將一個正方體電阻平均分為九份，挖掉中間一塊，現在的電阻是多少？

01-03

將一個正方體電阻平均分為九份，挖掉中間一塊，現在的電阻是多少？
將一個正方體電阻挖去其中的1/27體積，怎樣挖可以使電阻最小? - 物理學

這是一個複雜形狀的導體塊的電阻問題。

稍微更新下前提：這裡解的是均勻各向同性塊狀材料、直流電下的電阻。直流電沒有趨膚效應，不均勻材料沒法計算。

複雜形狀導體內的電流分布不是簡單的串並聯關係，電流分布難以計算。

後面會給出數學推導，說明這個問題下，電勢滿足拉普拉斯方程。

這個問題不一定有解析解（我覺得正方體挖洞可以做無窮級數解，但是大家仍舊看不懂），但是我們可以利用數值計算，來解決這個問題。

事實上，物理學遇到的大部分問題，都是沒有解析解的。我們總是可以利用數值方法，在一定的精度下解決問題。

一個著名的梗：三體相互作用，都無法嚴格解。嚴格的數學只能解兩體相互作用。（最初是在1887年海因里.希布倫斯指出天體相互作用的三體問題不能嚴格解，後來發現三個原子，三個電子，三個。。。都不能嚴格解）

下面的結果來自物理學數值計算軟體Comsol? Mutiphysics

我們做一個1m見方的立方體電阻，電阻率是1Ωm，於是它兩個對面之間的電阻是1Ω。

下面所有圖中藍色面是負極面，紅色面是正極面。我們計算的是紅藍兩面之間的電阻。

首先給出能解析解的三種情況：

這個可以利用並聯電路來解，很明顯，電阻是9/8Ω。

其次給出不能解析解的四種情況：

可以看到，同樣是挖掉1/9的導體，不同的形狀給出不同的電阻大小。

有意思的一點是，最後一種情況和第一種情況是完全相同的。這是因為，八個最後一種情況恰好能拼接成長寬高都是兩倍的第一種情況（考慮上表面和前表面的鏡像）。根據對稱性，這兩者電阻一定相同。八合一情況如下圖：

另外，中間挖掉的電阻，都大於上面可解析的電阻，這是為什麼呢？因為電流要繞過中間的障礙（被挖的部分）導致等效傳播距離更長了。

來看一下這幾種情況的電流分布橫截面：

上圖彩色是電勢分布，較為準確（是軟體的直接求解量），紅線是電流線，稍微有點誤差（是軟體根據電勢分布又二次計算出來的），紅線指示電流方向還是準確的，由於流線追蹤的時候如果電流太小，流線就斷開了，導致最左邊兩張圖，最靠近孔洞的流線斷掉了，從而不對稱。這是數值誤差問題。

我們看到，電流要繞過挖空的部分，造成的影響不只是空洞所在的位置，還限制了它擋住的部分。

感謝 @胡墨的提醒，這裡如果不考慮電流被擋住造成的限制作用，考慮三電阻串聯，應該是1/3+1/3+1/2=7/6Ω。

而由於電流擋住的限制作用，電流需要繞彎，導致等效電阻變大，電阻大於7/6Ω。

那麼，什麼時候挖空情況下電阻仍舊是7/6歐姆呢？我們假設電流豎著走（向著負極走）受到電阻，而橫著走不受電阻影響（也就是各向異性電阻，橫向電阻率為0），此時，上圖的四種情況的電阻就是7/6Ω了。如下圖，當橫向電阻率接近0，縱向電阻率為1Ωm的時候的電場分布

此時電阻就是7/6Ω。

然後，我們看下如果挖除1/27的導體，會怎麼樣呢？

同樣，根據對稱性，第一種情況和最後一種情況，一定是一樣的才對。

總之，題主問的這個電阻問題，難以解析求解，但是數值解可以給出所需精度的結果。

起床更新，方程部分。以下內容需要讀者學過數學物理方法或者類似的數學課程

這個問題的數值編程還是比較簡單的，本質上是最簡單的偏微分方程——拉普拉斯方程。

首先，電流滿足流守恆方程 $abla ullet f{j} + frac {partial ho } {partial t} = 0$

由於穩恆電流條件下，電荷積累不隨時間變化，上述方程簡化為： $abla ullet f{j} = 0$

另外，電流滿足 $f{j} = sigma f{E}$

電勢滿足 $abla varphi =-f{E} =- f{j}/sigma$

所以，最終 $- abla ullet f{j} = abla ullet (sigma abla varphi) = 0$

在均勻各向同性介質中，最終獲得 $abla^{2} varphi = 0$ ，就是拉普拉斯方程。

另外，邊界條件也比較簡單，電極面是固定電勢輸入，所以是第一類邊界條件。 $varphi_{boundary} =Const$

電絕緣面，電流一定平行於表面，所以電場平行於表面，也就是電勢的梯度在表面的垂直分量為0,即第二類邊界條件

$frac {partial varphi } {partial n_{boundary}}=0$

方程和邊條都確定，就可以解啦。解出電勢分布，就可以再求電場分布，電流分布。通過電流面積分，即可知道總電流，從而得到總電阻。

拉普拉斯方程的數值解法還是很多的，最簡單的就是有限差分方法，我寫過一個二維的程序還挺好用。但是三維的程序消耗內存太大，還是商業軟體優化得多，靠譜一些。

有萬用表啊←_←

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萬用表的梗也來自知乎，轉的：

老闆給了學生一塊電路板讓說電阻

學生：這有好幾個星形接法菱形接法，過幾天再告訴您結果啊

老闆：你們實驗室沒有萬用表嗎？

另一個實驗室要用電阻

學生：我查查色環阻值去

其他學生：用萬用表測一下不就完了嗎

侵刪

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還有題目沒規定材料規定溫度壓力磁場強度等等就要問電阻如何變化給人一種耍流氓的感覺，我雖然是高中生但是電阻會受外界環境影響這是還是知道的

怎麼把正方體的電阻平均分成九份？