既對稱又正交的矩陣一定是對角矩陣嗎？如果是，如何證明？

01-03

我給一個滿足條件的所有矩陣的另一種表達形式：

$U = I - 2V^TV$

其中U是n*n的矩陣，而V是個m*n的矩陣，其中0&<=m&<=n，且 $VV^T = I_m$

充分性：

顯然U對稱，且 $U^2 = I - 4V^TV+4V^T(VV^T)V=I$

必要性：

對於任意一個滿足條件的矩陣U"，因為對稱所以可以對角化，對於任意向量x，有U"U"x = x，包括U"的特徵向量，意味著所有的特徵值必須為1或者-1，取特徵值為-1的一組單位正交的特徵向量拼成矩陣V，按照上面的公式計算得到U，可以發現U和U"有完全相同的特徵值和特徵向量，因此兩個矩陣是相等的。

m=0的時候U=I，m=n的時候U=-I，但其他情況下U不一定為對角陣。m=1的情況下U是householder矩陣。

直觀上來說，這個矩陣的意義是：將整個有限維空間分解成兩個正交子空間A和B，將輸入向量分別投影到A和B，然後將A中的成分保持不變，B中的成分反向。這可以看成是某種關於子空間A的鏡像：A是零空間時就是中心對稱，A是一維空間時就是繞軸旋轉180°，A是n-1維空間時就是關於超平面鏡像，依此類推。

易證這樣的矩陣等價與它可以表達為PJP^T這種形式，其中P為正交矩陣，J是對角矩陣，並且J的每個元素只取1或者-1。

反例的話，比如二階矩陣，令J=diag(1,-1)，P為旋轉矩陣，只要旋轉角不等於90°的整數倍，那麼A就不是對角。

謝邀，設

$A=egin{pmatrix}0 0 1 \ 0 1 0 \ 1 0 0 end{pmatrix}$ ,則 $A$ 是對稱而且正交： $A=A^T$ , $A^T A=E$ ，也就是說回答是否定的。

否. 以下三個命題等價:

第一個: $M$ 對稱且正交.

第二個: $M = V^T D V$ , 其中 $V$ 是正交矩陣, $D$ 是對角陣, 且對角元都是1和-1.

第三個: $M = I - 2 P$ , 其中 $P$ 是一個投影矩陣(或冪等矩陣), 即滿足 $P^2 = P$ 的矩陣.

Householder reflector也是正交並對稱，但是顯然不一定要是對角的

對對角陣做合同變換使其不對角，這保持正交和對稱