什麼是生成函數generating functions？

01-03

什麼是生成函數呢？雖然我知道一些例子比如熱力學的分配函數（生成了熱力學量），哈密頓雅可比方程的參數化解集（生成了正則變換）。
但是能不能給出一個良好的定義，使得生成函數的性質都是defining property?
數學裡面經常追求這個，比如微分幾何里向量場的定義是「參數化曲線的等價類，經過x的兩曲線等價如果它們在x點的對參數的導數相等」。然後向量場的諸多性質，比如坐標變換法則，李導數，與1 form的對偶等等，都自然由定義產生了。還有正規子群，環的理想等，直接定義成具有kernal屬性的子集。註定是要用來quotiont掉的。

我很希望物理概念引入的時候，能夠使用諸多定義中，選取能囊括最多defining property的定義。而不是看似任意的定義了一個量，然後計算出神奇的性質。這樣學習的時候只能背書不知道下一步怎麼思考啊。

不開心, 要碼字發泄.

定理與定義 令 $(M,omega)$ 是辛流形. $alpha in Omega^1(M imes M)$ 是一個1形式, 使得對對角線 $Deltasubset M imes M$ 有
$alpha|_{Delta}=0, -dalpha=(-omega) imes omega.$

於是, 對任何江密頓辛同胚, $phi: M ightarrow M$ , $alpha$ 在圖嵌入 $ext{gr}_{phi}(x)=(x,phi(x))$ 下的拉回 $ext{gr}_{phi}^*(alpha)in Omega^1(M)$ 是恰當形式. 不妨設有 $ext{gr}_{phi}^*(alpha) =dS_{alpha,phi}$ .
稱此 $S=S_{alpha,phi}$ 為 $phi$ 的 $alpha$ 生成函數. 盒子

特別的, 對恰當辛流形 $(M,-dlambda)$ , 可取 $alpha=(-lambda) imes lambda$ . 而相空間餘切叢自然是恰當辛流形 $(T^*X, -dlambda_{liou} )$ . 辛同胚是力學中典則變換的正確對應, 而 $H^1$ 消失的時候, 辛同胚和江密頓是一回事.