朗道《力學》推導拉格朗日量是否有誤？

01-03

對自由質點的推導，給出的拉格朗日量L（實際是動能T）非常漂亮。但是其中使用了空間的對稱性。
而對勢場中的質點，為什麼可以是在後面直接加入勢能函數V，而不是認為T當中可能包含廣義坐標q呢？
此時空間對稱性已破壞，之前對自由質點做的推導也就不成立了。為什麼還能保證動能T部分還保留自由質點時的形式呢？

我們並不保證「T保留自由質點時的形式」，我們只是假設「新的拉格朗日量里還有原先形式的那麼一項」，不妨稱之為T。

確切地說，朗道的思路是：

我們已經知道了自由質點L的形式與速度平方成正比，把這一項稱為T。T的物理意義是什麼，我們目前還不知道。

現在我們不知道在相互作用下質點的L的形式。我們想把那個現成的T用上，因此我們記-U=L-T，這總是可以做到的。我們也尚不了解-U的物理意義。

我們發現，當-U這一項不存在時，L和自由質點的L是完全一樣。因此可以認為-U是描述相互作用的。

現在的問題是，為什麼認為-U為只和坐標有關，而與速度無關。

朗道的解釋是，「根據相互作用的性質可知」。也就是說，經典力學中的相互作用都是可以被坐標的函數完全確定的。或者叫，我們暫時只考慮這類相互作用。

直到此時，我們所用的坐標都是笛卡爾坐標。

在這套坐標下，T與速度的平方成正比，-U=L-T只是坐標的函數。

然後書中才提到，如果使用任意的廣義坐標，需要做相應的變換。

變換後的T變成T(q,q")，是可以依賴於廣義坐標的。而變換後的U依然只是廣義坐標q的函數。

後面第二章中，我們找到了一個運動積分E，命名為能量。我們發現在剛才的假設下（T只是速度的二次式，U只和坐標有關），恰好有E=T+U。因此我們才賦予了T和U物理意義，分別稱之為動能和勢能。

實際上我們是通過牛頓第二定律去「湊」出拉格朗日量的。

朗道的講法實際上是：「我們假裝不知道牛頓第二定律，我們嘗試用最基本的概念構造出拉格朗日量。」

拉氏量不是推出來的，拉氏量是猜出來的，然後跟實驗驗證過的

不明白這一點，是完全沒入門

我們認為處在勢場中的質點的拉格朗日量對比自由質點只要附加一項勢能是來自實驗結果的推論。

實踐是檢驗真理的唯一標準微分散射截面是唯一可觀測物理量

同一個理論實質，不同的表述形式，如此而已。

了解一下可以，可以擴展思路。但不要被這種形式理論所迷惑。

就象量子力學的不同表象的表述，形式不同，物理實質都是一樣。

學物理，關鍵是明白物理實質，數學只是一個表示工具。

中國的大學教育，恰恰最缺乏的就是對物理實質的解釋和講述，學生都沉浸在數學公式中不能自拔，不具有自己的物理思想，只能跟在別人屁股後面改變數學形式的花樣，不能搞出真正具有物理實質的新成果。具有新的物理實質的成果，才叫原創。那種改變數學形式花樣的，就只能算是跟風完善。

其實是合理猜測的。