什麼是 spin geometry？

斗膽回答一下，之後應該會有更適合的人回答。先談談什麼是旋量 (spinor)，spinor 其實可以看成是向量的推廣，比如考慮3維歐式空間的一個向量，如果沿著某個軸旋轉360度，那麼這個向量就回到它自身，本身沒有什麼變化。但是在某些物理情景里，比如考慮電子角動量，電子在在繞一圈回到原來位置時，可能本身角動量也發生變化。所以需要有一個概念來描述這種「旋轉360度然而並不回到初始狀態」的概念。在日常生活里，也可以找到一些現象來理解這種繞一周但是並不回到初始狀態，比如下面這個妹子手裡的杯子當妹子將手繞一周時，如果單獨看杯子，的確回到了初始狀態，但是如果把杯子和妹子的手臂看成一個系統，卻沒有沒有回到初始狀態，因為妹子的手臂扭曲了。

然而，如果在這個基礎上再旋轉360度，那麼杯子和手臂系統才真正回到初始狀態，如下圖

類似的例子還有 Dirac belt trick。上個例子里，妹子的手臂＋杯子就是一個spinor。一般的，可以把spinor用類似向量坐標表示出來，比如在3維歐式空間里，spinor 可以用一個2維復向量表示，更直觀的表示方法在 Steane 的notes里介紹了：簡單的說就是，想像每個spinor是一個旗杆上面固定了一面硬的旗子，同時想像每個旗杆有一個符號(＋或者—)

每個旗杆有4個參數，所以可以看成一個2維復向量，一般的對於n維歐式空間，相應的spinor可以用一個 維復向量表示。類似於向量，我們也可以考慮spinor的旋轉，唯一需要注意的是，當vector 旋轉360度時，相應的spinor 變為 (可以回顧一下妹子的那個演示，杯子就可以看作vector，然後杯子＋手臂就是對應的spinor)。 因此，spinor的旋轉群應該是和向量的旋轉群是2對1的。一般記spinor的旋轉群為Spin(n), 而向量的旋轉群就是我們熟知的SO(n) (特殊正交群)，Spin(n) 是SO(n) 的二重覆疊。

最初狄拉克考慮spinor是為了解決Klein-Gordon 方程， ， 是波函數， 為此他考慮了向量 , 每個 都是波函數，並且要求 有一個Lorentz 群作用。狄拉克希望找到一個運算元 使得 ,從而發現 , , 其中 是 的矩陣，可以看成Spin(n) 的生成元，滿足 ，比如當n＝2時， 就是泡利矩陣(Pauli matrices)。

因此，如果Spinor空間存在，我們都可以定義其上的狄拉克運算元,使得它的平方是我們所熟知的二階橢圓運算元，比如說拉普拉斯運算元。所以數學家希望對於給定的黎曼流形 ，它的切叢的主叢上面有附屬的Spinor空間 (associated vector bundle), 這需要流形的主叢，也就是SO(n)-主叢存在 Spin(n)-主叢提升，這是一個拓撲條件，等價於second Stiefel-Whitney class 。如果 , 我們稱流形 存在spin-structure,於是就可以考慮黎曼流形上的Spinor bundle 了。

其實自旋幾何 (spin geometry) 的研究是在旋量(spinor) 這個概念出現，甚至這個概念引入數學（由 élie Cartan）很久才被拓撲學家重視起來的，主要是Atiyah，Singer，Hitchin 等。因為拓撲學家發現雖然一個流形 上的harmonic form 的維數是拓撲的 (就是不依賴於度量選取，因為Hodge theory), 但是一個流形上的harmonic spinor (就是狄拉克運算元D kernel 里的spinor) 的維數卻是很依賴度量的 (Hitchin 在他的 『harmonic spinor』 文章里考慮 上的一族度量然後證明對應的harmonic spinor 的維數是趨於無窮的)。然後Atiyah 他們考慮一般的橢圓運算元時發現雖然 是依賴度量的，但是 是拓撲的，等於一些Pontryagin number 的組合，後者一般記為 ,表示它只依賴流形的拓撲，而前者就是運算元 的指標，記為 ，這個就是指標定理一個特例。當然這些的前提都是流形 存在spin-structure。

這個問題範疇廣若天際。

對物理來說，切入點大概就是 Seiberg-Witten、Donaldson-Witten 和 Gromov-Witten 理論，通過研究（從物理問題獲得的）旋量微分方程得到流形的幾何、拓撲、微分拓撲信息。

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在微分幾何或拓撲學中我們關心各種各樣流形的性質。作為一個引子，我們知道歐拉示性數是一個重要的拓撲不變數。但一般只有對可定向的流形才可以定義歐拉示性數或者歐拉示性類。而Gauss-Bonnet-Chern定理就是關於可定向的黎曼流形的一個定理。可定向是一個拓撲的條件，如果這個流形有切叢的話，那麼可以用Stiefel-Whitney類來描述這個條件，也就是切叢的第一個Stiefel-Whiteney類——記為 ——為零。為什麼呢？假設你知道一點纖維叢的知識。切叢作為一個向量叢，其結構群是 。這個叢可以用上同調群 中的一個元素 來分類。而可定向的等價定義是它的結構群可以約化到 ，即行列式為正的n階方陣構成的群。這個 的子群帶來一個群的正合序列：

它誘導一個上同調群的長正合序列：

代表切叢的上同調類 可以提升到 當且僅當 在 中的像為零。不難證明這個像就是 。

我們知道在同倫意義下 和 是一樣的。所以上面的長正合序列本質上是

可定向就是說結構群可以約化到 。

再談到spin。spin這個名字來源於電子（或其他粒子）的自旋。描述粒子狀態本質上要用到洛倫茲群或龐加萊群的表示。而由於存在費米子，必須用洛倫茲群的二重覆蓋的表示來描述半整數的自旋。在數學裡當然正定的度量比Minkowski度量更自然，洛倫茲群被換做 。當 時，它有一個非平凡的二重覆蓋，就自然的叫做 。這樣有群的正合序列

譬如我們知道 微分同胚於三維實攝影空間 ，它的二重覆蓋自然是三維球面。所以 是一個李群，同構於 。

對於一個可定向的n維流形X，切叢的結構群可以約化到 。上面的那個正合序列就誘導了上同調群的長正合序列

所以 在 中的像消失與否，是 的結構群可以提升到 的一個拓撲阻礙。當然我們知道Stiefel-Whitney類有另外的一套定義，這個拓撲阻礙是 需要證明一下。具體的證明可以在Borel-Hirzebruch的文章中找到。如果這個阻礙消失，那麼很自然的可以稱為spin流形，也即其結構群可以提升為 。一個具體的提升稱為一個spin結構。不同的spin結構相差 中的一個元素。

spin流形有什麼特殊的意義呢？在上世紀50年代，Hirzebruch在證明Signature（符號差）定理和高維Riemann-Roch定理的時候提出了一系列示性數。其中所謂 -genus，是一個關於切叢的Pontrajin類（某一類關於實向量叢的示性類）的組合。雖然Pontrajin類都是整係數上同調類，但

-類是通過冪級數

來定義的，一般來說 -genus是有理數。但是Atiyah-Hirzebruch（在Borel-Hirzebruch工作的基礎上）證明了，當X是spin的時候， -genus總是整數。

在上世紀風雲際會的年代，Atiyah和Singer開始了數學史上最終要的合作之一。而理解spin流形的 -genus總是整數這個事實，是他們合作的出發點。最終他們在Hirzebruch的方法的基礎上，在1963年首次證明了指標定理，也就是著名的Atiyah-Singer index theorem。尤其他們發現，當X滿足spin條件的時候，可以在流形上構造一個一階橢圓運算元，即Dirac運算元，使得 -genus等於Dirac運算元的指標。而橢圓運算元的指標自然而然是整數。如果說關於spin流形的 -genus取整數這個事實，Atiyah-Hirzebruch的定理算是「知其然」的話，那麼得到Dirac運算元的指標定理就算是「知其所以然」了。

Atiyah不無誇張的寫到「我（當時）的物理知識十分淺薄，雖然我上過Dirac本人的量子力學課（但這已經足夠了）。」

spin幾何可以說是關於spin流形上的Dirac運算元的幾何，各種指標定理就算是最基本的例子。一個最經典的結論就是 -genus是spin流形上存在正數量曲率度量的拓撲障礙。（廣義的Dirac運算元當然只需存在Clifford module就可以定義，譬如可定向流形上的 ，而未必需要spin結構。）Dirac運算元幾個比較有名的高階應用包括Witten對正質量定理的證明，Gromov-Lawson對正數量曲率度量的研究，和Seiberg-Witten理論。

附：關於 ，可以查閱Atiyah-Bott-Shapiro的文章。關於纖維叢和示性類的知識，可以查閱Hirzebruch的書，Milnor的書，和Borel-Hirzebruch的文章。關於 -genus，還可以查閱Atiyah-Hirzebruch的文章。關於指標定理的前世今生，可以查閱Atiyah全集第三卷。關於量子力學可以查閱相關教材。

Pantryagin示性類是一個關於流形可不可以定向的數學量，從直覺上來講，就是你把一個緊流形分成很多個坐標片，每片坐標片上的坐標和相鄰的坐標片上的坐標之間有轉移函數，轉移函數會構成一個轉移矩陣，轉移矩陣的det會有正負號，然後你可以把每個坐標卡看成點，相交的坐標卡用線連起來，那麼你給其中一個坐標卡標記了1或者-1以後，經過每一條道路都可以給道路中點那個坐標卡賦值，如果所有這些賦值都是相容的，那麼整個流形就是可以定向的。

然而spin manifold的限制性就更加複雜一些，從主從的觀點來看，要求一個流形具備spin structure本質上是要求 可定義，也就是說clifford代數可以定義，這本質上是M上某個纖維從（SO2的二重覆蓋）是否可以定向的問題，經過計算我們會發現這等價於第二個whitney示性類為零。直觀的解釋是低流形的局部坐標卡們構成的3階超圖們之間是相容的。具體計算可以參考 Notes on the Atiyah-Singer Index Theorem Liviu I. Nicolaescu或者麻小南的note，我也不記得是怎麼算出這個結果了。

那麼為什麼spin geomtry這麼powerful呢，這是因為一旦一個流形具備spin結構，那麼聯絡運算元就是可逆的，具體來說就是可以利用clifford乘法將1-form幹掉得到一個自然的同態。再配合上atiyah-singer index定理，我們只需要找到一個自然的聯絡，那麼我們就可以得到一個拓撲量的解析表達式，簡單的比如guass-bonet公式和poincare-hopf公式等都可以如此得來。spin geometry裡面最基本的一大類工作就是去給拓撲不變數解析證明以及解釋，還有就是利用atiyah singer指標定理髮現新的拓撲不變數。

去年馮灰濤和張偉平證明chern的緊仿射流形歐拉示性數都是零猜想這篇文章關鍵也是證明了緊仿射流形是spin的然後利用witten的形變技巧做一個線性擾動到無窮遠極限收斂於0得到的。同時利用橢圓虧格 的展開也能得到大量的拓撲信息，比如可以處理一些immersion和embedding的最小維數問題。這很類似於heat kernel的wave expansion和heat expansion可以給我們帶來譜的信息一樣。