矩陣乘以矩陣的轉置為什麼秩不變？（從向量空間的角度能否分析一下）？

01-03

Ax=0自然有A*Ax=0，而A*Ax=0意味著(x,A*Ax)=0即(Ax,Ax)=0即Ax=0。所以A與A*A核空間相同，所以秩相等。

問題是錯的，這隻在有序域上成立。

一個反例：

$A=egin{pmatrix}11\11end{pmatrix}in M_2left(mathrm{GF}_2 ight),A^TA=AA^T=0.$

另一個反例：

$A=egin{pmatrix}i1\00end{pmatrix}in M_2left(mathbb{C} ight),AA^T=0.$

上面的回答其實說得已經挺好的了，不過以防萬一，我多嘴的問一句：題主你學過線性空間、線性運算元、零空間之類的概念吧？

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這個答案其實沒什麼新東西，該說的前幾個回答已經說了，不過既然題主說要補充的話，那我還是補充兩句吧（從最基本的線性空間開始扯，可以看成前面幾個回答的大白話版）。

所謂的矩陣，就是一種線性運算元，矩陣乘以一個矩陣其實就是把一個空間中的矢量變成另外一個空間中的矢量。在這個變換中，矢量的長度（模）、矢量和矢量之間的夾角（單位矢量之間的內積）都可能發生變化。甚至一些矢量本來不是零矢量，結果經過線性變換之後，一下子變成了零矢量。

所以人們發明了零空間、秩的概念。零空間的概念不複雜，其實就是那些原來不是0但是經過線性

變換後變成0的矢量組成的空間。既然是空間，那就有維數，零空間的維數咋求？看下文。

一個三維空間中的矢量，經過某種特定的線性變換後，可能變成二維空間中的矢量，那缺少的一維矢量呢？變成零矢量了。此時，這個線性變換的零空間維數為一維。同理，一個5維空間中的所有矢量,經過某種特定變換後只剩下三維了，那缺少的二維跑哪去了？都跑到零空間里去了.....所以零空間就是二維的。

至於秩，你可以簡單理解成線性變換後矢量空間的維數。如果一個矩陣(線性運算元）是滿秩的，這就意味著一個N維的矢量空間中的所有矢量經過該運算元運算後依然能組成一個N維的矢量空間。如果不是滿秩的，比方說秩為n(n&內積大家都知道，單位矢量之間的內積就是兩個矢量之間的夾角嗎。這不多說了，大家都知道。當然還有一點大家也都知道，根據定義，任何非零矢量跟自己的內積都不等於零。

明白這些我們再看題主的問題：矩陣乘以矩陣的轉置為什麼秩不變？我們用反證法，即假設秩會發生改變。由於任何線性運算元在零矢量上得到的結果只能是零矢量，所以矩陣的秩不可能增加，只可能縮小。假設對一個線性運算元A來說， $A^{T}$ 乘以A作用在矢量B上得到零矢量。假設矢量B經過運算元A變換得到矢量C，即AB=C。

取矢量B和 $A^TAB$ 的內積，由於後者是0矢量，所以內積一定是零。即 $B^TA^TAB=0$ ，用矢量C表示則是 $C^TC=0$ 。矢量C與自身的內積是0.....根據內積的定義可以得到結論：C是0矢量。

C是0矢量那有說明什麼？根據前提假設由於B是 $AA^T$ 這個算符零空間的矢量，上面的證明其實告訴我們B同時也一定是算符A零空間中的矢量。也就是說，算符A和算符 $AA^T$ 的零空間是相等的。

所以零空間維數相同，兩個算符的秩就是相等的。

好吧，我都不知道為什麼我要在寫論文前回答這個幹什麼（時間有限，我儘快寫完，有錯漏請見諒）。

首先，我們要注意一個問題，什麼是秩？一個 $n imes n$ 矩陣 $A$ 可以看成是向量空間 $mathbb{R}^n$ 到 $mathbb{R}^n$ 的一個映射（運算元）。那麼方程 $Ax=0$ 的解構成的空間 $ker(A)$ 被稱為核（空間），其維度為 $dim(Ker(A))$ 那麼 $A$ 的列秩剛好就是 $n-dim(Ker(A))$ .