什麼是超越數，已知有哪些超越數？

01-03

應該都聽說過第一次數學危機吧，那個年代大家只相信世界上有有理數而不相信無理數的存在，後者當時看來還是比較反直觀的，據說還有一個相信無理數的倒霉鬼被扔到海里了……其實超越數也是差不多的遭遇，大概稍微好一點.當時人們還是想知道是不是所有的實數都是代數數——也就是都是某個整係數多項式的根，是否存在不能作為多項式的根的實數——這種數稱為超越數.

這個問題法國數學家Liouville給了一個答覆，也就是Liouville定理.

定義：若實數x滿足，對任意正整數n，都存在正整數p,q，使得

$0<|x-frac{p}{q} |<frac{1}{q^n}$

則稱x為Liouville數.

定理：所有的Liouville數都是超越數.

這個定理的證明其實並不複雜.

隨後，Liouville依據這個構造出了第一個證據確鑿的超越數：

$c=sum_{n=1}^{infty}{10^{-n!}}$

證明c是Liouville數也不難.

於是我們確切地知道了，實數裡面確實存在著一些奇怪的超越數，它們不會滿足任何代數方程.

可以看出，Liouville定理意味著，這種Liouville數可以用有理數做相當精確的估計.但是事實上，可以證明，Liouville數也僅僅是超越數裡面的極少極少的一部分.

當然，僅僅有這個結果我們肯定是不滿意的.大概在幾十年之後，一位劃時代的數學家，Cantor出場了.Cantor給了我們一個新的視角去看一些數學事實，開創了一個全新的分支——集合論.

Cantor也利用了集合論的視角來看超越數的問題.首先，他利用對角線法證明了實數是不可列的——確切地說，是和整數的冪集等勢，這個證明相信數學分析課本上一定會講到.

那麼代數數呢？這樣來考慮，對於次數為n的整係數多項式，因為整數僅有可列多，這樣的多項式也只有可列多，而代數基本定理保證了每個多項式至多有n個根，也就是這樣的多項式的根全體只有可列多個.再考慮所有的多項式，按照次數分類的話也只有可列多類，可列多個可列集依然是可列的，這樣，我們證明了一個結論——代數數至多只有可列多.

那麼結論是令人震驚的，代數數相比與實數而言連九牛一毛都算不上，而超越數不僅僅是存在，而且其數目和實數是相當的.超越數佔據了實數的絕大多數.

這個證明在在當時是不被人認可的，因為這是一個非構造性的證明.Liouville至少是造出了一個超越數，但是Cantor這樣子空著手就說超越數很多很多，實在是讓人難以接受.

這就好像是，在一個大熱天，Liouville汗流浹背地在一堆麥子裡面找，終於找到了一根針，但是Cantor稱了稱麥子堆的重量，然後就斷言麥子裡面混了針……

當然了，Cantor的理論後來還是被接受了的.

在這之後人們的關注點就在於，能否證明一些我們常見的數是超越數.最簡單的，e和pi.這就要提到下面兩個定理：

(Lindemann–Weierstrass theorem)如果 $a_1,a_2,...,a_n$ 是 $mathbb Q$ 獨立的代數數，那麼 $e^{a_1},e^{a_2},...,e^{a_n}$ 代數無關.

(Gelfond–Schneider theorem)如果 $a,b$ 都是代數數， $a e 0,a e 1$ ，那麼 $a^b=exp(b ln a)$ 一定是超越數.

前一個比較不大容易看懂，其證明要用到很多分析的技巧，而e和pi的超越性是其直接推論.不過，這個領域還是有很多事情我們不知道的.比如說Schanuel"s conjecture，再比如有很多數雖然很簡單，但是我們依然不知道是否是超越數，比如e+pi，再比如歐拉常數 $gamma$ ，後者連是否是無理數都不知道.

以上.

其實吧,日常能碰到大量的超越數,非冪函數在代數數處的取值全是超越數.

也就是說反對三指4類超越函數的值全是超越數.

這個是一個近世代數的問題，超越數代表那些不能通過有限代數擴張得到的數。你可以理解成通過有限次加減乘除這些域的基本操作所無法表示（表示成代數方程的根）的數字，所以超越數是相對於給定的域而言的。我想你所說的超越數是對於有理數域的，要知道超越數的勢是不可數無窮大的，所以你在數軸上隨便找一個點基本都是超越數，代數數被淹沒在超越數的海洋里。

超越數就是不能作為高次有理方程根的數。與之對應的代數數則是可以作為高次有理方程根的數。

超越數是無理數的子集。超越數有無數個，而且超越數比代數數多很多(從基數上講)。隨機取一個無理數，取到超越數的概率是1，取到代數數的概率是0。

這類問題當然還是 Wikipedia 和 MathWorld 好用，先搞清楚 Algebraic Number 是什麼吧

Wikipedia：Algebraic number

MathWorld：Algebraic Number

Wikipedia 上有張圖很直觀地展示了代數數的稀缺性（我最喜歡可視化了）

準確的說，Algebraic Number 在複平面的幾何測度應該是 0，連分數維都不是。用測度/概率的角度來說，複平面上隨便找個數是超越數的概率無限接近於 1。

作為對比，在複平面上一個測度不為 0 的分形結構是這樣的

很顯然，要構造超越數實在是太容易了，隨便在複平面上畫根線上面就有無窮多。

Stephen Wolfram 在 ANKS 裡面已經展示了，只要有無限的空間和時間去計算，要構造非代數結構易如反掌。比如他最喜歡的 Rule 110

用公式和方程去表徵超越數，無異於緣木求魚。

不能夠成為有限次有理系（整）數多項式方程的根的實數，反之則為代數數，前者的數目數量級高於後者（後者為可列個）