求一個實心電阻率均勻的電阻球的電阻？

01-03

這兩天小弟思考了一個問題苦無解釋，如何求一個電阻率均勻的實心球的電阻，我認為把球分割為一個個電阻圓盤的方法是錯的，積分法算電阻的本質是把電阻分成一個個可算的電阻，而這些通過的電流密度必須均勻（事實上就是沿等勢面切割電阻），而上述切成圓盤的方法明顯不符合這一要求。
很高興大神們都蹦出來了，謝謝你們。

出於對稱性的考慮，下面全部使用球坐標，並將經度角約去。

使用強迫電流的觀點，即取電流邊界分布為已知，求解全空間的勢場，進而求解電阻。

首先原題的意思是電流源在球體表面。方程的非齊次項是 $delta$ 函數但在邊界上不是很好處理，所以我就先把源放在球內，到時候在取極限取過去。

問題表述為：

半徑為1的均勻導體球，與外界絕緣。在其內部(-a,0,0)、(a,0,0)處分別有兩個強度為+1、-1的點源。求球內的勢分布

方程為：

$abla^2 phi = -delta(r-a)[delta(cos heta+1)-delta(cos heta-1)]/(2pi r^2)$

將非齊次項用邊界的辦法處理掉，即取 r&故邊界條件為：

$egin{aligned} left.frac{partial phi}{partial r} ight|_{r=1} = 0, \ r^2left.frac{partial phi}{partial r} ight|_{a^-}^{a^+} = frac{delta(cos heta+1)-delta(cos heta-1)}{2pi}, \ left.phi ight|_{a^-}^{a^+} = 0, \ left.phi ight|_{r=0} quad ext{有界} end{aligned}$

取猜測解（第一項兩個係數的選取使得自動滿足第一個邊界條件，第二項捨去了原點處發散的項）

$phi(r, heta) = egin{cases} sumlimits_{n=0}^{infty} c_n left((n+1)r^n+frac{n}{r^{n+1}} ight)P_n(cos heta),quad rin (a,1)\ sumlimits_{n=0}^{infty} d_n r^n P_n(cos heta),quad rin (0,a) end{cases}$

代入邊界條件得

$c_n left((n+1)r^n+frac{n}{r^{n+1}} ight) = d_n a^n$

以及

$egin{aligned} left[n(n+1) c_n (a^{n+1}-a^{-n})-n d_n a^{n+1} ight]P_n(cos heta) \ = frac{delta(cos heta+1)-delta(cos heta-1)}{2pi} \ = frac{1}{2pi}frac{2n+1}{2}[P_n(1)-P_n(-1)]P_n(cos heta) \ = frac{2n+1}{4pi}P_n(cos heta)(1-(-)^n) end{aligned}$

解得

$egin{aligned} c_{2m-1} = - frac{a^{2m-1}}{2pi(2m-1)} \ d_{2m-1} = -frac{1}{2pi} left[(1+frac{1}{2m+1})a^{2m+1}+a^{-2m} ight] end{aligned}$

利用勒讓德級數的生成函數

$sumlimits_{n=0}^{infty} P_n(x)t^n = frac{1}{sqrt{1-2xt+t^2}}$

可以將無窮級數求和求出（具體過程略去）

$phi(r, heta) = frac{1}{4pi}Big{ frac{1}{sqrt{1+2arcos heta+(ar)^2}} - frac{1}{sqrt{1-2arcos heta+(ar)^2}} \ +frac{1}{sqrt{a^2+2arcos heta+r^2}} - frac{1}{sqrt{a^2-2arcos heta+r^2}} \ -lnleft[1+arcos heta+sqrt{1+2arcos heta+(ar)^2} ight] \ + lnleft[1-arcos heta+sqrt{1-2arcos heta+(ar)^2} ight]Big}$

結果可以解釋為三項：

1.位於(a,0,0)處強度為-1的點源；

2.位於(1/a,0,0)處強度為+1的點源；

3.位於(1/a,0,0)~(+INFINITY,0,0)處強度為-1的直線線源；

另外一邊是反對稱的。

當然，這個時候再討論電像，似乎意義不大了。另一個例子是點源和介質球的問題，這個時候甚至可以將求得電勢分布解釋成非均勻電荷線密度的像帶電直導線產生的，如點電荷和介質球系統的鏡像電荷分布。

典型的電勢分布圖

回到原問題，取 $a ightarrow 1$ 的極限，得到

$phi(r, heta) = frac{1}{4pi}Big{ frac{2}{sqrt{1+2rcos heta+r^2}} - frac{2}{sqrt{1-2rcos heta+r^2}} \ -lnleft[1+rcos heta+sqrt{1+2rcos heta+r^2} ight] \ + lnleft[1-rcos heta+sqrt{1-2rcos heta+r^2} ight]Big}$

取 $r=1, cos heta =pm(1-delta heta^2/2)$ 展開，得到