為什麼八維射影空間最低可嵌入十六維歐式空間?

01-03

$H^k(R^{n+k},R^{n+k}-M,Z_2)xrightarrow{i^*}H^k(R^{n+k},Z_2)xrightarrow{j^*}H^k(M,Z_2)$

它是從 $H^k(T(varepsilon ),T(varepsilon)-T(varepsilon/2),Z_2)xrightarrow{i^*} H^k(T(varepsilon),Z_2) ightarrow H^k(M,Z_2)$

和M從零截面嵌入R的交換圖得到的，其中T是Tubular neighborhood，同構於Normal bundle。

於是這個複合映射把基本類映到Normal bundle的Stiefel-Whitney類上，但中間的cohomology顯然是0，那麼這就得到了一個能嵌入R^n+k的必要條件，也就是說：

n維流形M想要嵌入R^n+k，必須滿足Normal bundle的Stiefel-Whitney類 $omega_i$ 在i&>k時必須為0，它可以用切叢（它的正交補）來計算，而n=2^i的時候RP的Normal叢 $omega_{n-1}$ 不為0。

可以參考GTM20 Fibre Bundles18章定理10.2