球形導體電阻是無窮大嗎？

01-03

感覺這樣一片一片積分出來就是無窮大…
還是說我哪邊算錯了？
or理論上的確是無窮大？
請求指點。

電流分布並不是在每一層內均勻分布的，這麼直接套用電阻公式一層一層地算肯定是不對的。。

這種題只能先算電流【或電場】的空間分布，然後再確定電阻。。

最終，單位半徑的導體球的結果應該是 $R=frac{ ho}{2 pi delta heta}$ ，其中 $delta heta$ 等於右端的接觸面對應的張角。。在完全理想的情況下，張角為零，結果的確是發散的。。

具體計算可參考如下解答：

求一個實心電阻率均勻的電阻球的電阻？

我覺得你可能是鍾錫華《電磁學通論》的受害者。

上面q大回答中那個提問時我問的，我曾經算這個算了3晚上。q大搬運的北大梁昊大神的計算已經非常詳細了，鑒於題主是高中生，我來解釋一下為什麼我們要這麼做。

我們要回憶電阻定義的本源 $dfrac{Delta U}{I}=R$ ,計算電阻，本質上是為了知道電流或電勢差就能夠知道另一個量。

如果我們把球切成一個一個圓盤，圓盤上的 $I$ 的確是定值，但問題是每一個圓盤兩個表面的電勢差 $Delta U$ 並不是定值，是距離中軸線距離的函數 $Delta U (r)$ ,那麼問題來了，你計算這一圓盤電阻，選擇哪一個 $Delta U(r)$ ?對於這種電場線彎曲的情況，平均值肯定是不對。所以使用電阻定律計算電阻，必須要讓我們選擇的切片方式下的 $Delta U$ 是一個定值（而不是函數），那麼每個 $Delta U$ 都是常數，這實際上就是一個個等勢面。

實際上，電阻定律自身也指出了，其能計算的電阻一定是電流密度 $j$ 均勻的，引用wiki的圖

這個問題是鍾錫華老師《電磁學通論》上的一道習題，我曾經在這道題上和他交流了許久，他認可了梁昊的答案，並表示他曾經指出隔壁住的電氣工程大牛算這個問題的錯誤（和張工犯的一樣），這個問題告訴我們，不要迷信大V。

最後，我還記得那年我給她講這個題的時候。

很多事，再也回不來了。

從理論上講，球和平面相切的接觸只有一個點，這個點是數學上的點，面積為零，所以最後得出電阻為無窮大沒有錯。

而對實際的球和平面接觸而言，只要存在壓力，一個點上的壓強為無窮大。而實際（金屬）材料的肯定無法承受無窮大的壓強，所以必然發生形變（可以是彈性形變，也可以是塑形變形），使接觸面積變大，直到壓強在材料允許範圍內為止，這時候因為接觸面積不為零，接觸電阻就成了有限的數值。

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以上為9月8日稍有修改的原始答案（把「變形」改為「形變」）。

以下為9月10日補充：

====================================================================1. 原答案中所說的「理論上」，是指的純粹從數學觀點來看的，和實際的物理實體無關。

事實上，即使我們能製造一個理想球體，只要這個球體是由原子（分子）構成的，那麼接觸點起碼有一個原子接觸，兩個物體接觸在一起的時候，兩個相鄰的原子的電子云實際上已經發生了關係，實際的實體不可能存在數學意義上的點接觸。

另外有人指出空氣擊穿問題，我認為這個問題和這兒的題目無關，可以不必考慮。

實際的電觸點多有球形觸點，這些觸點使用時不可能不施加壓力，所以接觸點必然存在形變，不可能出現無窮大電阻或者近乎無窮大電阻的情況。

2. @Bullet Zhang 指出：

這樣的推導並不嚴謹。在接觸點處，導體的橫截面是無窮小，但是導體的長度也是無窮小，兩者均不可忽略。因此答主的推導過程並不正確

這種考慮比我的原答案更嚴謹。

按照題主的方法計算，是無法處理這種特殊情況的，得出的結論應該是無窮大。

至於這裡該怎麼處理，很抱歉我還沒有答案。

右側的接觸面積無窮小，無窮大的電阻是可能的，況且使君沒有算錯。

我曾經試圖計算過各種幾何體的電阻，使用的方法和你一樣，就是基本的積分。然後得到大量幾何體的電阻都說無窮大。很久以後才反應過來，那些幾何體上兩側我都給的是面積為零的幾何點或者幾何線，純數學角度來說電阻當然是無窮大。

關於接觸電阻一事，其他答主都講得很好了。

實際情形中，接觸點的面積都是有限小的，這與面積為零時壓強無窮大相關，所以該點必然形變從而有正的面積。

接觸面積按0算是可能無窮大……

所以你至少考慮個形變弄個接觸面積。

如果不弄，就考慮下空氣or真空的電阻，看看什麼時候擊穿

不是，你要先算電流分布，所謂的電阻定律是對於長直導體適用的，也就是說內部電場近似為勻強，要真的算的話，你應該用微分形式的電阻定律，根據電流分布算。

驚了，大v出場就算是錯的贊數也能後來居上。。。

每一層不是等勢面

在不考慮球形電阻內部電流分布情況，這個積分發散的問題，主要問題出在球與外界電流的接觸點，也就是在r=R時，那個點截面為無窮小，電阻無窮大。

然而實際情況，接觸面根本不可能是一個點，積分在π(R^2-r^2)=[接觸面積]是就應該截止了，計算結果為定值，不會達到無窮大。

如果認為點接觸，這時候的介觀效應就出來了。只要有分子，就能給你搭上電極去算電阻。

球面與平面的接觸點是有最小值的，即使是理想剛體，接觸點的面積也有一個原子那麼大。

原子旁邊可以跑好幾層電子呢。

何況還有放電現象的存在

這個球不是理想中的圓球，導線也不是電阻為0的超導。就像中學物理中的光滑平面，真空狀態、質心一樣。

突發奇想的問題：理想金屬球體是不是由原子構成的呢。如果是，是什麼晶體結構呢。那是構成理想金屬球體的是不是理想原子呢，這個理想原子的電子軌道，能級又是什麼樣的呢。能帶一定很漂亮吧，一點展寬都沒有。