = 1, 2,..., 6

當n=1， $10a_1=frac{9}{7}k$ ；
當n=2， $100a_1=frac{99}{7}k$ ；
...直到
當n=6， $10^6a_1=frac{999999}{7}k = 142857k$ ；

然後，142857×2=285714；142857×3=428571；142857×4=571428；142857×5=714285；142857×6=857142；

然後，。。。。。。

好了，這裡已經到了我的智商上限。。。