行列式的意義是什麼？

01-03

從第一次接觸線性代數到現在已經六年了，感覺這門學科還是很有意思的，裡面的向量矩陣在處理問題時很實用也很有實際意義。
但行列式這玩意，在線代里從頭用到尾的東西，到底代表著什麼呢？？有什麼實際的物理意義？應該不僅僅是特徵值的乘積吧？

矩陣的行列式的幾何意義是矩陣對應的線性變換前後的面積比。

不過話說回來，講線性代數的書不一定會講到這個幾何意義，因為定義行列式幾行就寫完了，但是定義面積(體積)，尤其是高維空間的面積(體積)是一件相當麻煩的事情。

如果讀者只讀過線性代數，那麼不妨這樣直觀感受一下行列式。而如果讀者讀過實變函數或者測度論，那麼這個結論可以作為一道不錯的習題。

最初是解線性方程組得到的。世界上有一種東西叫維基百科：行列式。

大概就是先暴力算出2元/3元一次方程組，然後發現定義行列式這種運算符可以把它們的解寫得簡潔而好記（雖然並不好算），也就是Cramer法則。

後來人們又發現了行列式的幾何意義。

關於行列式，我知道三種等價定義：

一是用排列和逆序數定義（國內大多數教材上都用這種定義）；

二是用歸一化（單位矩陣行列式為1）、多線性（當矩陣的某一列所有元素都擴大c倍時，相應行列式也擴大c倍。多的意思是對所有n個列都呈現線性性質）、反對稱（交換兩列行列式反號）來定義；

三是利用代數餘子式和按第一行展開進行歸納定義；

我最喜歡的是第二個定義。行列式等於它的各個列對應的向量張成的平行2n面體的體積，這是因為行列式是一個交替多重線性形式，而我們通常理解的歐式空間中的體積也是這樣一個函數（單位立方體體積為1，沿某條邊擴大c倍體積就擴大c倍，交換兩條邊以後體積反號——這一條是補充定義的，我們認為體積是有向體積，其數值表示體積大小，正負號表示各條邊的排列順序或坐標軸手性），而滿足歸一性、多線性、反對稱性的函數是唯一的，所以行列式的直觀理解就是歐式空間中的有向體積。

用矩陣與線性變換的同構來解釋也很好理解，行列式就是矩陣對應的線性變換對空間的拉伸程度的度量，或者說物體經過變換前後的體積比。特別地，如果矩陣不是滿秩的，意味著一個 $n$ 維的空間變換後被壓扁了，變成了其中的一個 $n-1$ 維的超平面甚至是維度更低的超直線，所以原來空間中的體積元在變換後體積為0，此時行列式也是0。多元函數積分作變數代換後要乘一個Jacobi行列式就是這個道理，表示變換前後的微元體積比。

從行列式的公理化定義出發容易看出來，這是一個從n階矩陣到R的映射，滿足三條性質(具體的學過應該知道)。但最重要的應該是在線性映射中的應用。

每一個線性映射都能用矩陣來表示，為了對應線性映射的複合，才有了現在的矩陣乘法，而在這個乘法下的行列式就成了這個樣子。但是現行的很多教材上來就是行列式的計算，大家根本不知道這個是咋來的。。

舉個栗子~

用三維空間：（x,y,z）

三個點：

A(1,0,0)

B(0,2,0)

C(0,0,3)

行列式寫為：

∣1 0 0∣

∣0 2 0∣ = 6

∣0 0 3∣

就是三個點構成的體積：長方體 1*2*3 = 6

--------------------------------------華麗的分割線------------------------------------------

現在令：B為B『(0,2,2)，C為C『(3,0,3)

行列式寫為：

∣1 0 0∣

∣0 2 2∣ = 6

∣3 0 3∣

三個點構成的長方體體積還是： 1*2*3 = 6

--------------------------------------華麗的分割線------------------------------------------

∣1 0 0∣

∣0 2 2∣ = 6

∣3 0 3∣

變成方程的形式：

1x + 0y + 0z = t1

0x + 2y + 2z = t2

3x + 0y + 3z = t2

每一條方程可以畫一個平面

這裡有三個平面，他們相交得到的空間體積等於6

這例子描述的就是是行列式的幾何直觀的意義。

實際上一個n維方陣對應著n維歐式空間到自身的一個線性變換，而這個線性變換把歐式空間的體積元變成多少倍就是它的行列式，所以有正負的區別。

這也是為什麼在做多元積分的變數代換時需要乘一個雅可比矩陣的行列式絕對值。參考: Arnold 經典力學的數學方法第七章

《線性代數應該這樣學》一書中類比了體積的概念。Hoffiman的《linear algebra》中把行列式定義為矩陣上的一個函數，然後規定函數的一些性質，最終導出了這個函數的具體形式。

最開始發明行列式的人還沒理解到線性變換前後面積比的情況，他得到了這個式子，發現這個式子對解線性方程租很有用（當時來說很方便），於是他把這個式子取名determinant（「決定因素」）最初的意思是在解線性方程組過程中的決定性「參數」。後來有了線性代數後發現這個「參數」在解決很多線性代數很多其它問題里也有很大作用，再後來才明確了它在線性變換時的幾何意義…然而我們用的時候其實只要理解到它是一個「參數」就夠了，一次聽北大的教授尤承業老師講線代課時對我們學生說：「他說在我理解來，行列式在線代中的地位就是一個工具，關鍵在求法，沒有必要花太多的篇章和精力去深講」所以說，你只要把他當做矩陣的一個determinat就夠了，深究太多沒啥用。

行列式三個作用

1. 求逆用得到

2. 求線性方程組用得到

3. 求特徵值和特徵向量用得到

4. 求平行六面體的體積和平行四邊形的面積

其中我認為要數第三個最有意義。因為高階微分方程或一階多變數方程組可以通過簡單的轉化，都變成一階單變數微分方程！！也就是變成如下簡單的形式

dy/dt=Ay

其中y是向量形式的變數，A是方陣，設其為n*n。它的解為：

其中S的每列為A的n個特徵向量，Λ為A對角化之後的方陣，它的對角線為A的n個特徵值。

是不是相當簡單！！

對於差分方程也同樣道理，高階的和多變數的，最終化成如下形式

y(n+1)=Ay(n)

其中y(n+1)和y(n)是向量形式的變數，A是方陣，設其為n*n。它的解為：

---------------------第二次補充------------------

評論中陳曉同學說我歪了，那我明確點地答

1. 在線代里從頭用到尾的東西，到底代表著什麼呢？

我個人認為它只是起輔助作用，輔助我們獲得其他有意義的計算結果，如助我們得出最前面所說的四點的結果。

2. 有什麼實際的物理意義？

直接的物理意義就是最前面的第四點

間接的物理意義我個人認為主要通過第三點得出，你想想世界上，基本上所有的物理系統，物理現象（不管是溫度的變化，氣壓的變動，或者是天宮一號裡面各個機械部件地運作）基本上都可以用微分方程來描述。還有電腦上，嵌入式系統的演算法，優化也經常用差分方程來獲得。當我們能通過第三點解出這些微分方程和差分方程，你說這些物理意義大不大？

最近在重學線性代數，到了行列式這裡卡了好幾天，一直搞不明白計算方式是如何得來的，直到搜到一篇文章才得解惑，文章地址：拉普拉斯/行列式展開定理及代數餘子式的幾何解釋 - 東山狼的日誌 - 網易博客

（非常感謝原作者的分享，其內容來自《線性代數的幾何意義》，作者：任廣千）

下面為部分轉載內容：