為什麼康德說數學是純粹先天綜合知識？
然而幸運的是：雖然我們不能承認作為科學的形而上學是實有的，但是我們有確實把握能說某些純粹先天綜合知識是實有的、既定的，例如純粹數學和純粹自然科學，因為這兩種科學所包含的命題都是或者單獨通過理性而帶有無可置疑的可靠性，或者一般公認是來自經驗卻又獨立於經驗的。這樣我們就至少具有某種無可爭辯的先天綜合知識，並且不需要問它是不是可能的（因為它是實有的），而只需要問它是怎樣可能的，以便從既定知識的可能性的原理中也能夠得出其餘一切知識的可能性來。 (《未來形而上學導論》第四節 形而上學究竟是可能的嗎？) 這裡康德本人也說了，數學是來自經驗又獨立於經驗(我對這點是認同的，但不敢確定自然科學可以獨立於經驗)，那麼數學來自於經驗，為什麼說它是「先天」的？或者更廣泛得說，康德筆下的「先天」到底是什麼意思，有什麼樣的含義？還有先天和先驗有什麼區別？
哈哈，看到描述就知道題主的困惑在哪裡了，因為我初學時也有過類似困惑。分三個部分來回答吧。
一、概念
先天的（a priori），意為【獨立於經驗，不依賴於經驗即可認識的】。如【1=1】。
先天的另一個很重要的點是不依賴不藉助，我們必須藉助於經驗才能理解「=」這個符號的涵義，但認識到【1=1】這個命題的正確性，是不依賴於任何經驗的。一個對應的例子是【
】，沒有特定的經驗，我們就不可能認為質能公式為真。
先驗的（transcendental），意為【經驗之可能的條件】。假設「先驗的東西」為T，（特定形式的）經驗內容為E。那麼有：【】。
分析的（analytic），意為只通過語義分析即可確定真值的。如：【所有單身漢都是未婚的】。
綜合的（synthetic）則正相反，如【答主是個單身漢】=。=
另外我還要對@王永豪 的回答提出一些反對意見：
1.「先天知識指的是不需要藉助新的經驗來獲取的知識。」是錯誤的。因為「新」在這裡是一個極度相對化的用語，它與「舊」相對，但什麼是「舊」呢？已擁有的知識嗎？一個簡單的反例是我並不需要任何新知識，就能知道「我的手有5根手指」。但這明顯是一個後天知識。2.「比如說你擁有了關於單身漢的知識，也擁有了關於未婚的知識，於是你得出了一條【新】的知識：單身漢都是未婚的。」也是錯誤的。這其實是「分析命題」的一個例子，正像定義里說的那樣，它是「一個謂語的概念被包含在主語的概念中的命題」，這樣的命題怎麼可能帶來任何新知識呢？如果真是這樣，那我們豈不是躺在床上什麼都不做，就可以獲取新知了？（方不是圓，1不是2，2不是3，這類命題的數量是無限的。）二、背景
在休謨那裡，分析判斷=必然真理=先天判斷，綜合判斷=偶然真理=後天判斷。他認為【綜合命題的真實性不能先天確立】。這似乎是很自然的，因為「所有金屬都導電」肯定不像「所有單身漢都是未婚的」一樣可以不依賴（再次說明：不依賴不藉助）於經驗而為真。
這時康德對休謨說，放開那些知識，讓我來。
他看到了批評或者審查人類理性的迫切需要，也就是說，需要一場審判，以確保理性的公正訴求並斥退其無根據訴求，換言之，這場審判將調查普遍知識和必然知識之可能與不可能，調查知識的來源，範圍和界限……抱著這樣的目的，康德寫下了三大批評：《純粹理性批評》，審查理論理性或科學；《實踐理性批評》，審查實踐理性或道德；還有《判斷力批評》，審查我們的審美或目的論判斷，或是藝術和自然中的目的性。
——剃利《西方哲學史》
三、題主的問題。
題主的問題一部分來自於概念的含混，一部分來自於背景的缺失。
先貼一段你讀到的那原文：
……純粹數學和純粹自然科學，因為這兩種科學所包含的命題都是或者單獨通過理性而帶有無可置疑的可靠性，或者一般公認是來自經驗卻又獨立於經驗的。這樣我們就至少具有某種無可爭辯的先天綜合知識，……
你對【數學來自於經驗，卻說它是「先天」的】感到疑惑，是因為你沒有分清「依賴」與「藉助」的區別。
另外僅用【來自於】這個表述也會誤導你的思路，應該是【或者單獨通過理性而帶有無可置疑的可靠性，或者一般公認是來自經驗卻又獨立於經驗的。】你懷疑「自然科學可以獨立於經驗」，是因為康德所說的不是【自然科學】，而是【純粹自然科學】，也可以說是【自然科學的基本原理】。舉個例子你就理解了：【一切事物都有原因】。
康德提出先天綜合判斷何以可能的問題，其實就是問：【如何既避免獨斷論，又能把知識從懷疑論中解救出來？】你可以自己嘗試著去回答休謨問題，然後再看康德就能理解他的語境了。
另外，康德之後對於先天綜合判斷有很多討論，有人認為只要定義了「1」、「2」、「+」、「=」就可以推出「1+1=2」，所以「1+1=2」就是個分析命題。分析/綜合這對區分也遭到了質疑，其中比較著名的是Quine的論文：《經驗主義的兩個教條（Two Dogmas of Empiricism）》（1951）。有興趣可以了解一下。
以上。謝 @姜晨程 與 @孔翔鷹 提出反對意見，確實是我的表述有問題。a priori knowledge確實不是通過舊經驗推導出的」新知識「，而應該是獨立於經驗的知識，比如姜舉的例子【1=1】。而我在下面說的【單身漢都是未婚的】並不是新知識，而應該是a priori judgment/proposition，不需要藉助經驗就能判斷這個判斷/命題的正誤（真值），而只用語義分析即可判斷。
具體也可參考我與姜在他的回答下和我與孔在我的回答下的討論。原答案其他部分應該沒有大錯，有的話也望各位指出。錯誤答案留以為誡。
=============================以下原答案=========================這個問題不複雜啊= =好吧康德的東西對於非哲學專業生來說都難...可以先看這個答案如何理解A Posteriori Analysis？ - 王永豪的回答先天知識是說a priori knowledge，指的是不需要藉助新的經驗來獲取的知識。注意說的是新的經驗而不是任何經驗。比如說你擁有了關於單身漢的知識，也擁有了關於未婚的知識，於是你得出了一條新的知識：單身漢都是未婚的。你關於單身漢和未婚的知識都來源於經驗，但是這不妨礙你得出的新知識：單身漢都是未婚的，是一個先天知識。
所以說，數學雖然來源於經驗（你只有擁有了關於世界的經驗才能有數學的知識），但是你在獲得了數學的經驗之後就可以不藉助任何新的經驗來獲得其他數學知識了，所謂獨立於經驗。
題主雖然主要在問先天，不過重點是他為什麼覺得這是個綜合(synthetic)知識。綜合知識和分析(analytic)知識相對，分析知識是說：
a proposition whose predicate concept is contained in its subject concept。
一個謂語的概念被包含在主語的概念中的命題。
還是拿單身漢為例子，在「單身漢都是未婚的」這個知識中，主語「單身漢」的概念已經包含了「未婚」的概念，所以這個只是是一個分析知識——我們通過分析主語和謂語的概念就可以判斷這個知識是不是正確的，所以分析知識和先天知識其實有很大的重合之處，所有的分析知識都是先天知識，因為所有的分析知識都可以用分析的方式得出，所以所有的分析知識都不需要藉助新的經驗，因此都是先天知識。
然而康德還認為，有一些綜合知識也是先天知識。綜合知識就是不能通過概念分析判斷正誤的知識。比如，5+7=12，12的概念中並沒有包括5和7的概念，但是我們不需要藉助新的經驗就知道這是正確的；比如三角形內角和等於180°，三角形的概念同樣沒有包括內角和180°，然而我們同樣不需要藉助新的經驗就知道這是對的。
所以康德想解決的一個很重要的問題，就是「如果我們既不是通過概念分析也不是藉助於新的經驗來判斷數學這種先天綜合知識的正誤的話，我們是怎麼樣判斷的？」
大致如此。
先驗和先天是不同翻譯的問題吧，反正我搜出來的都是a priori。先於經驗，就是不需要藉助新的經驗嘛，我覺得這個翻譯比先天好。------更正---------------------我搜的急了，題主可能想說的是transcendental，見如何區分康德哲學中的「先天」和「先驗」？ - 康德（Immanuel Kant）這個回答，上面的留著打自己臉。
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以及吐個槽，我還是第一次在知乎上看到火鉗劉明，你先寫個差不多的答案還好，你光留個名是想告訴大家你智商低還是素質低啊？要不是不想扣友善度我就要開罵了
好吧看錯題目了，我好像答了先驗去了，謝謝糾正。一邊看中國好聲音一邊答題就得付出這個代價啊以1+2等於3為例，這個光看算式是難以看出為什麼1這個概念加上2這個概念，就等於3這個概念，因此這需要直觀或經驗，比如1個蘋果加上2個蘋果就能等於3個蘋果。但我們又能看到這個算式是具有「超越」經驗的必然性，因為即使沒有直觀，沒有經驗，這個算式也是同樣成立的。因此這個是先天綜合判斷。還有幾何的兩點間直線是最短的線，短是不可能從直線這個概念看出來的，只能依靠直觀，但是這個又是普遍有效的（即沒有經驗，沒有直觀也是準確的）。先天與先驗的區別就在於先驗的知識肯定是先天的，但先天的知識未必是先驗的，這也就是我為什麼答了半天先驗。但先天綜合知識不是先驗的。我也沒看清問題的術語界定，感謝龍騰指正。
題主的問題分為兩層：
1）數學是來自於經驗的，但是為什麼說它又是「先天"的。2）康德所說的」先天" 是什麼意思。這兩個問題的答案，在於《純粹理性批判》(簡稱《純批》)的序言以及第一部分「先驗感性論"，康德花了幾十頁來論述這兩個問題。個人感覺在知乎上問這樣一個問題是難以得到靠譜答案的。看書吧。
下面是我盡量簡要描述的《純批》中對這兩個問題的回答。對於第二個問題 "先天「是什麼意思？獨立於經驗，獨立於一切感覺印象之外的知識叫做先天知識。這個回答題主可能不會滿意，康德花了很長的篇幅去解釋這句話。比如，哪些知識屬於先天知識，哪些屬於經驗知識，這久留給題主去《純批》中探索了。對於第一個問題，」數學為何是先天的「首先，康德口中的數學，在所處年代只包括 「代數" 與 」幾何"， 這個歷史局限在今天來看已經打破，不過這不重要。康德論述 先驗要素論中只有兩個元素，即」時間「和」空間"，也就是說，人對於時間和空間的認識是先驗感性的。人對於空間的先驗感性認識使幾何學成為可能，人對於時間的先驗感性認識使得代數學成為可能（康德的觀點：1+1=2這樣的先天綜合判斷成為可能，完全是因為人對於時間無限流逝的直觀認識導致的）。最後，如果題主真的想了解，就看純批吧。說點我的理解。
首先，這裡「先天」和「先驗」是一個意思，a priori。嚴格的講，（我的理解），先天知識之所以先天，是因為它的內容不涉及經驗世界，不關於經驗世界，或者說沒有經驗內容。所以，先天知識在這個意義上獨立於經驗。
當然，哪怕先天的知識，儘管它的內容本身不涉及經驗世界，但先天知識的獲得需要藉助經驗。比如你學數學，你得看書啊，書本是經驗對象啊，是物理存在啊。學幾何，尺規作圖畫圓畫角做平行線，你得畫出來啊，這個是經驗對象啊。儘管這些經驗對象不是先天知識的內容，但人們需要藉助經驗對象來獲得先天知識。所以，先天知識在這個意義上來源於經驗。
這個答案貌似有點簡單了，但我覺得是正確的。。。敘述部分 @姜晨程 和 @王永豪 的解釋已經很詳細了，在這裡就擴展一下姜晨程在結尾提到的針對康德的反駁吧。
下面是武漢大學的徐明教授的教科書《符號邏輯講義》的節選，描述了康德所舉的5+7=12的例子在皮亞傑算數的框架下是可直接證明的因此是分析判斷。
亮點其實腳註里徐老師的吐槽，233333
不過，這個反駁還是有可討論的空間的。因為康德那的分析判斷（謂詞的內容包含在主詞之中）和現代邏輯學裡的分析判斷（可從公理和推演規則直接推導出的命題）的定義存在一定差別。不過這也從一個側面反映出了康德哲學的一大局限，因為畢竟兩百多年過去了，康德的很多論斷已經和之後的數學，邏輯學和自然科學的發展存在著許多矛盾。
本人也不是康德或邏輯學專家，純拋磚引玉，歡迎討論。題主的誤解是來自閱讀理解的問題。真不知道其他答主有沒有認真看描述。
純粹數學和純粹自然科學，……這兩種科學所包含的命題都是或者單獨通過理性而帶有無可置疑的可靠性，或者一般公認是來自經驗卻又獨立於經驗的。
其實康德意思是說，純粹數學命題是單獨通過理性而帶有無可置疑的可靠性，純粹自然科學命題是（一般公認）來自經驗卻又獨立於經驗的。因為數學上所有的東西都只可以說是發現，而不可以說是發明，是先天就有的。
比如自然數e，再比如圓周率 π, 無論怎樣，它們都在那裡，不管你知不知道，它們一直就在那裡，甚至有一天你不在了，它們還在那裡。經驗的≠經驗性的，而先天的（a priori）是與「經驗性」的相對，而不是與「經驗的」相對，「經驗的」包含了「先天的」和「經驗性的」，而先驗是屬於先天中的一種，」先驗的」是認識論的，是對先天知識做認識論上的說明，先驗的知識是先天知識的先天知識，是先天知識的自我反思。而數學是先天知識，但不是概念性的先天知識，而是直觀的先天知識，它的基礎是時間與空間，既然是先天知識，它就可以是「經驗的」知識，但不能說是「經驗性的」知識，「先天的」≠天生的，是從邏輯上來說的而不是從時間角度來說的，所以a priori有另外一個翻譯就叫「驗前的」。
就算知識可能通過經驗歸納出來，但自己的判斷也很重要。這些公式定理都要按照基本的、先驗的法則去產生。
我總結了一下大家的答案。
1、為什麼數學是先天的但又來自於經驗？
（a）用現在的語言來說，指的是數學知識客觀存在，不依賴於經驗。比如1+1=2這個數學知識，可以用「一個蘋果加一個蘋果成為兩個蘋果」這個經驗來理解，也可以用「一頭牛加一頭牛成為兩頭牛」這個經驗來理解。但這個數學知識（數學命題）的成立不依賴於你用什麼經驗去解釋，因此說它是客觀存在的知識。但經驗能夠幫助人們認識數學，或者說數學的命題（比如歐氏幾何的公理）是從經驗中總結出來的（先不管康德的這個說法對不對，就討論康德在說什麼）。這個解釋在 @姜晨程 、 @謝地蓬 答案里都有表述。（b）通過經驗認識到一些數學知識（比如公理）後，從這些知識獲得其他數學知識的這個過程不依賴於經驗，從而那些數學知識不依賴於經驗。（參考 @王永豪 的答案）。
我個人傾向於（a）解釋。因為依賴於經驗的知識通過不依賴於經驗的推理（比如分析）同樣能夠推出依賴於經驗的知識。例如從依賴於經驗的兩條知識，「白天鵝脖子都很長」，以及「長脖子天鵝嘴都很長」，推出「白天鵝嘴都很長」，難道「白天鵝嘴都很長」就不是依賴於經驗的知識了么？
2、先天、先驗的區別？先驗指符合經驗但不依賴於也不藉助於經驗的知識。比如人的幾何直觀。人的幾何直觀在當時看來是一種不藉助於經驗便形成的直覺（知識）。當我們從書本上學到「過給定直線外任意一點存在一條平行於給定直線的直線」，的時候我們無法說出是通過哪個事件認識到這樣的知識的。直線是無限長的，因此不可能有人做出過這樣的實驗，或者觀察過這樣的現象。也就是說上述知識不是嚴格意義上從經驗中獲得的。康德進一步把人的數學方面的直覺（例如對算數的直覺）歸結為對時空的先驗感性認識（參考 @孔德雨 的答案）。康德認為，數學是人類知識堆積的一門學問，它不依賴於客觀存在，所以叫「先天」--------並不是說數學書在宇宙之前就有了，沒這道理。也不是說胎兒時期就學到的，和「先天缺陷」的「先天」不是一回事。當然，隨著相對論的發展，數學也不先天了。圓周率之所以為3.1415926……，只是因為我們正好在這個時空里，換個時空，圓周率就不一樣了。
所謂先天就是說數學是我們人類理解宇宙的方式，而不是經驗中獲得的規律。兩點確定一條直線，不是經驗，而是人類只能通過至少兩個點才能認知一條直線好比為什麼人是人？因為人就是人的名字
就稍微補充一下@Garchel Sun的回答，另外@王永豪提供的關於區分先天先驗的鏈接是比較專業的回答，對此我也受益不少。
我覺得使題主迷惑的核心在於沒搞清經驗等概念的意義，對於康德的學習者這的確是個很常見的問題，當然我覺得康德本人應該負主要責任。
其實對康德而言，所有被稱為＂經驗＂的東西，那就已經是知識了，甚至可以說，凡是知識，那就一定是經驗。（準確點應該是經驗和先天內容的混合物）如果我記得沒錯康德應該在＜＜純P＞＞開頭就說過＂一切知識都開始於經驗＂。請題主詳細體會＂開始＂這兩個字。
另外關於先驗你往後看就能看到，原話不記得了，大意應該是這樣，所謂先驗的東西就是關於先天的東西既然不具有任何經驗性的性質卻能和經驗性的材料互相作用而產生經驗的知識。所以說先驗的也可以被理解為＂先天學＂的，或者說＂先天知識的先天知識＂。
別的不說了，應該沒什麼大的差錯，僅作參考。數學中分為與現實無關的與現實有關的。與現實無關的具有必然性，即先天分析判斷；與現實有關的不具有必然性，即後天綜合判斷。當你只是通過對符號的設定單純的說1+1=2時，絕對正確；當你在將1+1=2，用於現實世界，認為「一條狗原來1歲，然後過了1年，現在是2歲」，這個邏輯不具有必然性。
"先天的"並不是說人類在有任何現實經驗之前，就擁有了數學知識。而是說，我們有了經驗，然後總結出數學知識以後，發現數學的知識是不依賴於經驗的，它在邏輯上先於經驗。
先驗是偽命題，是康德無中生有的發明，完全不存在 ，在維特根斯坦看來，數學不是對柏拉圖理念世界的描述，而是人類生活形式及語言規則的約定。拿康德自己論證的例子來說
如「5+7＝12」的真理性取決於我們關於數字「5」、「7」、「12」的約定。在維特根斯坦眼中，數學是特定生活形式的規則體系或語言遊戲。數學的可靠性建立在生活形式一致的基礎之上。邏輯的強制性要求僅僅是語言約定的直接表達。數學就是集體一致性的約定。
5的意思是有5個1，7的意思是有5個1，12的意思是有12個1。所以「5+7＝12」的意思是「5個1」+「7個1」=「12個1」，數學的起源都是1的語言運算，1的語言約定，跟先天先驗無關
數學只是一種特殊的邏輯符號約定邏輯語言，跟先天先驗沒有任何關係
2的意思是有兩個1，1+1=2完全是一種語言規範的約定，跟先驗先天沒有然後關係，數學是人為構建的產物 ，一種語言產物，數學是一種約定的語言規則。
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