C60的形狀是標準的球體嗎？

01-03

今天突發奇想，數了數足球有三十個面，那麼有幾個定點幾個棱呢？想知道，不過表示高一沒學過歐拉，百度了一下，式子如圖，發現足球有60個頂點（皮子與皮子的那個交點），想到化學的C60，哦天啊，為什麼這麼巧，所以請問各位大牛，C60的形狀是標準足球嗎？這種結構有什麼特殊性？

回答這個問題，表示壓力還是很大的，畢竟自己不專業。

　　多圖預警！多圖預警！多圖預警！

　　非WiFi環境的手機黨可退散～

　　多字預警！多字預警！多字預警！

　　以下借題發揮的內容較多，沒有耐心的夥伴讀到第一個截圖結束即可退出～

　　我就把我所知道的1991年的明星分子 $ext{C}_{60}$ 的一些事情說一下吧，算是拋磚引玉（拋到Show hand了），歡迎各位數學、化學的大牛來補充。

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$ext{C}_{60}$ 還是很對得起它「足球烯」這個名字的，如您在問題中疑惑的，它是標準的足球形，就是說60個碳原子在空間分布的位置關係與一個標準足球的60個頂點的位置關係是完全一致的，可以認為是等比例縮小的。其實這個「足球形」在幾何上有一個標準的名稱：切角二十面體。

　　更新：

　　這個和看問題的三觀有關。

　　一、如果您承認地球是球體形的，我們都看過在宇宙上拍攝的地球的照片，它就是個球嘛！那麼 $ext{C}_{60}$ 就是足球形的。

　　二、如果您不承認地球是球體形的，因為「赤道半徑是6377.830千米，極半徑是6356.9088千米，明明差了20多千米呢嘛，怎麼能是球體形啊？說橢球形都不對，南北半球都不一邊胖，明明是個梨形啊！再說了，表面一點都不光滑，又是高山又是盆地的，跟球形差遠了」，那麼 $ext{C}_{60}$ 也不是足球形的，因為它的六邊形不是標準的正六邊形，兩條鄰邊有大約3.5%的誤差，是一個「畸變的足球形」，「一米三九的孩子和一米四五的孩子一看就知道不一邊高嘛」。

一般科學界是忽略了那一點點畸變的，稱呼它為足球形，或切角二十面體形。

　　發現昨天題主有追問了一個問題：這種結構有什麼特殊性。

　　1.正五邊形不相鄰，具有極其高度的對稱性，與最對稱的正多面體的對稱元素相同。

　　2.具有閉合的電子殼層結構，分子能量低，化學性質相對穩定。

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（先列個提綱，佔個坑吧，有時間的時候再補充（更新：已填，而且還在以前的提綱上加了很多小標題））

------------有耐心的可以繼續讀-----------------

第0、1、2、3、6的小節內容我原創地內容比較多；其他小節的內容大部分是引用的（甚至直接截圖搬運過來）。

0.有一個事情還是想說一下。

　　小學數學課本上有一個習題，應該是練習解方程用的。說一個足球有32個面，由正五邊形和正六邊形組成，正六邊形的數量比正五邊形多8個，問兩種正多邊形各有多少個。我解出來是12個正五邊形和20個正六邊形，然後驗算了一下發現是符合題意的，後來又拿了一個真實的足球驗證，真的是12個黑色的五邊形和20個白色的六邊形，也因此我發現原來數學題出得都是這麼真實，頓時一種「好奇妙哇」的感覺。（又一個例子是六年級的數學應用題，有一個題說1立方厘米的鐵的質量是7.9克，後來我發現鐵的密度真的是7.9克每立方厘米!）所以後來我自己在命題的時候，也喜歡和生活中的事物相結合哈。

1.五種正多面體之一——正二十面體

　　每個面都是有相同邊數的正多邊形，每個頂點為端點都有相同棱數的凸多面體叫做正多面體。畢達哥拉斯證明了正多面體一共只有五種：正四面體、正六面體（正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體。150年後，柏拉圖在他的著作《蒂邁歐篇》里給這五種多面體正式命名，並與當時的元素做了聯繫（具體可去搜索），所以正多面體又稱為「帕拉圖多面體」。正二十面體是面數最多的正多面體，接近球體，最「光滑易滾」，所以柏拉圖把它看作水的象徵。

　　一共只有五種的證明方法可以搜索得到。

　　其中正二十面體的形狀是這樣的

　　它是由20個正三角組成的，一共有20個面、30條棱、12個頂點（背下來，背下來，背下來，一會兒考你！），每個面有3條邊，每個頂點有五條棱。我們可以任意選擇一個頂點去觀察它。

　　這個頂點會「引出」5個正三角形，它們構成了一個正五角錐形的「帽」（我塗了綠色的部分），這5個正三角形的「底邊」也就是「帽子的底兒」又相應的有另外5個正三角形（我塗了紅色的部分），這一共是10個正三角形。

　　同樣，這個頂點對著的另一端的頂點，也會有這樣的10個三角形（沒有塗色的部分），它們對著扣在一起，就形成了正二十面體，一共是20個正三角形。

　　～請閉著眼睛體會一下正二十面體的和諧，因為一會兒我們還要再見到她～

　　任意換一組對著的頂點，也是得到完全相同的結果，因為正二十面體是高度對稱的，為 $I_{ ext{h}}$ 點群。它有6個五重軸、10個三重軸、15個二重軸、15個對稱面和1個對稱中心，階次為120。

2.切角二十面體和「足球形」

　　除了畢達哥拉斯證明出的那五種柏拉圖多面體外，還有一些「不如正多面體完美」的多面體，把"只有一種正多邊形」的限制條件改為「可以有一種以上邊長相等的正多邊形」，而其他的條件均滿足的，如每個頂點的連接情況相同、各相鄰頂點的夾角相等，叫做「半正多面體」。因為阿基米德首先研究了13種半正多面體，所以也叫做阿基米德多面體。比如足球的這種12個正五邊形和20個正六邊形組成的三十二面體就是一種阿基米德多面體。（由2個正n邊形和n個正方形組成的組成的稜柱不是阿基米德多面體，因為不滿足各相鄰頂點的夾角相等）

　　我們再來觀察正二十面體，換一個角度看，會發現另一種美。

　　從一個頂點看去，俯視圖如下

　　嗯，直覺就是，雖然它是由20個正三角形構成的，但是總能看到正五邊形耶。

　　假如，我們拿一把刀，橫著（截面平行於您的屏幕）切下它的這個頂角。

　　切口就是綠色的線啦。

　　下刀要優雅，我們拿其中一個面來看，顯然，下圖中，黃色和紅色的刀法都不如綠色的刀法有美感，因為綠色的削出了一個正六邊形（可以看出，綠色的下刀處是在棱長1/3的位置）。

　　所以，在正二十面體的這樣切幾刀之後，會是什麼樣呢？

　　～閉上眼睛，想像一下～

　　～睜開眼睛看一看～

　　之前的那個大五角錐形的「綠帽子」的頂就會削下來一個小五角錐形的「綠帽子」……留下一個正五邊形的截面。就像這樣……

　　那個所有棱長都相等的小綠帽子摘掉之後，出現了一個綠色的正五邊形。

　　快速回憶：一個正二十面體有幾個頂點來的？12個！那麼如法炮製再切11刀，就得到了12個正五邊形。每切掉1個頂點，頂點數會從1變為5，所以最後一共是5×12＝60個頂點（得到的12個正五邊形互不相鄰，所以沒有共用頂點）。

　　再回憶：一個正二十面體有幾個面來的？二十面體當然有20個面！切完這12刀之後，那20個正三角形都變成了什麼？20個正六邊形。（在棱長的1/3處下刀，易證）

　　最後回憶：一個正二十面體有幾個棱來的？30條！切一刀，從一個點變成一個正五邊形，「憑空」多出5條棱（且不會使原來那30條棱消失，只會使它變短），那麼一共切20刀，多出來5×12=60條棱，加上原本的30條棱，一共是90條棱。

　　好了，「切掉一個頂點」其實也叫「切掉一個角」，把正二十面體的12個「角」全部切掉後的這玩意兒，就叫「切角二十面體」，英文名叫「truncated icosahedron」，也譯為「截角二十面體」。如前文所述，它有12個正五邊形和20個正六邊形（共32個面），60個頂點，90條棱。

　　知乎里不能插入動圖，可以點擊下面的gif圖片鏈接，觀察動態的切角二十面體。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/31/Truncatedicosahedron.gif

　（以上兩個圖片均引自英文維基百科「truncated icosahedron」詞條的配圖）

它的展開圖（含有粘貼時需要的「小耳朵」）為：

（圖片來源：http://www.korthalsaltes.com 列印後可以自己粘一個切角二十面體的模型）

　　每一個頂點，都是由2個正六邊形和1個正五邊形相交而來的，也就是像這樣：

（圖片來源：英文維基百科「truncated icosahedron」詞條）

　　如前所述，90條棱，有30條為正六邊形和正六邊形相交得到的（原正二十面體的棱），記為棱a，60條為正六邊形和正五邊形相交得到的，記為棱b，每一個頂點都是對應1個棱a和2個棱b。

每個正五邊形，周圍是5個正六邊形圍繞：

（圖片來源：田昊樞,劉來福.只有一種「足球」的證明[J].數學通報,2006,12.）

而每個正六邊形，周圍是3個正五邊形和3個正六邊形交替圍繞。

3. $ext{C}_{60}$ 的一些幾何特徵

（【英】吉姆·巴戈特（Jim Baggott）著；李濤，曹志良譯.完美的對稱富勒烯的意外發現[M].上海：上海科技教育出版社.1999:225.）

$ext{C}_{60}$ 的 $^{13} ext{C-NMR}$ 譜只有一條化學位移為142.5的譜線，說明分子中所有碳原子都是等性的，其對稱性為 $I_{ ext{h}}$ 點群。
　　——尹冬冬主編；北京師範大學等編.有機化學上[M].北京：高等教育出版社.2003.

$^{13} ext{C-NMR}$ 譜即核磁共振碳譜。高中學過 $^{1} ext{H-NMR}$ 譜，也就是核磁共振氫譜，可以用來檢測分子中有幾種不同環境的氫原子，比如二甲醚只有1個峰，表示只有1種氫原子，而乙醇則有3個峰，峰面積比為1:2:3，表示有3種氫原子，個數比為1:2:3。碳譜和氫譜類似，是用來檢測幾種不同環境的碳原子的，碳譜只有1個峰，表示所有的碳原子都是等價的！

　　自1985年提出它可能是足球結構的猜想以來，一直都沒有得到強力證據的支持，直到1990年的這張核磁共振碳譜，配合著拉曼光譜，才徹底證實了它的足球結構。

（【英】吉姆·巴戈特（Jim Baggott）著；李濤，曹志良譯.完美的對稱富勒烯的意外發現[M].上海：上海科技教育出版社.1999:223.）　　每個C原子的情況確實是等價的，它支出3條棱，也就是 $ext{sp}^{2}$ 雜化形成3個σ鍵，所以每一個碳原子都剩下1個p電子，一共就是60個C原子的p軌道中有60個p電子，雖然這60個p軌道不是彼此平行，但還是形成 $Pi _{60}^{60}$ 離域鍵（誰說大π鍵必須要所有原子共面的），而之前說的那3個σ鍵中，有1個棱a和2個棱b。

幾何概念上的切角二十面體中使用的是正五邊形和正六邊形，又因為它們有公共棱（邊），所以所有的棱長都是一樣的。但是實際上，在 $ext{C}_{60}$ 分子中，棱a和棱b的長度還是不盡相同的。

The $ext{C}_{60}$ molecule has two bond lengths. The 6:6 ring bonds (between two hexagons) can be considered "double bonds" and are shorter than the 6:5 bonds (between a hexagon and a pentagon). Its average bond length is 0.14 nm.
-----------------Buckminsterfullerene

　　英文維基百科中對巴克敏斯特富勒烯的介紹中說到， $ext{C}_{60}$ 分子有2種鍵長，六元環之間的可以看作是「雙鍵」的鍵長比六元環和五元環之間的鍵的檢查要更短。它的平均鍵長為0.14nm。

　　北京大學周公度教授（就是去年年底致信央視的教授）則給出了更為具體的數據（在有3種鍵長）

（周公度著.化學中的多面體[M].北京：北京大學出版社.2009:117）

　　在5K時，六元環之間的鍵長為139.1pm，六元環和五元環之間的鍵長為144.4pm和146.6pm，平均為145.5pm。

　　我還不知道為什麼六元環和五元環之間的鍵長為什麼會不同。求指點。

　　所以如果按照維基百科上的數據， $ext{C}_{60}$ 是由正五邊形和六邊形（不是正六邊形）組成的，六邊形的特徵應該是3條長邊和3條短邊交互形成（類似於前文中黃色或紅色的刀法），又因為六邊形之間的鍵長要小於五邊形與六邊形之間的鍵長，所以可以確定是紅色刀法的結果，我們可以認為是切去的每一刀，都是截掉了比三分之一棱長更長一些的小綠帽子。

　　但是，有上邊的圖那麼誇張嗎？兩種鍵長分別是139.1pm和145.5pm，相差5pm，相對誤差約為3.5%。所以「下刀的位置」只是稍微偏離的1/3的位置，結果還是很接近正六邊形的！如果不用尺子量，應該還是會被我們的肉眼認作正六邊形。所以這應該還是可以認為 $ext{C}_{60}$ 的分子是是很接近半正多面體的！

而如果按照周公度教授的三種鍵長的數據看的話，那麼偏離地就更多了，而且我不清楚兩種(6/5)鍵長是如何分布的，所以也不好描述出它的形狀，求指點。

　　我覺得雖然是這樣，但我們還是把富勒烯叫做足球烯，雖然嚴格上來講，它與幾何學上理想的切角二十面體有偏差，但是這60個碳原子的空間位置分布，基本與足球是一樣的，五邊形和六邊形（即使不是內角、邊長嚴格相等）的位置分布，也是和足球一樣的。而試問，在現實生活中，又有什麼是「真正的理想上的幾何體呢？」真實的足球就能保證每一片足球皮都是全等的正五邊形或正六邊形嗎？能保證每個方向上縫合的時候都產生同樣的空隙嗎？能保證每個足球皮都是嚴格的平面而不是鼓起來的曲面嗎？魔方就是理想的正方體嗎？乒乓球就是理想的球形嗎？在做工上，都會有多多少少的誤差吧，即使達不到3.5%，但達不到0.1%或0.01%嗎？所以我認為，把富勒烯說成為足球形狀的是無可厚非的，如果太吹毛求疵的話，現實中是沒有理想的幾何體的，因為任何物質的表面都是凸凹不平的！而任何分子中的原子都是不斷振動的！我們說的原子的位置，只是它振動的平衡位置。IUPAC對 $ext{C}_{60}$ 富勒烯的命名為： $( ext{C}_{60}-I_{ ext{h}})[5,6] ext{fulterene}$ ，還是承認它 $I_{ ext{h}}$ 點群的。當然，甲烷和一氯甲烷的構型一個為正四面體，另一個為三角錐，這是因為C－H鍵長和C－Cl鍵長相差得比較遠（分別為109pm和177pm），所以和正四面體差得太遠了，不能忽略了，而且也因此導致了分子的極性。乙烯的H－C－H鍵角為117.4°，高中也近似認為是120°吧；由於高度的對稱性，苯分子中C－C－H的鍵角為120°應該沒有問題，但如果是氯苯呢？我才因為氯原子和氫原子的不同，C－C－Cl的鍵角應該也不會是120°了（未找到鍵角數據，有錯誤請指正），但好像一般還是認為取代苯的苯環骨架也是正六邊形吧。

　　所以， $ext{C}_{60}$ 的實際結構精確地說不是「理想中的」切角二十面體，但是它們的差異太小，以至於物理學家和化學家即使測出了這微小的差異，也在通常描述它的性質時忽略了它們的差異，假裝它是由邊長相等的正五邊形和正六邊形組成的半正多面體，比如同樣是上述介紹鍵長數據的那本書，周公度教授在前一頁籠統剛介紹它的性質時，說的是「切角二十面體」「足球的形狀與它相似」，後一頁就寫了「一個近似的半正多面體」。

　　接下來，像什麼球的骨架是700pm之類的信息，周公度教授的書上都寫了，其他的答主也寫了。可以自己讀哈。

　　下邊給出序言部分寫的它的那些旋轉軸。

（周公度著.化學中的多面體[M].北京：北京大學出版社.2009:117）

4.從碗烯構造足球烯。

本節幾乎全為引用。

　　1966年，密執安大學的兩位有機化學家巴思（Wayne Barth）和勞頓（Richard Lawton）宣稱他們成功地合成了一種包含6個碳原子的分子，其中心是一個五邊形環，周圍圍繞著5個六邊形的環，分子式為 $ext{C}_{20} ext{H}_{10}$ 。他們將它命名為心環烯（corannulene）。

（【英】吉姆·巴戈特（Jim Baggott）著；李濤，曹志良譯.完美的對稱富勒烯的意外發現[M].上海：上海科技教育出版社.1999:115.）

　　由於它的形狀，也被形象地稱為「碗烯」，在?64℃時，碗狀結構翻轉的能壘是42.7kJ/mol，碗深87pm。等等！你是不是已經發現，前文在那篇《數學通報》中出現了這個「碗烯」。（現在在介紹碗烯時，也會說它是 $ext{C}_{60}$ 的一個片段）

　　日本化學家大澤（Eiji Osawa）對芳香族分子的結構和性質十分著迷。他仔細研究了這個碗烯，它是一種芳香族分子，但是並不具有平面結構，能不能進一步把他拓展為一個球，而獲得一種全新的三維芳香族分子呢？一次他在深思這個問題的時候，偶然看到他的小兒子在玩兒足球。像普通的足球一樣，他兒子玩兒的那個足球的表面上也飾有五邊形黑色拼皮圖案。大澤在這個圖案中認出了心環烯的碗狀結構。就是它！看來把心環烯結構擴展為一個球至少在幾何上是行得通的。在一篇發表於日本通俗化學雜誌《化學》中，大澤描繪了這一分子（即 $ext{C}_{60}$ ），接著在1971年出版的與吉田（Z.Yoshida）合著的《芳香性》一書中，對這種分子做了進一步的描述。

　　大澤利用休克爾計算，推斷出它應當是相當穩定的！但大多數人讀了大澤的書，都認為這是個有趣的理論設想而已，儘管理論計算表明它是很穩定的，但看不出有什麼簡單的方法可以製備出它。

　　大澤早在60年代末70年代初就提出了 $ext{C}_{60}$ 分子的想法，此後又有至少4個小組（包括1973年蘇聯理論家博奇瓦爾（D.A.Bochvar）和加彭(E.G.Gal"pern)、1981年特拉華州杜邦研究開發部的戴維森（Robert Davidson）、80年代初有機化學家查普曼（Orville Chapman））獨立地提出了這個想法，但大部分人都認為這種物質只在理論上存在，直到1985年11月的《自然》刊登了發現 $ext{C}_{60}$ 的文章，才震驚了世界，又獲得了諾貝爾化學獎！

5.分立的五邊形面規則（IPR）

　　球碳已經是一個家族了，最常見的是 $ext{C}_{60}$ ，次常見的為橢球形的 $ext{C}_{70}$ ，此外還有 $ext{C}_{20}$ 、 $ext{C}_{36}$ 、 $ext{C}_{50}$ 、 $ext{C}_{72}$ 、 $ext{C}_{74}$ 、 $ext{C}_{78}$ 、 $ext{C}_{82}$ 、 $ext{C}_{84}$ 、 $ext{C}_{96}$ 、 $ext{C}_{120}$ 、 $ext{C}_{180}$ 等。

　　1985年9月10日，富勒烯的發現者的飛行時間質譜圖，檢測到的 $ext{C}_{60}$ 和 $ext{C}_{70}$ 的質譜峰。後來這個圖被刊登在了1985年11月的那篇文章中。 $ext{C}_{70}$ 的穩定性可以從後文了解到。

　　假設一個含有v個碳原子的球碳只由五元環和六元環（即五邊形和六邊形）組成，那麼

根據歐拉公式，面數f、頂點數v、棱數e滿足如下關係： $f+v-e=2$ （證明方法可以去搜索得到）,面有2種，五邊形 $f_5$ 和六邊形 $f_6$ ，所以可以寫成 $f_5+f_6+v-e=2$ 。

　　由於每個五邊形有5個碳原子，每個六邊形有6個碳原子，但每個碳原子由3個面所共用，所以 $frac{5f_{5}+6f_{6}}{3}=v$ 。

　　每個C原子與鄰近的3個碳原子形成3個σ鍵（棱），而每個σ鍵為2個碳原子所共用，所以有 $3v=2e$ ，即 $e=frac{3}{2}v=frac{5f_{5}+6f_{6}}{2}$ 。

　　將v和e用 $f_5$ 和 $f_6$ 替換，代入 $f_5+f_6+v-e=2$ 中，得到 $5f_{5}+6f_{6}+frac{5f_{5}+6f_{6}}{3}-frac{5f_{5}+6f_{6}}{2}=2$ ，

　　化簡後發現 $f_6$ 被神奇地消掉了，解得 $f_{5}=12$ 。

　　這說明在由五邊形和六邊形組成的球碳多面體中，五邊形的數量一定是12。

　　而根據總碳數v可求得 $f_6=frac{v}{2} -10$ 。這說明總碳數至少為20個，且為偶數。

　　所以，當v=60時，為12個五邊形和20個六邊形。

　　當v=20時，即為12個正五邊形組成的正十二面體。

我們如果已經有了12個五邊形面，那麼就可以用任意數目的六邊形面來構造多面體（只有一個例外，由12個五邊形面和1個六邊形面得不到多面體）。
---------【英】吉姆·巴戈特（Jim Baggott）著；李濤，曹志良譯.完美的對稱富勒烯的意外發現[M].上海：上海科技教育出版社.1999:104.

　　而對於較大的球碳分子，五邊形彼此不會共邊相連，而是彼此分立（除非碳原子數不夠大，以至於某些五邊形共邊相連了，那麼這種分子的穩定性就很差），這叫做「分立的五邊形面規則」，英文名叫isolated pentagon rule，簡稱IPR。這也是我上文強調過的，足球中的五邊形彼此不相連——你沒見過兩個黑皮連在一起的足球吧。具體的可以看下圖：

（周公度著.化學中的多面體[M].北京：北京大學出版社.2009:118）

碳原子個數，以及滿足IPR的異構體數目的情況如下：

（周公度著.化學中的多面體[M].北京：北京大學出版社.2009:120）

（【英】吉姆·巴戈特（Jim Baggott）著；李濤，曹志良譯.完美的對稱富勒烯的意外發現[M].上海：上海科技教育出版社.1999:127-129.）

　　這個規則我不想做過多評論，但是就是在見到這個規則之前我好像就覺得……就應該是這樣的。五邊形的面積比六邊形的面積小，如果五邊形都擠一起了，六邊形在別的地方擠一起，那對稱性保證就不如分散開的情況好了，就不和諧了，就不穩定了。

6.經典價鍵理論中 $ext{C}_{60}$ 的單雙鍵數量、鍵角、C原子雜化方式等等考試常見的梗。

（周公度著.化學中的多面體[M].北京：北京大學出版社.2009:116）

　　前文我自己定義了棱a和棱b，因為在足球烯中，棱a短於棱b，所以把棱a看作是雙鍵（鍵級越高，鍵長越短，也是「富勒烯」中「烯」字的由來），這樣每個C原子引出1個棱a和2個棱b，正好符合每個C原子形成1個雙鍵和2個單鍵，滿足它的四價。所以按照經典價鍵理論，它一共有30個碳碳雙鍵和60個碳碳單鍵。它與氟的加成產物是 $ext{C}_{60} ext{F}_{60}$ ，這樣每個C原子的4個價電子都形成了C－C單鍵或C－F單鍵。如果按照離域理論看，30個雙鍵也正好對應60個p電子，也就是離域的60個π電子。

鍵角呢，我們把它看作是一個標準的切角二十面體，所有的鍵長都想等（剛剛單雙鍵的時候還區分鍵長呢 &>_&< ），那麼每一個碳原子處在2個正六邊形和1個正五邊形相交的地方（參見上文2個綠色的和1個品紅色的那個圖），總的鍵角為120°×2＋108°=348°，平均每個鍵角為348°/3=116°。

（也可以這樣算：12個正五邊形和20個正六邊形，總的內角和是180°×(5-2)×12＋180°×(6-2)×20＝20880°，一共有5×12＋6×20＝180個角，平均每個角是20880°/180＝116°。）

根據s軌道和p軌道在 $ext{sp}^{n}$ 雜化後，軌道之間的夾角θ滿足： $ext{cos} heta =-frac{1}{n}$ ，可得

$ext{cos}116^{circ}=-frac{1}{n} =-0.43837$ , $n=2.28$ ，即每個σ軌道中，s軌道的成分為 $frac{1}{1+2.28}=30.5\%$ ，p軌道的成分為 $frac{2.28}{1+2.28}=69.5\%$ ；去形成π軌道的s軌道的成分為100%－30.5%=69.5%，由於每個C原子形成3個σ軌道，所以每個碳原子用於形成σ軌道的s軌道成分為30.5%×3＝91.5%，p軌道為69.5%×3＝208.5%，因為一共3個p軌道，所以一個碳原子用於形成垂直於球面的π軌道的p成分為300%－208.5%＝91.5%，所以π軌道中s軌道的成分為100%－91.5%＝8.5%（所以這個離域π鍵並不是完全有彼此平行的p軌道形成的，原子也並不是共面的。）。

　　這就是大多數無機化學教材上經常給出C的雜化處於平面型的石墨的 $ext{sp}^{2}$ 和正四面體型的金剛石的 $ext{sp}^{3}$ 之間，平均雜化態為 $ext{sp}^{2.28}$ ，更接近於平面的 $ext{sp}^{2}$ 雜化的由來（卻從來不告訴你為什麼）。如下邊這個無機化學教材中提到了 $ext{sp}^{2.28}$ 雜化，而在計算成分時取的一位有效數字：

（陳亞光編. 無機化學下. 北京：北京師範大學出版社, 2011:65.）

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7.另一種可能的結構。

　　第三節說了，60個碳原子構成的分子，所有的碳原子都是等價的，且每一個碳原子都滿足四價成鍵。只有這一種結構嗎？

　　所有碳原子都等價的另一種情況是···－C≡C－C≡C－C≡C－···即單鍵三鍵交替的結構圍成一個閉合的大環，早期也有人認為 $ext{C}_{60}$ 分子的結構就是這樣的！如下圖。

相關的質譜圖如下。

（以上圖片截自【英】吉姆·巴戈特（Jim Baggott）著；李濤，曹志良譯.完美的對稱富勒烯的意外發現[M].上海：上海科技教育出版社.1999:184-188.）

當然，單一環狀的結構後來被證明是錯誤的。

算是一些啟示吧：

8.關於足球形結構來源的小故事。

本節幾乎全為引用，用圖片。

　　富勒烯的發現團隊里的科學家們，一直在考慮 $ext{C}_{60}$ 會是什麼結構的。《完美的對稱富勒烯的意外發現》書中用了7頁的篇幅，描寫這個團隊是怎麼在6天的時間裡一步一步解開的。整個晚宴都在思考、討論，沒日沒夜地使用牙籤和軟糖搭建模型、用計算機畫圖，精神崩潰了無數次，才慢慢從只有六邊形（因為石墨只有六邊形）變為加入了五邊形，慢慢地試出結果。我不知道這本科普書的作者在寫作時會不會做適當地誇張或杜撰，但我看的這個艱辛的過程真的很感動的，也能感到他們最終勝利時的那種喜悅！

以下是節選：

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這個化學家有了重大發現！

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對這個結構進行了嚴謹地檢驗

然！後！就！被！數！學！家！碾！壓！了！好想知道「……但是，孩子們，你們所發現的，就是一個足球啊！」的英文原話！（我腦補了一下，就像我想了六天終於想出來一個以為別人都不知道的新發現，然後balabala去給一個人說，說到一半的時候對方說……呵呵噠……不就是那個……嘛 &>_&<）

　　所以說，題主能發現這個問題，還是很厲害的！

當年斯莫利用紙製作的模型。

最後以這個「內容提要」做一下總結。

　　1966年，它是一個有趣的點子。1985年9月，它是一個用黏帶粘起來的紙球，是6天激烈的科學討論和一個靈感的結果。5年後，它終於成為現實：一個由60個碳原子組成的完美對稱的足球狀分子，名叫巴克明斯特富勒烯。這個新的分子是碳「家族」除金剛石和石墨外的新成員，它的發現刷新了我們對這一最為熟悉元素的認識。它宣告誕生一種新的化學，一些列新的高溫超導體，和一些全新的「大碳結構」建築設計概念。1996年，本書的主人公克羅托、斯莫利和柯爾共享諾貝爾化學獎。
-------------------------《完美的對稱富勒烯的意外發現》內容提要。

1996年，羅伯特·柯爾（美）、哈羅德·沃特爾·克羅托（英）和理查德·斯莫利（美）因富勒烯的發現獲諾貝爾化學獎！

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　　2月28日佔的坑，3月3日終於填上了。雖然化學部分的內容遠超過題主高一化學的水平，但是我相信早晚有一天能讀懂的！還有就是想挖挖富勒烯背後的故事。

有興趣的可以讀讀這兩本主要參考文獻：

[1].周公度著.化學中的多面體[M].北京：北京大學出版社.2009。

[2].【英】吉姆·巴戈特（Jim Baggott）著；李濤，曹志良譯.完美的對稱富勒烯的意外發現[M].上海：上海科技教育出版社.1999。（英文原版由牛津大學出版社出版）

沒錯，就是足球狀。

當年解結構的時候，發現沒有氫，碳是全對稱的，分子量720，大家想破腦袋想不出，最後還是看到一隻足球受到啟發（一說看到一個足球的雕塑），提出了足球狀的假設。

特點的話，最重要一點在於，在球體的內部有一個半徑約7.1 angstrom 的空腔，裡面可以裝上一些亂七八糟的東西來做一些fancy的事情。

與足球紋線相同，不是標準的球體。

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%88%AA%E8%A7%92%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%9D%A2%E9%AB%94

你是說足球烯？看看高中課本吧

C60又稱足球烯，這是化學課本上白紙黑字的。可見樓主上課多麼不認真，這下把足球烯又「發現」了一遍。