場算符與荷算符對易關係的推導問題？

利用內部對稱 對應的酉運算元 在多粒子態上作用的結果，我們可以證明荷算符與產生湮滅算符的對易關係，如 ，但由於常係數未定，我認為 Weinberg 書上荷算符與場算符 的對易關係似乎是無法得到的。

Weinberg 的邏輯是先給出這個對易關係 ，然後說明它加上 S-矩陣非零得到的電荷量子數守恆 ，可以推出我們期望的 。

然而這個過程顯然是單向的（且就場論構建而言邏輯是反的），沒有說明對易關係必須長這樣。

事實上，我若先給對易關係為退化，即 （通過未定常數 與 的選擇得到），將相互作用密度用這個場構造，同樣（不使用電荷量子數守恆）能夠得到相互作用密度與荷算符對易的結論。

所以問題是，這個對易關係的邏輯是什麼？

我是覺得找充要條件是極難完成的任務，無論是物理還是數學，搞數學的也喜歡加一些自然的條件，比如有限性條件什麼的，否則很多事情是根本沒法做的。雖然兩者對自然的理解可能是不同的。

下面的回答純粹離題，稍微解釋一下我提出最少粒子種類這個條件的理由。

無視掉中性粒子q=0這個稍微trivial的情況。為了對易關係，場應該由產生和湮滅場線性組合而成，但是產生和湮滅場的粒子不一定相同。如果含荷，他們對應一個粒子是不可能保證荷守恆的。因之，必須要考慮更多的粒子。我所謂的最少粒子種類，就是考慮場的構造中只有兩種粒子的場的情況，此時他們是具有符號相反的荷、相同Lorentz群表示乃至於相同質量的粒子。進而甚至可能推出他們的荷相反。下面以標量場舉個例子，其他場沒檢驗，但是應該也類似。

1. 如果產生和湮滅的都是同一個粒子，那麼直接走對易關係這條路確定下係數，此時，為了，的每一個加項的都應該有相同數目的產生和湮滅算符，但是卻是關於的多項式。（這個推理書上有）

2. 所以我們要假設，且和，依然可以通過走對易關係這條路確定下係數，比如標量場此時有且兩個場的粒子質量相同（這個推理書上也有，並不依賴於他們是互為反粒子）。這種時候邏輯上沒有理由排除比如，這樣的可能性，其中m和n都是正整數。利用，我們如果可以推出m=n，則兩個粒子恰好都互為反粒子。

3. 由於是和的多項式，這種時候比如考察最高次的（算符的擺放順序對後面的推理不太重要，所以我就這麼寫了），展開之，由推出，

所以兩個粒子的荷的絕對值應該恰好相同，而符號相反。這就正是反粒子。對於最少粒子種類，我們確定的場（我只看了看標量場），就是一個粒子和一個反粒子線性組合而成的。剩下的諸如就是簡單的推論了。

也不知道這樣瞎搞有多少正確性可言，多是些無聊的數學。滾回去做52子的題了。

把場算符寫成產生、湮滅算符的疊加，不是為了滿足荷守恆（），而是為了保證場算符構造出的相互作用密度在類空間隔上的對易子為0——這是洛倫茲協變性的要求。換句話說，不帶守恆荷的相對論性粒子，也必須有這樣形式的場算符；而凝聚態體系中一般不要求洛倫茲協變性，因此即便粒子（通常是電子）攜帶守恆荷，其哈密頓量也可直接用產生、湮滅算符構造，而不需要引入場算符。

現在的問題在於：當粒子攜帶守恆荷時，相互作用不能破壞守恆性，換句話說：具有守恆荷的態，在相互作用哈密頓量的作用下，只能變為同樣具有守恆荷的態。如果我們直接用產生/湮滅算符來構造哈密頓量，那問題就簡單了：增加幾個荷為的粒子，就得湮滅同樣數量荷為的粒子。實際上，凝聚態場論中的大量哈密頓量都是這樣構造出來的——不用疊加場算符，也不用考慮反粒子。

但現在我們有洛倫茲不變性，哈密頓密度要用場算符來構造，也就是可以寫成（及其厄米共軛和其它場）的乘積。而當作用於某個具有確定量子態時，和分別作用於這個態，如果它們各自有對易關係：

那麼被場算符作用一次的態就會變成兩個不同的態的疊加（這裡省略了其它量子數）：

容易看出，只有在時，荷守恆條件才能得到保證，否則量子態在作用下必定會產生大量不同荷的量子態。把這個要求寫成算符形式，那就是