矩陣的特徵值一般都有什麼用？

01-03

我知道的是：求多項式根，
主應力，
求振動頻率。

還有啥用途？

所謂矩陣的特徵值和特徵向量，從線性空間的角度更好理解。n維矩陣對應一個n維線性空間到自身的線性變換。在某些情況下，這個n維線性空間可以分解為若干子空間的直和，每個子空間的向量線性變換後仍然在該子空間內（不變子空間），並可以由之前的向量數乘對應的特徵值得到。這時矩陣是可對角化的。此時如果把線性變換的基選為各個不變子空間中線性無關的一組向量，那麼同樣的線性變換的矩陣就是對角陣，也就是說線性變換作用在這些基上僅僅是做了伸縮而已。這時問題就得到了極大的簡化，如果我們想知道某個向量在線性變換下的性質，只需要把它分解成特徵向量之和，分別研究，最後再加起來即可。這裡的n維線性空間可以推廣到更複雜的線性空間，比如函數空間，微分方程的解空間，量子力學的希爾伯特空間等等。注意矩陣可對角化是矩陣有特徵值特徵向量的充分條件。

應用的話題主提到求主應力和振動頻率，類似的還有求慣量主軸。此外還有求偏微分方程的解（比如量子力學的能級和對應的態），求馬爾可夫鏈的穩定分布（特徵值為1的特徵向量）和收斂性，估算矩陣運算的誤差。此外傅立葉變換本質上也是把函數用特定函數空間的一組正交基表示，這些基恰好又充當了特徵向量（比如波動方程在邊界條件下的解），因而能解決很多相關問題。

我們談論矩陣，談論的其實不是一個方塊，而是一個線性映射在一定基下的表示。

矩陣的特徵向量指的是線性變換作用於此向量後方向不變；特徵值就是對應的伸縮比例。

如果站在這樣一個觀點看，所有線性變換都可以定義特徵值與特徵向量。這些線性變換可以存在於無窮維空間中，也可能不存在矩陣表示。

常見的例子：

1.微分運算元在一定邊界條件下的本徵值問題。例如量子力學中的哈密頓量本質上是線性變換，它的特徵值也就是定態系統所能具有的能量。我們在討論諧振腔的固有頻率時也會涉及這種情況。

2.模最大特徵值一般意味著線性變換最大的拉伸能力。這在涉及到矩陣的冪時有用，對估計矩陣的範數也有用。（矩陣的範數在數值計算中是個常見的概念。例如解方程組，就是一個向量不斷地用矩陣作用，收斂性和矩陣的範數很有關係）

應用？就我知道的是在振動分析里在對於多自由度機械結構作振動分析時，常常便遇到特徵值問題。經過仔細解析，求得的特徵值會給出振動的自然頻率，而特徵向量就會給出振動的模態的振動行為。

線性代數在應用中的分布非常廣泛，不僅是包含有量子力學的薛定諤方程，分子軌域還有圖論等等

在 machine learning 裡面會用到矩陣。現在正在學習，感覺好難，大學基本沒血。又要工作又要學習。。

運算元理論譜分析

在生物理論中，下一代矩陣的主特徵值是種群增長數目的期望。

求一些高緯體的體積。。

在解決微分方程方面的問題時有用

量子力學中的微擾啊。