為什麼線性空間要定義在域上？

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線性空間也可以定義在除環上

實際上線性空間的推廣就是所謂的環上的模。

然而推廣之後的東西就不再如線性空間那麼好了

比如無法定義一組基，或者兩組基的個數不一樣。

如果有一組基的模叫自由模

如果環上的自由模滿足它的任何兩個基的個數一樣，那麼叫這種環為IBN環(invariant basis number不變基數)

這樣的IBN環很多，比如交換環，具體一點的例子是整數環Z

而Z模就是常說的交換群，於是交換群也可以統一在模論下。

當係數環是域(除環)時，那麼域(除環)上的模就是線性空間。

對於線性空間來說最重要的是可以研究線性代數咯

那麼對於一般環上的模來說，線性代數的對應部分是什麼呢？

或者說，線性代數在環上的推廣是什麼呢？

我很高興可以介紹這樣的「高等線性代數」的東東，也很高興現在在這方面了解了一丁點也希望可以一直做下去，接下來就是幾種不同卻相通的線性代數的推廣:

群表示論:群G的一個表示就是一個二元組(V,f)，G是一個群，V是一個線性空間(對，就是線性空間)，f是從G到V這個線性空間中所有可逆線性變換全體的一個映射(同態)，即$$f:G o GL(V)$$右半部分就是線性代數里熟悉的東西了。

表示論:上面的群可以進一步做成一個群環Z[G],然後就可以把右邊的可逆線性變換換成所有線性變換了，也就是f:Z[G]------&>End(V)。這就可以得到環的表示理論，這一套方法當然還要藉助於環論里的工具，但究其思想還是想用線性代數來做研究。

同調代數:可能放在這裡比較牽強，但這也同樣和線性代數中一個問題相關。

考慮一個線性方程組，以下x,y是合適的向量,A,B是適當的矩陣

Ax=0 (*)

如果AB=0，那麼對於任意的y

都有 By是(*)的解，那麼反過來問x都可以表示成為By這種形式么？

如果都可以表示那麼熟悉同調代數的人知道這相當於一個復形正合:

V1----------&>V2--------&>V3

Ker A=Im B

另外最後再提一個線性代數的推廣是所謂的(低階)代數K理論。作為一種分類工具，定義了與線性空間的維數類似的 K0群(Grothendieck群)，定義了與行列式的性質類似的K1群(Whitehead群)。還有研究初等矩陣的K2群(Milnor)。

感興趣的請搜索美國數學月刊里T.Y.Lam(林節玄)的簡介，對於表示論的歷史感興趣的同樣也可以搜索到T.Y.Lam的有關表示論歷史的簡介(AMS Notice)

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簡單來講，就是我們希望如果,那麼同樣就有.

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只有在域上定義，才能保持我們所需要的關於線性空間的各種好的性質。

for example: Every vector space has a basis, but not every Z-module

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定義在ring上的叫module

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