數學裡有哪些精彩的偽證？

01-03

一個很有名的例子是這個對四色定理的簡短的證明(Alfred Kempe, 1879)，直到11年後才有人(Percy Heawood, 1890)指出了這個證明的錯誤。

這個證明需要用到一個引理，由於證明並不是很複雜（用歐拉公式）而且不是本答案重點（ie 它的證明是對的），我們就不證它了：

引理一個n&>=3個頂點的平面圖G最多有3n-6條邊。

現在我們來證明四色定理。

定理對任何平面圖G，都可以給G的每個頂點分配一個顏色，使得任何G中的邊的兩個頂點顏色都不同。

這個定理的描述和通俗版本的不太一樣：四色定理的通俗版本是說，任何一個平面上的地圖都能用四種顏色染色使得相鄰國家的顏色不同。我們可以想像每個國家有一個首都(G的頂點)，每兩個相鄰國家的首都之間都有一條不一定是直線的路(G中的邊)。於是通俗版本的四色定理就變成了上面的圖論描述。

證明：

設G是一個n個頂點的平面圖。n&<=4的情況顯然正確。現在對n進行數學歸納法：當n&>4時，取一個G的度（相鄰頂點的數量）最小的頂點v，由之前的引理我們知道v的度最多是5。根據歸納法假設，圖G-v(ie將v移除後的圖)是可以用四種顏色染色的。現在將G-v用四種顏色染色，然後考慮與v相鄰的點。如果它們沒有用到全部4種顏色那麼我們就可以用剩下的顏色染v了。不然，在平面上畫出G（取一個G的drawing），然後分類討論：

(1)v的度是4。設和v相鄰的頂點按順時針順序為a,b,c,d，不妨設它們的顏色按順序分別為1-4。現在補充一個定義：稱一條G-v中的路徑為(i,j)-路徑，如果路徑上的頂點的顏色按順序依次間隔為i和j。現在考慮由a出發的所有(1,3)-路徑。如果c不在任何這樣一條路徑上，那麼我們直接把所有這樣的路徑上的1和3交換即可讓a用3染色同時不破壞剩下的圖G-v的四色染色。然後用1來染v即可。不然，我們有一條從a到c的(1,3)-路徑。由於G是平面圖而且abcd是按順時針排列的(見下圖)，我們知道不可能存在從b到d的(2,4)-路徑了，於是把從b出發的(2,4)-路徑上的2和4交換即可；

(2)v的度是5，和v相鄰的頂點按順時針順序為a,b,c,d,e，且顏色按順序為1,2,3,4,1(只是一種情況)。考慮從b開始的(2,4)-路徑，如果d不在任何一條這樣的路徑上那麼和第一種情況類似交換b開始的(2,4)-路徑上的2和4即可；不然如果b到d有一條(2,4)-路徑，從c到a和e就無法有(1,3)-路徑了(見下圖)，不然G不是平面圖。於是和第一種情況類似可以解決這種情況；

(3)v的度是5，和v相鄰的頂點按順時針順序為a,b,c,d,e，且顏色按順序為1,2,3,1,4。注意到實質上不同的染色只有這種情況和上面的第二種。現在如果e不在b開始的(2,4)-路徑上，或者e不在c開始的(3,4)-路徑上，我們都可以交換b或c開始的對應路徑上的顏色從而解決；不然，e有一條到b的(2,4)-路徑，而且有一條到c的(3,4)-路徑。但是這樣一來，a到c就無法有(1,3)-路徑，而且d到b也無法有(1,2)-路徑了(見下圖)，於是我們交換a的(1,3)-路徑上的1和3，以及d的(1,2)-路徑上的1和2，於是a變成了顏色3，d變成了顏色2。現在我們就可以把v用1染色了。

綜上所述，如果G-v 可以用四種顏色染色，G也能用四種顏色染色。於是任何平面圖G都能用四種顏色染色。

【圖片】【水星】數學毀滅者_數學吧_百度貼吧

所有三角形都是等腰三角形？

（上面鏈接圖不大對所以去維基里找的）

作∠A的角平分線。
作BC的垂直平分線，並設BC的中點為D。
設這兩條直線的交點為P。
從P向AB和AC作垂線，並設垂足為E和F。
作直線PB和PC。
△EAP ? △FAP（AP = AP；∠PAF ? ∠PAE由於AP平分∠A；∠AEP和∠AFP都是直角）。
△PDB ? △PDC（∠PDB=∠PDC；PD = PD；BD = CD由於PD平分BC）。
△EPB ? △FPC（EP = FP由於△EAP ? △FAP；BP = CP由於△PDB ? △PDC；∠BEP和∠PFC都是直角）。
因此，AE ? AF，EB ? FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。
同理，AB = BC，AC = BC。

這裡的錯誤在於，角平分線和對邊的中垂線不可能交於三角形內部。

正確的圖：

（高中同學@拓荒講的。）

同時維基（無效證明 - 維基百科，自由的百科全書）裡面還有好多這些例子：

這個也是經典的釣魚貼，主要是因為證明中的錯誤很難看出來：

正確的圖：

還有微積分的例子：

如最前面那個問題裡面最高票所說，這些無效證明有的還是很深刻的。比如證明三角形都是等腰三角形那道題，這之前我們都明白，因為圖的精度有限，測量精度有限，所以幾何證明不能靠畫圖測量，只能靠邏輯推演。但這個證明告訴我們，不精確的圖甚至拿來作為邏輯推演的輔助都是很有風險的。

想起了大一的分析課教授忽悠我們的題。

定理：所有柏林人的身高都是一樣的。

證明：

數學歸納法。如果只有一個柏林人，顯然定理成立。

如果任意n個柏林人的身高都一樣，證明n+1個柏林人身高也一樣。可以把n+1個柏林人分為兩組，第一組為1,2,3,...,n號，第二組為2,3,4,...,n,n+1號。

根據歸納假設，每組人的身高都一樣，所以n+1個柏林人身高也一樣。

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評論區的各位朋友已經指出了證明的錯誤，那就是從1推到2並不能成立。至於說任意n個人身高相等等價於所有人身高相等的朋友們，這句話更嚴謹的說法是，給定n，對於任意n個人身高相等；而不是對任意的n，任意n個人身高相等。所以說兩句話等價的朋友，可以把n=1代進去再讀一遍，看看有啥問題。

最經典的應該是這個了:

MSE上都能拿500vote....

這個vote和知乎的贊不大一樣, SE 吃瓜群眾是沒有點贊資格的

當然放到你國就很魔幻現實主義了...

鉤直餌咸,當年吊了一籮筐魚,驚動了中國青年報...

別有用心的「圓周率謠言」-中國青年報

當然其實現在也能用.....

在我心裡最著名的應該是Fermat當年在書的留白處對fermat last theorem寫下的"我發現了一個美妙的證明，可書頁太小寫不下"，目前基本可以說當時他只是用無窮下降法解決了n=4的情況，該證法目前已經加入了數分例題的豪華午餐(史濟懷版)

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最精彩的當然是歐拉的偽證了，雖然結論對了，但證明方法錯了（不嚴密？）

對於級數 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^2}}$ ,作為一個p級數顯然它是收斂的，收斂到 $frac{pi^2}{6}$ ,但是歐拉證明的方法雖然很漂亮，但是錯了

歐拉巨巨是這麼想的，對於sin(x)的冪級數展開

$sin(x)= x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}$ +...

有 $frac{sinx}{x}=1-frac{x^2}{3!}+frac{x^4}{5!}-frac{x^6}{7!}$ +...

同時我們發現 $frac{sinx}{x}$ 在R上的根是 $npi$ ( $n!=0, nepsilon Z$ )可得

$frac{sinx}{x} = prod_{n=1}^{infty}(1-frac{x}{npi})(1+frac{x}{npi})=prod_{n=1}^{infty}(1-frac{x^2}{n^2pi^2})$

寫開來看得清楚點： $(1-frac{x^2}{pi^2})(1-frac{x^2}{4pi^2})(1-frac{x^2}{9pi^2})(1-frac{x^2}{16pi^2})...$

觀察上面這個無窮連乘，我們看它x^2的係數的和，可以發現是 $-sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^2pi^2}}$ 而由冪級數展開式可以發現二次方項和是-1/6

即 $-sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^2pi^2}}=-frac{1}{6}$

把 $1/pi^2$ 提出來整理下式子就能得到 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^2}}=frac{pi^2}{6}$

QED.

然而很遺憾這個證法不嚴密

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最後有一個玄學的，大聲和我念：SPFA時間複雜度是O(VE)

定理:任何整數都可以用20個以內漢字表達出來，"二十"，"第二百五十六個素數"，"二的三百六十五次方"等等

證明:反證法，假設存在一系列數a1,a2…不能用20個漢字表達，那麼對於最小的一個a1，可以用"最小的不能用二十個漢字表達的數"表達，由於字數滿足要求，因此a1不屬於集合，矛盾，所以不存在不能用20個漢字表達的整數

定理1 頭髮少的人叫做禿子

定理2 禿子多一根頭髮還是禿子

假定一個人有n根頭髮

n=0的時候，這個人是禿子

n=1的時候，這個人也是禿子

假設n=k時，這個人是禿子

我們發現n=k+1時，這個人也是禿子

所以，對於任何自然數n，都可以得出，這個人是禿子，所以每個人都是禿子。

以上，完美。

知乎首長答，求贊求感謝?（＾?＾●）?? （●′?｀）?

三江第一定理

威震民科吧的三江第一定理，好吧我開玩笑的……

————————————————正經的分割線————————————————

歐幾里得幾何原本的第五公設：若兩直線和第三條直線相交，且在同一側所構成的兩個同旁內角之和小於兩個直角。這兩條直線像該側延伸一定相交。

然而在幾何原本中，只有一個命題的證明需要直接用到這條公設（命題29：兩直線平行同位角相等，同旁內角互補）因此當時認為應該可以在不涉及平行角相關定理的情況下應該是可以證明第五公設的（想看更詳細的戳這裡：第五公設）

其中最具迷惑性且最經典的證明是法國數學家阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德的證明：首先先證明三個預備定理（下文的d均表示直角）

第一預備定理、：三角形內角和不能大於兩個直角

點D1也可以取在AC上

假設△ABC內角和為2d+φ（φ＞0）

如圖，作BC中點D，延長AD至B1，使AD=DB1，易得△ABD≌△B1DC。

得∠DB1C=∠DAB，∠DCB1=∠DBA。從而，△AB1C應與△ABC內角和相等，也為2d+φ。但是由於△AB1C的最小內角顯然不大於∠CAB1與∠AB1C中的較小者，因此也不大於∠DAB與∠CAD之中的較小者。因此顯然，△AB1C中的最小內角不超過 $frac{alpha}{2}$ 。

當以上過程重複n-1次時，所得的第n個三角形內角和依然為2d+ φ，但最小內角卻不大於 $frac{alpha}{2^{n-1}}$ ,這時候，三角形另外兩個內角的和應該不小於 $（2d+psi）-frac{alpha}{2^{n-1}}=2d+（psi-frac{alpha}{2^{n-1}}）$ ，當n達到一個足夠大的數值時，將大於2d，這是不可能的。從而與題設矛盾。從而第一預備定理得證。

第二預備定理：若如存在一個三角形內角和為2d則所有三角形內角和均為2d

首先，這個定理可以轉化成另一個等價命題：任意一個直角三角形的內角和為2d，因為任意一個三角形都能從最大的內角上向對邊作高，從而分割成兩個直角三角形，而他們的直角又重合成一條邊。

現在假定△ABC的內角和為2d，由第一預備定理得∠1+∠2+d≤2d，∠3+∠4+d≤2d。

從而從而∠1+∠2+∠3+∠4≤2d。依據我們的假定，所以必須有∠1+∠2=d，∠3+∠4=d。

這就是說，在我們的假定下，至少存在一個RT△的內角和為2d。取△BDC為這樣的三角形，將p邊與q邊延長m倍與n倍（ $m，nin N$ ），再聯結EG

因為m與n為自然數，所以四邊形能被分割成正整數個全等於△BDN的三角形，而每個分割成的小三角形的內角和均為2d，所以大四邊形的內角和為4d，於是△EDC的內角和為大四邊形的一半，於是△BDG的內角和也為2d

現在轉到更一般的情況，另△DMN是一個直角三角形（注意：點M和點B不一定重合，答主偷懶用一個圖）由於m和n可以達到足夠大，超過DM和DG，因此不妨設DE≥DM，DG≥DN

聯結EN， $由△EDG內角和為2dRightarrow△EDN和△ENG內角和為2dRightarrow△EMN和△MDN內角和為2d$ ，即任意一個RT△ 內角和均為2d，第二預備定理得證

第三預備定理：如果有一個三角形內角和小於2d，則所有的三角形內角和都小於2d

證明：這個是很明顯的，一個三角形的內角和肯定是一個數值，所以他要麼大於2d，要麼等於2d，要麼小於2d。根據第一預備定理，三角形的內角和不大於2d。因此任意一個三角形的內角和只能≤2d。

根據第二預備定理，只要存在一個三角形內角和等於2d，則所有三角形的的內角和也等於2d。由第二預備定理的逆否命題可得，若存在一個三角形的內角和小於2d，則所有三角形的內角和都小於2d。證畢

證明完三個預備定理後，勒讓德教授又做出以下推理：

如果有一個△ABC的內角和為2d-φ（φ＞0），則我們作△ABC關於軸BC對稱的圖形A1BC（圖中的兩個粉色三角形）過點A1作直線交射線AB於點B1，交射線AC於點C1。

記△BB1A和△CA1C1的內角和為2d-ε和2d-ζ（ε和ζ均為正數）

因為大△AB1C1的內角和加上3個平角（∠ACC1和∠ABB1還有∠B1A1C1）應為四個小△相加之和。可以列出關係式

$（2d-varphi） imes2+（2d-varepsilon）+（2d-zeta）-2d imes3=2d-2varphi-（varepsilon+zeta）＜2d-2varphi$

以此類推，可得存在一個內角和小於2d-2φ的三角形→存在一個內角和小於2d-4φ的三角形→存在一個內角和小於2d-6φ的三角形……最後，內角和小於 $2d-2^{n}varphi$ 的三角形存在。而當n足夠大時，三角形內角和為負數，顯然錯誤。

因此三角形的內角和只能為2d

證明了這個結論，用同一法很容易推出第五公設：

∠ABC＞0，△ABC的內角和為2d，因而∠BAC+∠BCA=2d-∠ABC＜2d。經過檢驗每一步均為可逆，證畢。第五公設得證。

然而這個證明究竟對不對，若不對又錯在哪？（答主：對的話我就不往這發了。）不許偷偷看答案。

——————————————答案分割線，請按5————————————————

哈哈哈，你是不是來偷看了

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就是這步出現了循環論證。作△ABC關於軸BC對稱的圖形A1BC（圖中的兩個粉色三角形）過點A1作直線交射線AB於點B1，交射線AC於點C1。在這步中，隱蔽的使用了等價於第五公設的說法：過角內一點作直線，只要直線不平行於角的任意一邊。直線就能與角的兩邊相交。

這個失誤恰恰是勒讓德教授指出的。而第五公設是歐式幾何獨有的公設，黎曼幾何和羅式幾何就不存在這個問題。也就是滿足這個公設的是歐式幾何，因而不能用歐式幾何進行證明。

以上內容均非原創，摘抄自《圖形與邏輯的故事》，我是資源的搬運工（碼字好累）

Proposition 1 $1=2$

Proof: Let $a=b$ , then $a^2=ab$ , and thus $a^2+a^2=a^2+ab$ .

So we have $2a^2=a^2+ab$ , and $2a^2-2ab=a^2+ab-2ab=a^2-ab$ .

This can be written as $2left(a^2-ab ight)=1left(a^2-ab ight)$ ,

and cancelling the $left(a^2-ab ight)$ from both sides gives $1=2$ . $square$

To be continued ...

Reference:

[1] 1=2: A Proof using Beginning Algebra

隨便寫兩個數，例如3和5。3乘5就是3個5相加：

3×5=5+5+5

6乘6=6+6+6+6+6+6（6個6相加，也就是6^2）

那麼，x個x相加呢，就是x乘x，即x^2

x^2=x+x+……+x（共x項，也就是x個x）

對兩邊求導，得到：

2x=1+1+……+1（共x項，也就是x個1）

既然是x個1，那就是x乘1咯，所以：

2x=x

於是：

2=1

這個算么？

1.證明任何正整數都是有趣的。反證法：若不然，我們構造由無趣的正整數構成的非空集合。由良序性，該集合中有一個最小元a.那麼a具有有趣的性質，即它是最小的無趣數。這樣，a不在該集合里，矛盾!

2.《意想不到的考試》.小明的老師聲稱下周會在小明意想不到的某一天進行突擊考試。小明分析下來，認為老師不可能進行突擊考試。分析如下：首先，不可能是周日,若不然到了周六，小明就能推斷出周日考試，那就不是「意想不到」的。其次，不會是周六，否則到了周五，小明就可推斷出周六考試(因為「周日」剛才已被排除).以此類推，可以推斷每一天都不可能「意想不到」地考試。

到了下周三，老師宣布考試，小明傻了。。。

以上兩例來自於《科學畫報》。

3.證明圓周長不依賴於半徑。

將一大一小兩枚圓形硬幣同圓心地粘合起來。

讓硬幣在桌上豎起來，無滑動地勻速滾動一周。

於是圓心的位移距離等於大圓圓周。

由於小圓也跟著滾動一周，因而它的周長也等於圓心的位移距離。

這就推出兩圓圓周等長。

想到一個同學的拓撲作業強答一波hahah這樣算嗎，反正第一次看到笑cry了

等周不等式的初等幾何版「證明」：

等周不等式：在周長相等的封閉曲線中，圍成的面積最大的曲線是圓。

證明：1.如果某曲線 Γ 是等周問題的解，那麼Γ所圍成的圖形必須是凸的；

2.如果Γ是等周問題的解，那麼，如果Γ上的兩點 A和 B 連成的直線段平分了Γ的周長，那麼AB必然平分了Γ所圍成圖形的面積。

3.如果Γ是等周問題的解，那麼其上取一條既平分周長有平分面積的弦AB，那麼Γ上任意異於A和B的點對應弦AB的張角必須是直角。

顯然，滿足上述三個條件的曲線必定是圓，證畢。

寫的比較簡略，事實上上面三個命題都是對的，但整個證明是有問題的。看看有多少人能看出來問題

這個偽證精不精彩我也不清楚，主要是我相信有一部分剛剛學習虛數的同學都有可能犯的一個錯誤，於是也就認為自己找到了一個重大發現，但實際上只是自己對於虛數運算的理解存在漏洞。

根據虛數定義可知： $sqrt{-1}=i ightarrowsqrt{-1} imessqrt{-1}=i^2=-1$ ，

但同時，我們認為根號乘法具有以下性質： $sqrt{a} imessqrt{b}=sqrt{ab}$ ,

所以很「自然」地得出: $sqrt{-1} imessqrt{-1}=sqrt{-1 imes(-1)}=sqrt{1}=1$ ,

於是，我們成功「證明」了： $-1=1$ .

不記得哪裡來的圖了：

我想說的不是結果錯誤，而是結果正確但過程錯誤的偽證，這是更不被重視的一類錯誤。

舉一些高中數學的例子，為了更能說明重點，我選取的都是很容易的結果：

1. 求函數f(x)=x2/2-ln x的單調遞增區間

f"(x)=x-1/x，由於f"(x)&>0的充分必要條件是x&>1，所以f(x)的單調遞增區間是(1,+∞)。

2. 求最大的正整數S，使S不能表示成三個正整數的和

1+1+1=3，所以1和2不能表示成三個正整數的和，但是3可以。所以符合要求的最大的S是2。

請讀者自己指出它們的錯誤。

解答：

1. 用導數討論單調區間，只能處理導數是正或負的情況，在高中階段我們無法處理導數在區間上等於零的情況。所以如果想對定義域求單調遞增區間，必須對整個定義域的單調性都進行討論，僅僅找到f"(x)&>0的充要條件是不夠的。

2. 僅僅說3可以表示成三個正整數之和還不夠，必須說明不小於3的正整數都可以，才能說明最大的S是2。因為後者太顯然，反而容易被忽略。

（更新：你們這些說f"(x)&>0的充要條件不對的，請重新學習函數的定義，定義域被你吃了嗎）

在我的專欄里：https://zhuanlan.zhihu.com/bjgk-yss，有大量這樣的例子，多訓練，才能儘可能減少這類錯誤。以上兩個例子，都是我個人的原創題里出現的。

而到了大學，毀三觀的例子就更多了，想當然更不可取。

我們學習數學時，一定要嚴格按照定義和定理走，在眼界不夠大的時候，最好不要用自己的主觀印象去把概念想像成一個「意義」。

比如你可能在一開始以為連續就可導，後來發現不行了。你以為可積需要連續，起碼不連續點得是有限多，後來也發現它不是。

最精彩的還是康托爾關於（0,1）不可數的證明

π=4 網上看到的

「我們的教科書真實率低於5%，連數學也不例外，年輕人要敢於懷疑。越是從小學習，看起來理所當然的知識越值得懷疑。圓周率等於……」

1968年冬天，在刺骨的寒風中，數學教授吳駕翔凜然站在後海的岸邊，最後一句尚未說完，便被瘋狂的紅衛兵掛上石頭沉入了後海。

在我們的少年時代，有很多人都有這樣的經歷，因為圓周率3.14這樣一個詭異數值無法心算，去列複雜的豎乘式而耽誤時間。很多人因此算錯乘積，點錯小數點，遭到父母的責打，乃至與夢中的重點中學、大學失之交臂。

可又有多少人知道，我們所使用的圓周率，無限不循環小數3.14159…並不是真實的值，而是為了禁槍的目的而刻意修改的。

真實的圓周率等於4，在中國卻是絕密。

圓周率最早是古埃及人用「割圓法」得到的。在直徑為1的圓外作一個邊長為1的外切正方形，這個正方形的周長等於4。然後將正方形的四個角向內折，使直角的頂點接觸圓的邊，這時，這個粗十字形的周長仍然為4。進一步將這個粗十字形的所有向外突出的90度角向內折，使直角的頂點接觸圓的邊，形成的齒輪狀多邊形的周長仍然等於4。這樣無限折下去，最後形成一個帶有無數鋸齒、無限緊套圓形的齒輪形，周長仍然等於4。

所以，一個直徑為1的圓周長等於4，即圓周率等於4。

其實，讓我們拋卻荊棘叢生的數學推導，摒棄一葉障目的機械思維，帶著對宇宙萬物的人文關懷，從哲學的角度思考自然規律的本質。我們不難發現，圓是世界上最簡潔的形狀，任何辭彙都難以形容它的樸素。作為圓周率，註定只有乾淨純粹、不帶任何雜質的自然數，才配得上圓的純凈。沒有繁花似錦，只有舉重若輕的一抹純色，如同普羅旺斯一望無際的淡紫，香格里拉歷經千年不化的雪白。

沒有無理數，沒有無限的不循環，圓周率註定只是簡簡單單的一個4。

從古到今，幾乎所有國家的數學書上圓周率的值都是4。

1949年新中國成立後，在推行禁槍的同時，所有數學課本上的圓周率改為了3.14159…近似為3.14，並被故弄玄虛地描述成一個難以認知、難以記憶的無限不循環小數。同時，所有民國時期的數學課本均被銷毀。這樣做的真實目的，是為了防止有人利用圓周率計算管狀物體的用料，成功造出槍管和炮管，給政權帶來不穩定。

人為改小圓周率的值，可以讓利用錯誤的圓周率算出的槍管周長偏小，用料偏少，造成槍管偏薄，和子彈卡在槍管里炸膛等情況，使造槍者自動傷亡，促進民間槍支的消失。

1973年，民間造槍愛好者，中科院某研究所鉗工車間職工王克利在用自造的手槍射擊時，發生炸膛事故而死亡。60多年間，更多類似的事件數不勝數，卻理所當然地永遠不可能見諸報端。

與之相反，在美國等國家，民眾不但擁有擁槍的自由，憲法還賦予了公民使用武器對抗和諧的權力，因此，和諧從不把圓周率的真實數值當作絕密，而是坦然教授給民眾。

對圓周率被如此大規模改成錯誤的數值，大多數中國人選擇了失憶和沉默，只有一個人站了出來。

吳駕翔，1909年2月11日生於廣州，1928-1936年就讀於南京國立中央大學數學系。年少時即表現出天才般的數學造詣，其博士論文《實數在（e^11.9223，e^11.9232）區間的非線性加性》引起國內外數學界的震驚。吳與同一時期在清華大學暫露頭角的華羅庚一起被認為是中國數學界的兩大青年才俊，並稱「南吳北華」。兩人成為惺惺相惜的摯友。建國後，華羅庚內斂、現實的性格使他在歷次運動中採取了隨波逐流、明哲保身的無奈態度。而吳駕翔固執地遵循著在民國故都接受的道德教化，使他保留了堅持真理、敢怒敢言、不向任何威權妥協的君子遺風。

50年代末，吳駕翔無法接受所有數學課本上的圓周率從4被改為3.14的做法，堅持傳授和使用圓周率的真實值，在反右運動中被打倒。同樣在歷經打擊後，華羅庚忍辱負重，違心地附和「數學要為工農兵的實際生產服務」，並多次暗示吳妥協，「留得青山在」，吳駕翔卻毫不動搖，繼續堅持著圓周率等於4。最後，在文革中，不明真相的紅衛兵被煽動起來，將吳駕翔插上「***學術異端」的牌子，遊街批鬥後沉塘。在掛上了石頭，被推下後海的最後一刻，吳駕翔面對已經失去理智的紅衛兵，仍然從容地說：

「我們的教科書真實率低於5%，連數學也不例外，你們年輕人要敢於懷疑。越是從小學習，看起來理所當然的知識越值得懷疑。越早讓你們學，越是有人迫切地希望你們在沒有辨別能力的時候學進去。因為你們大了就不那麼好騙了。真實的圓周率，就是等於4。」

在一片「打倒***瘋子吳駕翔！」的喊聲中，吳駕翔被扔進了水中。

在那個人人自危的年代，華羅庚強忍著心中的悲痛，一直不敢公開表達對吳駕翔的悼念之情。

1978年吳駕翔被平反，華羅庚第一個來到吳的墓前。他的眼淚像斷了線的珠子一樣不停地流，「駕翔兄，我來晚了……」

吳駕翔之後，中國再沒有人敢公開支持圓周率等於4。後來也曾有民間團體將圓形、折線和4的元素整合到徽標上，希望籍此暗語提醒世人「圓周率通過折線割圓法證得等於4」的事實。甚至通過自殘等乖張怪異的舉動吸引注意，未料無人知其苦心，意圖卻被官方首先識破，不得不流落異鄉。從此，圓周率的真實值也就漸漸不為人知了。