如何用向量（a，b，c）和（x，y，z）表示向量（ax，by，cz）？

01-03

不行。這裡涉及到內蘊幾何的問題。內蘊幾何指的是，你定義的幾何量與你的坐標選取無關。比如某個向量的長度這個量，或者兩個向量的內積這個量，把你所取的歐式空間旋轉一下，都還是不變的。注意旋轉這個操作下你選取的坐標變為新的一組坐標，根據線性代數正是用旋轉對應的矩陣（正交矩陣）作用後的結果。
現在注意你提問中說的只用向量的操作，應該是指不依賴於坐標選取的操作。但你可以驗證，例如(1,0,0)和(0,1,0)，在你的操作下得到(0,0,0)；但旋轉一下坐標，得到兩個向量 $(1/sqrt{2},1/sqrt{2},0)$ , $(-1/sqrt{2},1/sqrt{2},0)$ ，在你的操作下得到 $(-1/2,1/2,0)$ 。得到的向量是依賴於坐標的，所以你的想法不能實現。

數學上會把其中一個寫成對角陣

[a,b,c].*[x,y,z]
MATLAB是最好的語言(逃

diag(Diag(a,b,c)*Diag(x,y,z))
diag:取對角線元素
Diag:反之

不行
歐式空間是線性空間，所有矩陣乘法標量乘法是線性變換，原命題即求證 f((a, b, c), (x, y, z)) = a*x, b*y, c*z 是否為線性變換。
f((a1+a2, b1+b2, c1+c2), (x1+x2, y1+y2, z1+z2)) = (a1+a2)*(x1+x2), (b1+b2)*(y1+y2), (c1+c2)*(z1+z2)
f((a1, b1, c1), (x1, y1, z1)) + f((a2, b2, c2), (x2, y2, z2)) = a1*x1+a2*x2, b1*y1+b2*y2, c1*z1+c2*z2
兩式不相等，即f不為線性變換。 $lacksquare$

--- 正式證明 ---
Let $V$ be the vector space of $M_{n imes2}(F)$ , $W$ be the vector space of $F^n$ . Define the function $T : V ightarrow W$ by: $T((a_1, a_2, ...), (b_1, b_2, ...)) = (a_1*b_1, a_2*b_2, ...)$ . Prove or disprove $T$ is a linear operator.
Let $v_1, v_2 in V$ , $v_1 = ((a_1, a_2, ...), (b_1, b_2, ...))$ , $v_2 = ((x_1, x_2, ...), (y_1, y_2, ...))$ .
Then $T(v_1+v_2) = (a_1+x_1)*(b_1+y_1), (a_2+x_2)*(b_2+y_2), ...$ ,
$T(v_1) + T(v_2) = a_1*x_1+b_1*y_1, a_2*x_2+b_2*y_2, ...$ .
$T(v_1+v_2) eq T(v_1) + T(v_2)$
So $T$ is not a linear operator. $lacksquare$

這種乘積有名字，叫矩陣的阿達瑪乘積Hadmard product. 可以問度娘.不知樓主想要什麼結果. 想要只用向量內積和外積的複合誘導出這個映射嗎？可以像前面有大牛說的那樣，把向量嵌入到3*3的方陣里去，寫成對角陣形式，用矩陣乘法誘導出來.

是Hadamard積@Phylyd 謝謝指正
網上眾多博客誤作Harmard積，提示一下~。

Hadamard product (matrices)

選取合適的內積運算元:

假設三維空間每個維度的量綱都是長度，那麼ax，by，cz的量綱則是面積，用此空間中的向量表示面積沒有物理意義，所以在這個角度上不可能。

你這是一個雙線性映射的問題

可以的。
array& myFun(array& a, array& b){
array& c;
for(int i=0; i&<3;i++){
c[i]=a[i]*b[i];
return c;
}
}

以後用myFun就可以了

這三個向量線性相關嗎？好像不相關，忘了

這是不可能的。
對於你舉的例子，叉乘後的矢量在任何直角坐標系下結果都是一樣的。而計算的(ax,by,cz)矢量就會隨坐標系的變化而有所不同，例如，在某個坐標系下(a,b,c)=(0,0,1), (x,y,z)=(1,0,0)，那麼(ax,by,cz)=(0,0,0),是一個零向量。但是你換一個坐標系，做出的結果就不再是零向量了。
也就是說，你定義了一種運算，但這種運算結果不唯一，依賴於坐標系，因此是不可行的。
此外，你的方法二也是不可行的。(m,n,m × n)的線性組合不能表示(ax,by,cz)。原因同上，假如能這麼表示，那麼這種運算結果將是唯一的，然而現在運算結果不唯一，因此方法不對。m × n=(bz-cy,cx-az,ay-bx),它與(a,b,c)和(x,y,z)的線性組合無論如何都無法拼湊出(ax,by,cz)。

[a b c]*[x y z]T啊

把向量寫在3×3矩陣的對角線上做矩陣乘法就可以表示，也就是用兩個二階張量的乘積表示另一個二階張量。

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