N維向量的叉積是如何被定義的？

01-03

大家都知道三維向量的叉積是個二元運算，接受兩個三維向量，返回一個三維向量。
而這一運算也常常用在二維向量里，定義為：接受兩個二維向量，返回一個標量。
那麼請問：
1. N維向量的叉積是如何被定義的呢，其涵義是？

2. 以上說的兩種定義是如何被統一的呢？
3. 二維向量的叉積是？
4. 如果說對N維向量可以定義叉積，那麼N的最小值是？

要搞清楚這個問題必須學習一下多重線性代數(Multilinear algebra).

首先看一下三維向量的叉積. 題主題目描述中說

大家都知道三維向量的叉積是個二元運算，接受兩個三維向量，返回一個三維向量

要注意這個說法不完全正確. 三維向量的叉積返回的其實並不是三維向量, 而是三維贗向量(Pseudovector).

向量是按照在坐標變換下它的變換規律來定義的. 簡單地說, 如果在n維空間中的一個正交變換 $O$ 下, 總有 $X^{prime}_i = O_{ij} X_j$ , 那麼 $X$ 就是一個向量. 我們注意到, 三維向量的叉積是不滿足這個定義的, 原因是三維向量的叉積定義的時候需要一個所謂的左手定則, 如果左手定則不滿足, 前面要加一個負號. 所以, 三維向量的叉積滿足的變換規律是: $Y^{prime}_i = |O| O_{ij} Y_j$ , 前面的 $|O|$ 是正交變換 $O$ 的行列式. 滿足這種條件的, 叫做贗向量.

你可以定義 m 個 n 維向量的外積(exterior product, 見Exterior algebra). 所謂外積, 是對m個n維向量定義的多線性全反對稱運算. 多線性是指對每一個向量都是線性的, 即 $X_1 wedge X_2 wedge ... wedge ( lambda_1 X_k^{(1)} + lambda_2 X_k^{(2)}) wedge...wedge X_m = lambda_1 X_1 wedge X_2 wedge ... wedge X_k^{(1)} wedge...wedge X_m + lambda_2 X_1 wedge X_2 wedge ... wedge X_k^{(2)} wedge...wedge X_m$

全反對稱指的是任意交換兩個向量的位置, 前面加一個負號.

m個n維向量的外積構成一個n維的m-向量. n維的0-向量其實就是我們熟知的標量, 1-向量就是我們熟知的向量. 而m-向量也可以有"直觀"的數學意義, 比如作為一個n維空間中m維平行體的有向"體積", 但是這個其實是不必要的, 在知道向量的變換規律以後, 我們只需要外積的多線性和反對稱性就可以完全確定m-向量的變換規律.

有意思的一件事是, 我們注意到n維空間中, m-向量也構成一個線性空間, 顯然它的維數正好是 $C^{n}_m$ , 這表明n維空間中m-向量構成的線性空間和(n-m)-向量構成的線性空間是同構的!

如果我們把原來的n維線性空間記為 $V$ 而把m-向量構成的線性空間記為 $Lambda^{m}(V)$ , 那麼在 $Lambda^{m}(V)$ 上可以自然地定義兩個m-向量的內積: $langle alpha, eta angle equiv det(langle alpha_i, eta_j angle), ; i,j=1..m$ . 這個內積可以自然地引導一個m-向量構成的線性空間和(n-m)-向量構成的線性空間之間的同構, 稱為Hodge同構(見 Hodge dual), 從 $Lambda^{m}(V)$ 到 $Lambda^{n-m}(V)$ 的同構叫做Hodge Star:

$*: Lambda^m(V) o Lambda^{n-m}(V)$ , $forall alpha, eta in Lambda^{m}(V), alpha wedge (* eta) = langle alpha, eta angle omega$ , 其中 $omega$ 是單位n-向量.

如果把 $Lambda^{m}(V)$ 的基底用Hodge Star作用之後得到的(n-m)-向量作為 $Lambda^{n-m}(V)$ 的基底, 那麼我們可以發現其實 $Lambda^{n-m}(V)$ 中的向量在正交變換下地變換規律與 $Lambda^{m}(V)$ 幾乎是一樣的, 唯一的區別在於前面會乘一個因子 $|O|$ . 所以, 我們其實可以稱一個n-向量為贗標量, 可以稱一個(n-1)-向量為贗向量(在物理中一般稱普通的向量為極矢量(polar vector), 稱贗向量為軸矢量(axial vector)), 前面加一個"贗"字就是因為它們變換時前面會出現一個 $|O|$ , 或者說需要左手定則確定符號.

現在可以回到向量叉積的問題上來了. 可以知道, 兩個三維向量 $a, b$ 叉積其實就是 $a wedge b$ , 由於 $Lambda^{2}(R_3)$ 跟 $Lambda^{1}(R_3)$ 是同構的, 所以我們就說叉積的結果仍然是"向量". 但是事實上這個說法不嚴謹, 叉積的結果其實是贗矢量. 而兩個二維向量 $a, b$ 叉積其實也是 $a wedge b$ , 此時, $Lambda^{2}(R_2)$ 其實跟 $Lambda^{0}(R_2)$ 是同構的, 也就是說兩個二維向量的叉積是個贗標量.

最後, n維向量如果非要定義"叉積", 大概有兩個思路. 如果定義為兩個n維向量的外積, 那麼在n不等於3的時候, 叉積的結果都不是(贗)向量, 而是2-向量. 如果定義為n-1個n維向量的外積, 那麼正好可以得到一個n維的(n-1)-向量, 也就是一個n維贗向量.

以上.

向量的叉積應該是反對稱的，滿足的運算可以為外代數的楔積(wedge product)。

然而一般維數下，楔積沒法和原來的向量空間同構。

如果要求同構，維數只能為0,1,3,7(=1-1,2-1,4-1,8-1)。這是由於可除代數只有實數(1維)，複數(2維)，四元數(4維)和八元數(8維)。

所以叉積除了3維可以存在，7維也可以存在，然而並沒有啥用。。

補充一下好了：

如果維數是2的情況，設 $old{a}=(a_1,a_2)$ , $old{b}=(b_1,b_2)$ ,按照楔積的定義

$egin{aligned} old{a} imesold{b}=old{a}wedgeold{b}\ =old{a}otimesold{b}-old{b}otimesold{a}\ =left(egin{array}{cc}0-left|egin{array}{cc}a_1b_1\a_2b_2end{array} ight|\left|egin{array}{cc}a_1b_1\a_2b_2end{array} ight|0end{array} ight)\ end{aligned}$

可見獨立分量只有一個，所以2維的叉積本質的維度只有1維。

3維也可以通過矩陣發現獨立分量有 $(3 imes2)/2=3$ 個，正好有簡單的同構。7維的沒這麼簡單，但是可以通過8元數的乘法表發現同構。

其實物理裡面的角動量之類的都是楔積(wedge product)的結果，也就是2階反對稱張量。用贗矢量表示只是為了方便。學生時代就在為為啥角動量，電學裡面的量之類的要用右(左)手定則之類的困惑不已，後來終於搞清楚了，其實他們都是張量。

你要是學習過線性代數的話你可以在維基中搜索一下外代數（grassmann代數）和外積（wedge product）。

叉積的直觀含義是有向面元，也就是既有大小信息又有方向信息的一個面元。

一般的在n維里它的方向信息應該是要2個或者(n-2)個不同向向量才能決定的。你可以想像三維里一個面的方向既可以由面里的兩條不平行的線的方向決定，也可以由面的法線方向決定。

所以二維的有向面元可以作為標量也就是2-2＝0階張量，而三維的有向面元可以作為矢量也就是3-2＝1階張量。

同理四維中的有向面元就只能用2階張量表示了，也就是四維中不存在作為二元運算叉積。

但是你可以在四維里定義一種三元運算的叉積，它的意義是有向三維體元（面元是有向二維體元），它可以表示為4-3＝1階張量也就是矢量，這種運算可以輸入三個矢量輸出一個矢量，它的方向是那個三維體元的「法向」。

……手機碼字，只講一下直觀含義，嚴格的數學交給大神們吧。

補充一下樓上的，樓上們普遍將叉積看做兩個一形式外積成二形式再做hodge對偶，按照這種理解，自然只有三維情況下的矢量外積。但如果我們只把外積理解成矢量本身的一種李代數結構的話，會發現在七維的歐氏空間，也存在一種類似的結構。

Clifford代數裡面將叉乘定義為兩個矢量的二矢的對偶。

比如三維中，二矢表示一個平面，對偶當然就是法矢量了。

可以看出來，n維空間中矢量的叉乘維度為n-2，因此只有3維情況下，叉乘能得到矢量，其它的都是多矢。