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數學概率概率論

有一個正整數N可以分解成若干個正整數之和，問如何分解能使這些數的乘積最大？求詳細解釋。

01-03

答案已知，但是我想要的是解釋，麻煩大家了

首先把一個正整數 $N$ 拆成若干正整數只有有限種拆法，所以存在最大乘積。

假設 $N =n_1+ldots +n_k.$ 並且 $n_1 imes ldots n_k$ 是最大乘積.

顯然1不會出現在其中;
如果對於某 $i$ 有 $n_i geq5$ ，那麼把 $n_i$ 拆成 $3+(n_i -3)$ ，我們有 $3(n_i -3) = 3 n_i -9>n_i$ ,所以不存在大於等於5的因子;
如果 $n_i = 4$ , 拆成 $2+2$ 乘積不變，所以不妨假設沒有4;
如果有三個以上的 $2$ ，那麼 $3 imes 3 > 2 imes 2 imes 2$ ，所以替換成3乘積更大

綜上，選用盡量多的 $3$ ，直到剩下2或者4時用 $2$ .

因為實際e是最優解，但是沒有整數恰好是e的倍數，所以盡量選3，選2（4）剩下。

考慮如下：

將實數 $a$ 均勻的分成 $n$ 份，每一份為 $x$ 則有

$a=ncdot x$

則相乘結果為：

$b = x^n=x^{a/x} = (x^frac{1}{x})^a$

用Wolfram Alpha求 $x^{frac{1}{x}}$ 的極值點為 $e$ ，最接近的也就是3了

當然這個證明很不嚴格……

比如 $n$ 不為整數以及均分的時候乘積最大……

轉自這裡

利用均值不等式，可以知道當每一個數都相等的時候，才具有最大值，所以實際上就是將這個數均分，假設分成n份，那麼他們的乘積就是：(k/n)n.其中k為這幾個數的和，為一常量。利用導數知識，可以算出其極值點。

首先是「1」吃飯不幹活

a*b&>=a+b （大概就是這個意思，公式還有一點限制條件）

2*2&>=4

2*3&>=5

2*4&>=6

3*3&>=6

3*4&>=7

綜合比較之下，是不是3 「最划算」呢？

1. a 不能分成1 與 a-1 的和。

2. a &<= 4 時，分解後的積 &<= a, 當且僅當 4 = 2 +2 時相等。

3. a分為兩個數之和,並且這兩個數的乘積最大. x= a/2, y = a-x, 繼續分x, y。遞歸。

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