混沌理論和分形理論有什麼不同？

01-03

看了 BBC 的《神秘的混沌理論》，也了解了分形理論（分形 fractals）感覺有些相似但是無法理清。

謝邀。

好問題。總體上講，二者在產生時並無關係，只不過混沌系統具有分形的特性，也就是說分形方法能夠拿來分析混沌系統，造成二者看起來有很大的交集，二者從哲學上看研究了隨機性和確定性的關係，具體見後面加粗的文字及其解釋。

看二者的關係先要從二者的各自發展歷史來看，混沌更多是從物理系統研究中發展來的，如龐加萊的三體問題，洛倫茲的天氣模型等；分形更多是數學，特別是幾何研究中總結出來的，例如分形之父曼德波特提出的海岸線的維數問題，各種奇妙的分形圖案，也是總結了很多前人的成果。

混沌的一些公認的特性，如初值敏感性（俗稱「蝴蝶效應」）和奇異吸引子，實際上是確定性的非線性系統中出現的一種貌似隨機的現象，正如洛倫茲的那篇「確定性非周期流」所引起的轟動一樣，混沌的奇妙之處在於把確定性和隨機性這兩個以前不相關的東西給統一了。混沌有很多方法可以研究，分形是奇異吸引子的研究當中最重要的一類方法，其他常用的還有李亞普諾夫指數（主要側重於描述初值敏感性）、功率譜、相圖、龐加萊截面、斯梅爾馬蹄、分岔圖等等。

分形的核心是自相似，對於現實世界的很多貌似無規則的複雜現象，特別是在時間和空間上存在無窮迭代、控制和反饋機制的一些人工或自然的非線性系統，具有很強的描述能力，這其中包含了混沌現象。但也可以拿來分析非混沌系統，金融時間序列、心電圖、腦電波、粗糙表面、地質分布等的分析有很多成功的應用。常說的「冪律」，「無標度性（標度無關特性）」，「長程相關性」等等都與分形緊密相關。像曼德波特的「集合、機遇和維數」中描述的那樣，分形的奇妙之處在於以往看似無規則、碎片狀的東西，其實也是有確定性規律的。

至於二者為什麼緊密相關，因為它們研究的系統都是現實的非線性系統，呈現貌似隨機的特徵，相軌道周期反覆卻永不重疊，混沌更側重物理，分形更側重數學，物理上的反饋正可以用數學上的迭代來描述。

總結一下，無論是從混沌的初值敏感性和分形的無規則性現象的發現，還是到混沌的李雅普諾夫穩定性和分形中的固有分形維數規律的研究，它們都是站在整體論角度而不是還原論角度，來研究系統在時間和空間上的演化規律，可謂殊途同歸。

混沌是時間的分形分形是空間上的混沌

@呂延慶回答得很好, 這個問題我曾經問過方錦清教授, 簡單的講, 混沌和分形的(唯一)聯繫就是他們的維數都是分數維. 混沌的李雅普諾夫維數是分數的, 而分形的維數也是分數的.

混沌是時間上的分形，分形是空間上的混沌。混沌方便研究總體的確定性及控制方法，分形方便研究局部的隨機性及其和總體的關係。

混沌關注動力系統的過程即吸引子如何形成分形關注動力系統的結果即吸引子本身。簡單來說，混沌關係過程，分形關注結果。不懂分形的偽專家實在太多，實在是降低知乎的專業水平。

謝謝邀請。

混沌是時間性的，系統初始誤差隨時間的推移而放大；分形是空間性的，系統結構隨觀察（測量）尺度（精度）的變化而變化。二者從不同的角度發現了大自然的複雜性，是辯證統一的。它們都提供了一種度量或描述複雜系統的複雜程度的方法論，但都不是普適的。

擴充一下，非線性科學目前正處在發展之中。從我目前有限的理解來看，自組織是根本，混沌是動力學過程，分形是行為，斑圖是表現。可能每個人在這方面的感受都不一樣