從[0,1]區間內任取一點，取到任意一點的概率都是0嗎？

01-03

如何寫出從[0,1]區間中任取一點的演算法？
如果這樣的"任取一點"的演算法寫不出來，那麼從何談起"取到任意一點的概率"？

首先在於如何規範化定義「任取」，或者說「隨機取」。貝特朗悖論就告訴大家，僅僅說「隨機地」是不夠的，還需要指明其概率空間，比如是「隨機地取離散均勻分布」、「隨機地取連續均勻分布」、「隨機地取正態分布」等等。

「如果這樣的"任取一點"的演算法寫不出來，那麼從何談起取到任意一點的概率？」這句話的意思是否是，取到任意一點的概率是通過某種方法、演算法「事後」去計算、得出來的？實際上，如果概率空間給定，那麼概率（事件上的測度）就已經「事先」給定了，比如我們說，「隨機地在[0,1]上取離散均勻分布」，那麼0和1這兩點的概率就事先可知是0.5，其餘點均為0；「隨機地在[0, 1]上取連續均勻分布」，那麼區間上任意一點的概率事先可知是0。所謂的計算演算法，只起到一個「驗證」的功能。

題主雖然沒說完整，但這裡其實是表達均勻分布的取法，只是在糾結「取」這個演算法的存在性與這句話的正確性之間的關係。所以其他答主太強調均勻這件事就跑題了。

學數學不能用太「實際」的眼光。我可以告訴你，在有限步數內完成在 [0, 1] 上均勻取點的演算法並不存在。但「不能取」不代表這句話說出來就是錯的或者沒有意義的，他可能沒什麼實際意義，但你要理解他在數學上的意義。

這句話用更數學一點的語言描述是這樣的：P 是定義在 [0,1] （的某個代數）上的均勻分布，則對於任意 0 &< e &< 1，有 P({e}) = 0.

這裡沒有「取」了，但這種描述並不太直觀，讓人一下子聽不懂。所以題目中的「取」只是從有限情況借過來的一個辭彙，讓這個數學概念能用更生活化的語言描述出來而已。「取」這個動作到底怎麼做，不重要，甚至不能實際完成也是無所謂的。

如果你一定不想繞開「取」這個辭彙，那你可以嘗試用這樣的方法去理解：

首先定義一個演算法。給定自然數 N，我們可以把 [0,1] 分成 2^N 段。通過連續投擲 N 次均勻硬幣，我們可以在有限步數內、以均勻的概率，隨機得到這 2^N 區間中的一個，概率為 1/2^N 。

接下來考察這個演算法的一些極限性質。當 N 趨於無窮時，區間的極限是單點集，區間長度的極限是零，取到每一段得概率的極限是零。

如果你熟悉極限的話，你應該知道我這裡並沒有把「取」這個演算法擴展到無窮的情況，句子2隻是描述了，對於任意小給定的概率 e 和某點周圍的區間長度 l，總可以找到有限但足夠大的 N，使得 1/2^N &< min{e,l} 。而直觀上，這就是說明了「取得任意一點的概率是零」。

樣本空間如果是[0,1]內所有實數，那麼概率就是0。

但在計算機里不是0，因為計算機沒辦法表達所有實數，所以樣本空間實際上是 $Omega= {x|0<=x<=1且x可被計算機某一編碼方式表達}$

這就變成了一個古典概型，樣本空間里的元素個數就有限了，需要的時候等概率取一個就好。

如果讓我實現，我會隨機取一個unsigned int或unsigned long long，然後把它看作二進位純小數，即第一位的權是1/2，第二位的權是1/4，……，如果位數要求高，還可以多用幾個long long。

均勻分布或者各類連續分布的單點概率都是零。

利用二進位，無限拋硬幣可以給出一個理想的演算法，截斷有限次就可以做近似演算法，當然這隻保證區間上樣本總數的近似。

謝邀，是的。這是測度論的內容，可以告訴你：除了這個比較trivial的例子，另一個有趣的現象是，［0，1］之間無理數比有理數多，隨便取一點，取到有理數的概率也是0。

這難道不是測度論的內容？

現實世界的樣本空間大小是無限的，所以概率就是0。計算機里，double 64位，最多表示 2^64 個數，所以樣本空間大小就不是無限了。換而言之，「坍縮」了。

我知道題主的意思了，即是我們任取一點，這一個點"事實上"取不出來，這是實數的構造問題，建議題主可以去完善下實數的確切定義(第一次數學危機的解決，可以提前看一下"數學分析")，然後再回顧"任取一點"，如果還不能理解，加上選擇公理，這是公理。

如果你承認[0,1]是一個非空集合，那麼由選擇公理，我們就有某個法則(函數)，能從中選出一點來，這個法則(函數)我不會構造(應該也沒人會構造)，我們只是承認它是對的，能良好地演繹出一些與真實世界符合良好的規律。如果你不承認選擇公理，那又是另一套規律。這與其他人所述的計算機演算法並不相容，要知道，計算機可不認識選擇公理。如果題主想知道計算機相關，其他人的回答挺好的，我這裡按我的理解給出數學解釋，先膜一發其他各位數學系大佬。

要寫什麼演算法？

計算機根本不存在「實數」這個概念，

計算機連[0,1]之間的全體有理數都表示不出來。

計算機沒有「無窮」這個概念

別說[0,1]中選中一個數的概率為0，

選中任一有理數的概率也為0。

但概率為0不代表不會發生。

首先搞清楚你要問什麼問題再說

寫不出一個演算法，不代表這個演算法所擬合的函數不存在啊…

另外思考概率問題時不要從哲學和自然語言的角度，要老老實實地套數學語言的定義，因為前者邏輯上不一定自洽。說簡單點就是買一本測度論，從 borel measure 和 lebesgue measure 看起。

概率為0不一定是不可能事件，只是測度為0罷了。因為一個點是零測集，所以一個點的概率是0。更大的，我們甚至可以說取到代數數的概率是0，而代數數在[0，1]確是稠密的，是不是很不可思議。

是0

不過你要先理解一句話。不可能事件概率一定為0，但零概率事件不一定是不可能事件。

感覺從測度論的角度出發，任何一點的外測度為0，對應的Lebesgue積分的值也同樣為0。這也就解釋了（對於連續型均勻分布下）為什麼每一點的概率密度函數在區間內任意一點的鄰域內積分值為0。

簡單呀

假如說取到某個點的概率為a （0＜＝a＜＝1）

那麼0到1這個區間中必定能取出 1+1/a個點

因為取到每個點的概率都相同，這樣計算的話概率和大於1了，假設不成立

證畢

首先，在[0，1]上取點，已經默認這個區間上的數是無窮的。然後求概率在分母無窮大，概率趨向於0

當然了。想像每次隨機一個0-9的數字接在小數點後面，你永遠終止不了這個數

數學上是概率為0的

要看你0到1的區間細分多少份，再取概率咯

如果無限細分，概率只能是無限接近於零，但是不會是零

首先這是測度論的內容。其次這個問題不是well-defined的，答案也未必是零。嚴格來說應該先給出概率空間，因為「任取一點」這個說法本來就是ambiguous的。如果是絕對連續的（absolutely continuous）的概率測度，那麼單點集的概率測度就是零，也就是說取到任一給定點的概率為零（因為單點集甚至可數集的Lebesgue測度都是零，由絕對連續的定義可以直接推出該結論）。如果這個概率空間中定義的概率測度是離散的（discrete），那麼單點處的概率可以不為零，一個典型的例子是Dirac measure。

我就簡單說到這，想詳細了解的可以找一本測度論的書看看或者參考Wikipedia的以下詞條：Lebesgue"s decomposition theorem、Discrete measure、Singular measure

嗯，連續型隨機變數取到任何一點的概率都是0，屬於零概率事件，但不是不可能事件。