Clifford代數是什麼，它和dirac運算元有什麼關係？

01-03

題主這個問題自己稍微搜索下背景資料再補充些細節的話，拿到 MO 上提問應該是合適的。應該能得到些有很好微分幾何或者數學物理背景的專家的回答，注意是真的專家，而不是我這樣道聽途說、只知道些皮毛的人的答案。

首先需要注意的是 Dirac 在30年代左右定義 Dirac 方程時已經模糊的有 Clifford 代數的概念。但將這些概念在數學上發展為一套理論的主要動機是 Atiyah-Singer 指標定理。

定理(Atiyah-Singer) D 是一個緊流形上的橢圓微分運算元，那麼 D 的解析指標和它的拓撲指標相等。

我們在復代數幾何中說個不停的 Hirzebruch-Riemann-Roch 定理可以看成上述定理的一個特例，

由此可以多少感受些 Atiyah-Singer 指標定理的力量。一般來說計算一個橢圓微分運算元的解析指標可以是一場噩夢，但拓撲指標則相對容易掌握，所以這條定理常常被用來計算橢圓微分運算元的解析指標，可以認為是拓撲在分析中的應用。

為了有更好的結果我們需要給底流形一些限制條件。讓我們考慮有單聯通結構群的可定向黎曼流形M（（-_-|||））。Spin(n) 是 SO(n) 的二重覆蓋群，上述這個拗口的條件等價於說 M 有結構群 Spin(n)，所以 M 也被稱為 Spin 流形。注意上述條件同時也等價於 M 的第一和第二 Stiefel-Whitney 類為零。SO(n) 是 Spin(n) 的商群，所以 SO(n)-表示可以自然的看成是 Spin(n)-表示，但是並不是所有的 Spin(n)-表示都如此得來，還有一部分表示由 Clifford 代數作為 Spin(n)-表示的直和項給出，我們把這部分表示稱為 Spinor 表示。Spin 流形的切空間上有一個標準的二次型，所以我們可以相應的定義其上的 Clifford 叢以及 Spinor 叢。重要的是，在 Spin 流形上所有橢圓微分運算元都是某些 Spinor 叢上的 Dirac 運算元。所以 Clifford 代數給出了一個統一處理橢圓微分運算元的辦法，同時這也是證明 Atiyah-Singer 指標定理的一個重要工具。

關於參考文獻，一個比較詳盡而且語言現代的教材是 Lawson and Michelsohn, Spin Geometry，需要一定的表示論、代數拓撲和黎曼幾何的背景知識。如果對上古文獻（by which I mean around 1960s）比較感興趣也可以去讀 Atiyah, Bott and Shapiro, Clifford module。在這篇論文中作者提到在實數域和複數域上 Clifford 代數隨著底向量空間維數的提高，代數結構分別呈8周期和2周期的變化，身為作者之一的 Bott 很難不注意到這一點。事實上在這篇論文之後，很快 Atiyah 又寫了 Bott periodicity and the index of elliptic operators, 給出了一個 Bott 周期律的一個更加代數版本的證明，可以說是這套理論一個非常有趣的應用了。

以上。

謝 @胡鞍鋼邀。

狄拉克運算元是狄拉克在上世紀20年代研究 Klein-Gordon方程時引入的。他當時想構造一個洛倫茲不變的一階運算元使得其平方是Klein-Gordon運算元。其中主要難點是構造一個一階常係數運算元使得其平方為拉普拉斯運算元。
辦法就是最自然的待定係數。設空間為n維歐式空間，拉普拉斯運算元 $Delta=-sum_{1leq ileq n}partial_{x_i}^2$ .
任取一階運算元 $D=sum_{1leq ileq n}c_ipartial_{x_i}$ , $D^2=Delta$ 等價於
$sum_{1leq i,jleq n}c_ic_jpartial_{x_ix_j}^2=-sum_{1leq ileq n}partial_{x_i}^2$ .
所以有 c_i 為常值， $c_ic_j+c_jc_i=-2delta_{ij}$ .
這就是Clifford代數。
D叫做狄拉克運算元。

多扯兩句。這裡的c_i顯然不是實數。如果想要使狄拉克運算元的定義有意義，定義域就不能是簡單的R^n上的函數，需要tensor一個Clifford代數的表示使得狄拉克運算元的定義有意義。這可以是實表示，復表示甚至是四元數表示。Atiyah把狄拉克運算元推廣到了流形上。這時自然地應該把流形上每一點切空間對應的Clifford代數的表示空間粘成一個向量叢。但這種粘法一般是有拓撲障礙的。當流形為spin流形時，不可約表示恰好可以粘成一個向量叢。這是因為Spin群結合了Clifford代數的代數性質和SO群的部分拓撲性質。這時，狄拉克運算元可以定義在這個不可約表示叢的截面上。大家考慮最多的就是偶數維緊Spin流形的復不可約表示叢（此時指標定理比較簡單）。這時狄拉克運算元的平方就不是拉普拉斯運算元了
$D^2=Delta+r/4$ , r 是流形的數量曲率。

最近大家感興趣的是另一個故事。當前面的拉普拉斯運算元變為 $-sum_{1leq ileq r}partial_{x_i}^2+sum_{r+1leq ileq r+s}partial_{x_i}^2$ ,

導出的關係變為 $c_ic_j+c_jc_i=-2delta_{ij} ext{if} ileq r; 2delta_{ij} ext{if} i> r.$ 這時定義的推廣的Clifford 代數記為 $Cl_{r,s}$ . ( $Cl_{7,1}=M(16, R), Cl_{8,1}=M(16, R)oplus M(16, R)$ )

記 $widehat{mathfrak{m}}_{r,s}$ 為 $Cl_{r,s}$ 的所有Z2分次的實表示組成的Grothendieck群。

$i:R^roplus R^s ightarrow R^{r+1}oplus R^s$ 定義為 $i(x_1,cdots,x_r,y_1,cdots,y_s)=(x_1,cdots,x_r,0,y_1,cdots,y_s)$ . 我們有

$i^*widehat{mathfrak{m}}_{r+1,s}subset widehat{mathfrak{m}}_{r,s}$ 而且 $widehat{mathfrak{m}}_{r,s}/i^*widehat{mathfrak{m}}_{r+1,s}simeq KR^{r,s}(pt)$

這個關係一兩句話好像說不清楚啊，還是看note吧。。。

http://bcc.impan.pl/16Noncomm-SIII/uploads/ncit10.pdf

不過Dirac operator是個神奇的東西. 比如如果 $M$ 是一個Riemannian spin manifold, 考慮spectral triple: $(C^{infty}(M), L^{2}(S), D)$ ，這裡 $C^{infty}(M)$ 是 $M$ 上的complex valued functions， $S$ 是 $M$ 上的一個spinor bundle， $L^{2}(S)$ 是 $S$ 上的所有平方可積的section構成的Hilbert空間， $D: H ightarrow H$ 是Dirac operator.

則有：

對於任意兩點 $p, qin M$ ，其測地距離： $d(p, q)={ m sup}{|f(p)-f(q)|; fin C^{infty}(M), ||[D, f]||leq 1}$ .

也就是說，你可以直接用Dirac operator來定義距離.

再如，對於 $forall fin C^{infty}(M)$ , 其微分形式 ${ m d}f=[D, f]$ .

還有其他一些幾何性質就不一一例舉了，總之，spectral triple蘊含了這個Riemannian spin manifold的所有幾何信息。

所以Riemannian spin manifold中的定義都可以推廣到一般的spectral triple上，哪怕你的 $C^{*}$ 代數是非交換的。這些就是非交換幾何要研究的東西了。當然，在一般的spectral triple中的Dirac operator可能就和Clifford algebra沒啥關係了, 只需要滿足 $D=D^{*}$ 就可以了。

就是滿足「Clifford」條件的algebra。

那就得先搞明白啥是algebra。

簡單的說就是給向量空間加了乘法 -- 向量Ａ　＊　向量　Ｂ　＝　向量　Ｃ。　乘法得滿足些性質，可結合，含有單位元，相容等。比如三維向量空間有叉積（外積，向量積，cross product），這就是個乘法，但他不滿足結合律，待會我會給一個滿足結合律的例子。

「Clifford」條件呢？

先把名字起好

V -- 加了乘法的向量空間，也就是algebra了

S -- S &< V, S是V的一個子空間（子algebra，繼承了乘法，對乘法封閉）

Q -- S上的一個二次型（recall 純二次多項式 --》矩陣 --》二次型）

好了，「Clifford」條件就是：

１）對任意 a in S，

　　　　a * a = Ｑ（ａ）＊　１　　　　　式（１）

這其中呢，　＊　是Ｖ上的乘法，　１　是乘法單位元。

２）Ｖ要滿足universal的性質。可以這樣理解，對於確定的Ｓ，Ｖ是「最小」的那個（一般給嚴謹定義的時候，是從Ｓ出發構造Ｖ，我覺得反過來說好理解）

一個例子勝千言啊：

V = 二維實向量空間，選定基 a ， b。幾何上就是個平面，a -- x軸上的單位向量，b -- y 軸上的單位向量。乘法 a * a = a, a * b = b, b * a = b, b * b = -a。 exercise ：（x a + y b）* （x a + y b）= ？ exercise ：乘法滿足結合律。

S = R a，基a 張成的一維空間，即x軸。繼承了乘法 x a * y a = xy a ，封閉性成立。

Q = [1], 1*1 矩陣。任意 (x a) in S， Q（x a） = x^2

條件1）任意 (x a) in S，

（x a） * （x a） = x^2 a = Q（x a）a = Ｑ（x ａ）＊　１

最後的等式成立是因為根據乘法的定義 a 就是單位元。

條件2）最小不太好解釋。

我瞎說，V是二維的，S是一維的，V真包含S，且維度最小。

OK，現在 V 就是一個 Clifford algebra，他不是別的，他就是複數系（a = 1， b = i）。

來自wiki

「they generalize the real numbers, complex numbers, quaternions and several other hypercomplex number systems.」

嚴謹並且比較好懂的notes

http://www.cis.upenn.edu/~cis610/clifford.pdf