高等數學中通量、散度、環流量、旋度，有哪些形象易懂的例子?

01-03

這個問題困擾了我很久，我看同濟的高等數學教材，這一段內容看的是雲里霧裡，複習考研看複習全書，裡面也是來了題目就上公式，沒有看到邏輯演繹的過程，學習的非常痛苦，絕望之下，看了國外的數學教程和公開課，總算在腦袋中有了直觀的數學直覺，希望能給題主一些幫助。

（另外，我還是多說幾句，考研都推薦李永樂的複習全書，我覺得是人云亦云，李永樂的書確實非常適合考研複習，但是前提是你必須有紮實的基礎，否則你會覺得密密麻麻的定義定理讓人想放棄，沒有思辨，沒有演繹，還有不推薦數學基礎不好的同學考研看同濟的數學，這些書雖然嚴謹，但是總是為了證明一個問題而去證明一個問題，從而讓人覺得非常晦澀，所以強烈推薦時間充足的同學先讀國外優秀的數學書籍，從一個問題的起源出發，為什麼人類要提出這個問題，這個問題是為了描述和解決什麼，一步一步邏輯上的推進最後給出最後的結論，讓人感受到數學根本就不是一件特別讓人頭疼的事情，反而是一種思維上的享受）。

正文從這開始。

我的整個講解大綱是這樣的：

曲線的散度和通量----&>曲面的散度和通量----&>曲線的旋度和環量----&>曲面的旋度和環量

哦有件重要的事情忘了說，通量在國內的書上一般稱為第二類面積分（我特別想吐槽這個稱呼），我建議大家不要記什麼第一類第二類這種完全意義不明的東西，當然因人而異。

首先一個大的思維前提，通量是和散度聯繫在一起的，環量（也就是題主說的環流量）是和旋度聯繫在一起的。

我們先說說曲線通量和散度。我們假設有一個向量場F，他大概如下圖所示一樣：

可以看到這些向量有長有短（大小不同），並且方向也五花八門，現在在這個向量場中，出現了一條曲線L：

好，那麼題主你想想看，這些向量，既有大小，又有方向，那麼他們是不是有移動的趨勢呢？既然移動，就肯定會通過這條曲線L，那麼有的朝著外面通過，有的朝著裡面通過，那麼就會相互抵消，於是我們就運用微積分的思想，整理出了如下的通量公式：

我們把這一段曲線分成無數小段，近似於一小段直線，那麼這一小段長度為ds，n是這一小段直線的單位法向量，方向根據其順時針運動還是逆時針運動有關，那麼每一小段上向量F在法向量上的分量（F·n）乘以這一小段的距離ds，然後加起來就是這一小段曲線的通量。到這裡，題主腦海中應該形成一個數學直覺就是，通量，就是通過的量！

那麼通量這個東西為什麼說和散度聯繫在一起呢？回顧怎麼求一點的散度：設二維平面上一點處的向量F=P(x,y)i+Q(x,y)j，那麼這一點的散度為：

但是憑什麼說向量沿x軸和y軸的分量的偏導數就是散度？想像一下：當一點處向量分量沿各自方向的偏導數的和為正時，說明這一點處的向量，非常討厭這一點，想要迫切的離開這一點，正數越大離開的想法越強烈；當為負時，說明這一點的向量很喜歡這一點，他雖然不願意離開，但是奈何人家要趕他走，於是他走的腳步很慢，負數越大留下的願望越強烈；當為0時，這一點的向量對這一點沒有任何感覺，你要我走，那我就走咯，不緊不慢的保持著原有的樣子。

所以散度，在腦海中可以形成的直覺就是，這一點的向量離開這一點的願望的強烈程度。

------------最近很忙，慢慢補充-----------

我們已經知道曲線上通量和散度的意義了，那麼我們如何建立他們的聯繫呢？

我們在腦海思考這樣一個場景：一個封閉的城市爆發了喪屍病毒（封閉曲線），城市中所有的人都用各種方式逃離這個城市（不得不離開自己的家園），有的人早就厭煩這個破地方，跑的飛快（散度為正），有的人熱愛自己的家園，捨不得離開（散度為負），人心險惡，逃跑方向相反的人相遇時，會互相殘殺爭奪資源（不同點的散度會相互抵消），最後總有一部分人會成功的通過這個城市的邊界（通量），逃離這個城市。

這個例子雖然不太恰當，但是我想應該該能幫助大家建立散度和通量聯繫的直觀直覺，內部你們怎麼爭奪是極其複雜的，我不管，我只用看看最後有多少人通過邊界就行了。散度和通量的聯繫是否就是應該這麼直觀呢？

當然這裡我們要用數學的語言來描述散度和通量的關係，大家還記得可惡的高斯公式吧，不過那是描述三維曲面的，在二維平面上，一個封閉曲線的高斯公式長這樣（之前筆誤把Pdy寫成Pdx了，重新更正了一下）：

很奇怪對嗎，雖然考研並不考二維平面的高斯公式，但是我就是對這個結果純粹的好奇，最後成功推導出這個結果，就像多年的老便秘釋放的感覺，非常爽。

來讓我們用之前的知識推導它！

首先這個平面上各點的向量為F=P(x,y)i+Q(x,y)j，那麼式子左邊就是這個平面各個點散度的積分，根據我們之前建立的聯繫，他應該等於這條曲線的通量的積分，關鍵的問題來了，我們怎麼求這條曲線的通量？也就是說，式子右邊我是怎麼寫出來的？

首先我們把這個封閉曲線無限分割，最後會得到一條直線：

這條直線用向量如何表示呢？顯然沿著x方向的微分分量為dx，沿著y方向的微分分量為dy，所以這一小段直線可以表示為dxi+dyj，我們知道通量是這一點的向量在其法向量的分量乘以這一段的距離，那麼這一段的法向量是什麼呢，確實是個難題，但是如果你還記得向量的叉乘就有知道如何解決這個難題了：

看見那個z軸的單位向量k了嗎？它是垂直於dxi+dyj的！那麼我們還記得叉乘會得到一個垂直於兩個向量的新向量，這個新向量不就是我們要的法向量嗎？！

於是：

注意得到的這個向量不是n，而是nds，因為n只是個單位法向量，而我們得到這個是單位法向量乘以長度後的向量（還不明白的話可以給我私信或者評論）。

那麼我們根據通量公式用這個向量點乘F：

這只是一小段的通量，把這傢伙一積分，不就是整段曲線的通量嗎？！

好了，困擾人的二維高斯公式被我們KO。（百度上看到有好多人不懂高斯公式是如何退化到二維平面上的，所以順便幫大家解決掉這個問題，希望那些在百度中沒解決問題的朋友也能搜到我這兒）。

另外，千萬不要暈圈，看到有朋友把這個高斯公式的二維退化看成了格林公式，千萬不要搞混，格林公式解釋的是二維平面上旋度和環量的關係，而這個二維高斯公式是解釋通量和散度的關係，務必不要搞混，仔細多看一下我的推導過程^_^。

明天將講解曲面通量和散度，以及考研常考的高斯公式，如果你曾經被這個高斯公式虐過，一定不要錯過我明天的講解喲。

----------------------分割線，繼續----------------

昨天已經把曲線的通量和散度解決掉了，今天我們把將其推廣到三維曲面上，來看看三維曲面上通量和散度的聯繫。請看如下曲面：

假設曲面上任意一點坐標為(x,y,z)，那麼這一點處的向量為F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，我們如何求這些向量通過這個曲面的量呢？還是按照微積分的老路子，先微分了再說：

注意我們對曲面進行微分後，得到的是一個空間中的平行四邊形，我們設這個平行四邊形的面積為ds，它的單位法向量為n，那麼根據通量公式，這一個小平行四邊形的通量就應該是F·nds，但是我們立刻發現我們遇見了一個難題，我們既不知道法向量n怎麼求，也不知道面積ds是多少，不過我們之前在二維平面上是怎麼獲得法向量的還記得嗎？叉乘！這個傢伙在這兒能幫上我們忙嗎？能！

我們首先看看這個小平行四邊形，能讓我們挖掘哪些東西：

----------這裡補充關於下面這張圖的解釋----------

這張圖有同學表示看的不太明白，沒有搞清楚那裡那兩個偏導數的作用，這裡解釋一下，因為在三維空間中，z的取值是由x和y共同決定的，所以當由A點到C點時，x增加dx，y沒有增加，但是x增加引起z增加，所以z方向上增加了dx乘以z關於x的偏導數；A到D同理。

我們假設曲面由z=z(x,y)表示，那麼我們從一個微分後的平行四邊形上可以挖掘出這三個向量，那麼我們怎麼才能求垂直於這個平行四邊形的法向量呢？根據叉乘定義我們可以知道，用AC向量叉乘 AD向量，會得到一個垂直於平行四邊形且大小為平行四邊形面積的向量（為什麼？請百度一下叉乘的定義，雖然我也會證明但是就不展開了）！這不是就是nds嗎？！於是我們就知道：

現在我們用F 點乘 nds，我們會得到什麼呢？

大功告成了嗎？還差一點點，之前我們用AC 叉乘 AD得到一個nds，但是如果我們用AD 叉乘 AC同樣也會得到一個nds，當然這兩者的大小相同，方向相反，所以根據方向不同，有正負之分，所以加個正負號就完美了，這就是完成品：

有點陌生？這個式子還有一個樣子，長這樣：

---------------從這裡開始來理解什麼是旋度--------

旋度一直是考研數學一中很招人厭的東西，莫名其妙的定義，又長又臭的形式，總是被大家當作偏僻考點，然而2016年數學一確出了一個旋度的考題，很多人罵出題人故意出偏僻的考點，但是實際上，那道題是一道極其簡單的送分題，但是由於許多人沒有理解旋度，也懶得背公式，自然是得不到分了。

這裡我請大家放心，旋度只要一旦理解了是什麼東西，那個又臭又長的式子根本用不著背，你可以直接很輕鬆的寫出來。

在正式開始講旋度之前，我必須請大家先移步我另一個關於格林公式理解的答案，因為我接下去關於旋度的理解，是以我對格林公式的理解為基礎而推導出來的。

關於格林公式的理解：

https://www.zhihu.com/question/22674439/answer/165988374

好，在理解了格林公式的形式之後，我們進一步的提出一個問題：你們有沒有發現，格林公式描述的其實是一個旋轉？

你看，格林公式要求的是封閉區域，求這個封閉區域上沿著邊緣一圈的向量做功，更抽象地說，就是沿著一圈的環流量。無論你之前想過沒有，但是現在你必須想到，格林公式描述的，確確實實是旋轉而產生的環流量。（有些同學不理解做功為什麼是流量，實際上流量一個抽象的概念，意在描述「一個向量沿某方向運動」，有時候我們為了便於理解，就把這個向量想成力，那麼就會把「流量」這個抽象的概念變成具體的做功，但是運動的向量可不僅僅只能是力，還可能是其他的東西，所以在這裡我們用更抽象的流量來幫助大家建立統一的認識）

另外，高等數學是其他許多複雜數學分支的基礎，高等數學的基礎打得越牢，其他更複雜的數學才有紮實的保障，所以如果你正在學習諸如數學分析等這樣的課程但是學的十分難受，有可能是高等數學的基礎就沒有打牢固，沒有學會如何分析一個問題的方法和思維。

題主的這個問題比較龐大，需要花時間慢慢來講，今天就先到這兒啦。

另外希望大家對於公式，千萬不要機械記憶，死記硬背，你看看咱們這麼推導公式，是不是深深地感受到數學的邏輯優美，直接背公式只會讓你很討厭數學的。

先寫到這兒吧，之後慢慢補充。

直觀的例子就是電動力學中的麥克斯韋方程組了：

$riangledown cdot D= ho _0$

電位移 $D$ 的散度，等於自由電荷的體密度 $ho _0$

$riangledown imes E=-frac{partial B}{partial t}$

電場 $E$ 的旋度，等於磁感應強度 $B$ 時間變化率的相反數

$riangledown cdot B=0$

磁感應強度 $B$ 是無源場

$riangledown imes H=j_0+frac{partial D}{partial t}$

磁場強度 $H$ 的旋度，等於電流密度 $j_0$ 加上電位移 $D$ 的時間變化率

之前的答案就不複製了

物理中引入散度旋度有什麼意義？ - 靈劍的回答

接觸過的知識中，最常用到的這些概念的，主要還是電磁學，尤其是麥克斯韋方程組。不過雖然它用這些概念用得多，但這個方程組本身有一些需要附加說明的定義，才能寫得簡潔，這就使其不直觀，反而不適合理解。為了直觀，拿水池舉個例，順便指出在靜電場中的類比。

一大池子水，每一滴水(體積微元)的流速組成了一個矢量場(類比於電場)。也就是說，建立空間坐標系後，每一點都對應一個向量：水池中這個向量是這一點的水的速度；電場中，則是電場強度。

同濟第六版的高數里已經拿理想流體來舉例說明散度表示「源頭」的強度。直觀理解的話，就好比水池中的進水口散度為正(所有運算都是在標準坐標系下)，出水口散度為負，其幅值和進出水口的管口大小(有效截面積)以及單位時間內進出水量有關。類比於電場中，場強的散度等於電荷密度。

通量則可以想成是在水池裡撒一張濾網，單位時間內通過這張網的水量就是通量。類比於電場中任意劃定曲面後通過該曲面的電場線的數量。(這也可以理解高斯公式的物理意義，閉合曲面上的通量等於曲面內所圍區域的所有「源」的和，也即散度在空間內的積分。)

旋度，根據高數書上那一節最後一個力學的例子也可以知道，其方向指向旋轉平面的法向，大小指示旋轉的強度。而旋度本身稱為「環量密度」，場論中的定義是「環量面密度最大的方向」。可以想像成：水池中，局部有一些很小很小的漩渦，而漩渦中心點的旋度就是這些漩渦的方向和旋轉快慢、旋轉半徑的指示。

靜電場屬於無旋場，各點旋度為0，不可能存在「漩渦」。(事實上由於靜電場有電勢能，屬於保守場，凡是保守勢場，都可以通過勢函數求梯度構造場函數，是為梯度場，因此靜電場是一個梯度場，而梯度場的性質保證「梯度場無旋」。類似的還有「旋度場無源」。)

環量，是給定閉曲線上，向量場在其切向的投影，進行積分得到的結果。可以想像成是：有穩定漩渦的水池(同時未破壞「水速場」的連續性)，在漩渦外圍構造閉曲線求環量，得到的結果表示單位時間內在漩渦外圍參與旋轉運動的水量。

靜電場旋度是0，根據斯托克斯公式，環流量也恆為零。而穩恆磁場中磁場強度環流量等於穿過環內的電流代數和(安培環流定理)。更複雜的電磁場中關係式的數學意義就大於直觀解釋了。

(真相是，兩年前學的電磁場，現在我已經忘得差不多了。)

突然想起來，上電磁場的課的時候老師講過一種斯托克斯公式的直觀證明方法(嚴謹性待考)，有空的話寫一寫放上來。

==========8.3更新==========

斯托克斯公式：向量場沿閉曲線的環量等於向量場的旋度通過以該閉曲線為邊界的曲面的通量。

設想空間中有如下圖的曲線和曲面。

先從環量出發，想辦法證明前者(向量場的線積分)可以被表示成後者(旋度的面積分)。

沿著曲線的積分可以分段成一小段一小段的部分，而每一小段可以看成是局部「小漩渦」的一條邊。

「小漩渦」多出來的部分都可以看做是公共邊而被周圍的「小漩渦」抵消。(就好比電路中算迴路電壓時兩個有公共邊的迴路方向相反時，算出來的電流會在公共邊抵消一樣)

為了抵消所有的公共邊，這樣做的結果是，「小漩渦」布滿了整個曲面。

而根據旋度的直觀解釋，這些「小漩渦」的強度(沿著這些小漩渦的積分)可以用旋度來代替(前提是漩渦足夠小)，並且旋度的方向是垂直於「小漩渦」(也就是曲面表面)的。

因此，用旋度代替這些「小漩渦」，再在整個曲面上積分，就可以知道它等價於原來沿著邊界的線積分了。

手拙，圖丑，見諒。_(:_」∠)_

學習初級的高等數學（這裡高等數學包括所有大學難度以上的數學，初級的包括比如這些微積分、線性代數、解析幾何等）可以依靠適當的幾何直觀來有力的幫助理解這些基礎概念，建立起對基礎知識的直覺；然而要想在學習數學的道路上走得更遠，還是必須拋開這些形象化思維輔助工具，真正建立起抽象的數學思維，否則就無法真正理解更高級的數學，比如泛函分析、抽象代數、範疇論等等，無法想像無窮維空間上的超平面等概念。（我已經離開數學世界太久，對具體的細節記不太清楚了，如有紕漏請多指教）

這些都是場的屬性，場之中最直觀的是流場。

參考:我的知乎回答：物理中引入散度旋度有什麼意義？既然只是答物理意義，那還是可以寫一寫的，我主要從流體力學的角度寫。散度、旋度、通量、環量這兩組概念的關係密切，可以放在一… http://www.zhihu.com/question/46380810/answer/111406959

我覺得中國的教材急需改良。這次看了最高票文章理解很順當，再聯想到前不久在在知乎上看了一篇傅里葉變換的解析文章也是秒懂。而這些都是當年學高數完全沒搞明白的呀！看來，不是我們智商有問題，是中國的教材有問題。編撰老師們不是為了讓大家更好地學習理解，而是為了顯示自己水平高而故意裝逼，其實很多論文也是這樣。

環量和旋度不太好說。通量和三度，這例子很現成啊，平穩的水流，就很容易說明通量和散度啊。下面假設流體的密度是不變的（物理學中叫不可壓縮流體），以流體的流動來說明通量和散度是什麼東西。看時，若對公式不感興趣，可略過，不影響閱讀。

水在水管中流動，那麼通過管的橫截面（該面垂直於水流方向），1秒（物理學上通常說成單位時間）有多少立方米的水流過（即流過水的體積是多少）？這個很好算，小學咱們算渠道里水的流量什麼的就算過了，水的流速乘以橫截面積即可( $Phi =vS$ )，這就叫水流通過這個面的通量。

當然啦，這是說得太過簡單了，是最特殊的情況，要是更一般一點兒，譬如你要研究的面不和水流垂直而是斜著呢？那就把該面投影到垂直於水流方向去（即乘以一個夾角的餘弦）就行了： $Phi =vScos heta$ ，其中 $heta$ 是水流方向與面的垂線（法線）方向的夾角，數學上可以把面積規定成一個矢量，方向就沿著其法線，那麼這個式子可以寫成矢量點乘 $Phi =vcdot S$ ，注意這裡v和S都是矢量；那麼最一般情況的呢？可能水流速度的大小、方向在各個點都不一樣（這就是說水流速度是在空間各點分布的，所以稱為流場），或者我研究的那個面壓根兒就不是個平面呢？這個好辦，把這個面劃分成很多個小面元（即微分），各個面元就都可以看成平面了（正如地球表面是球面，但你在操場上跑步可一點兒也感覺不到你是跑在一個球面上一樣），而且在這微元內流場的流速也可以看成均勻的了，那麼就按照剛才的演算法，同樣可以把各個面元規定成矢量，算出各個小面元上的通量，然後把通過各個小面元上的通量加起來，就是整個面積上的通量了——看到這裡估計一些童靴已經笑了，什麼加起來，面元無窮小、面元的數目無限多，這個「加起來」明明就是積分嘛，所以這時候通量的計算式就變成了： $Phi =int_{S}^{} vcdot dS$ （v和dS都是矢量）。

看，在流體的流場中，這就是通量的意義：所謂流體的速度場通過某個面的通量，簡單說就是速度與這個面的乘積（嚴格說就是上面那個曲面積分了），其物理意義，乃是流體通過該面的流量（單位時間內流過的體積）。

在物理學和數學中，經常關心的、也是和下面要講的散度相關的，是通過所謂閉合曲面的通量，按照上面的計算式，這時候寫成 $Phi =oint_{S}^{} vcdot dS$ ，畫個圈圈表示這個面是「閉合的」。對於閉合面，它在各個點的垂線（法線）可以向著面內，也可以向著面外，我們取面元dS的時候，規定以向外的法線作為其方向，這樣對於閉合面，很容易算出來，如果某點的流體流速是向著面內的，那引起的通量是負的，否則才是正的，也就是說我們以流出為正、流入為負。

由於是不可壓縮流體，密度不變，那麼如果在我們研究的閉合面內既沒有泉眼兒，也沒有漏洞，可以斷定，在一定體積內，流出的通量一定等於流入的通量（總通量為0）。如果流出的多流入的少（也就是通過閉合面的總通量為正），那麼我們可以斷定，這個閉合面內一定有包含的泉眼兒，反之呢，可以斷定其中一定有漏洞（漏洞其實就可以看作「負的泉眼」），通常把這種「泉眼兒」叫作「源」，而把漏洞叫「匯」（匯可以看作負的源）。

但是泉眼噴水的量不一樣，可能某個閉合面的通量是每秒3立方米，而另外一個閉合面的通量是每秒50毫升，這說明前面那個泉眼的噴水量多。然而這事情也不好比，如果你前面那個閉合面是個直徑300米的球面，後面那個閉合面是直徑3厘米的小球面，那麼直接這麼比，好像也不太「公平」。怎麼辦呢？我們把通過某個閉合面的通量（按上面說的，其意義即單位時間的流量），除以該閉合面包圍流體的體積，看，都摺合成單位體積了，這公道了吧？好了，主角登場了，這個除出來的結果，就叫做這個體積內的（平均）散度。——注意，這麼做得出來的只是「平均散度」（可能這個詞兒是我生造的哦），要想精確地反映各個點的散度，你只要在你研究的點附近選一個儘可能小（數學說叫包圍的體積趨近於0）的面元把該點包圍起來，按通量除以體積的辦法算散度就是了，當面元極限趨近於0時，這個面元包含的體積也就趨近於這個點了。這樣每個點都可以計算散度，所以散度也是空間分布的，是空間點函數。

所以，簡要地說，什麼是散度？散度就是某點附近單位體積內散發出的流量。顯然散度大於0，表示有源，小於0表示有匯，而其大小的絕對值，表示單位體積的源或者匯單位時間內產生或吸收的流體體積。所以，一句話，流體的流場中，某一點的散度表示該點處的「源強度」。

數學上可以推知，這個源強度（這可能又是我生造的詞兒）——即散度的計算式是Nabla（即倒三角）運算元點乘以速度，直角坐標系中，這也就等於速度在各個坐標軸上的分量分別對相應的坐標求偏導，然後三者加和。

物理學中用到流量的地方很多，但愚以為最容易理解，還是上面說的這個流體的的流場例子。把流體換成電荷，那同樣可以用於描述電流。電流中，所謂的電流密度矢量其實就對應上述的「速度」，而電流強度就對應流體的流量，所以通過某個面的電流強度是電流密度矢量通過該面的通量。

至於更耳熟能詳但卻並不膾炙人口的（因為其實比較難以理解），就是電通量、磁通量的概念了。其中事實上並沒有什麼東西在流動了，所以上面這種理解就不好移植了，其實這個移植可以是純數學的，那就是仿照流體速度場的通量等於速度對面積的曲面積分，那麼電場的通量就是電場強度對曲面的積分。但這太純數學了，所以還有我們的救星法拉第先生（感謝上帝讓他的數學功底不深）引入的場線（其實流體里也經常畫出流線的），然後老師騙我們說電通量就是電場線通過某個面積的場線條數。相信我，這真的是騙你的，因為電通量得到單位不是多少「條」，而且電通量也不是一個沒有單位的「數」，而且電通量可以等於0.5的（電場線是0.5條嗎？）。所謂電場線的條數，只是我們在圖中對電通量的一種幾何表示罷了，對某個量的表示不能算是這個量的物理意義，只是因為電通量的物理意義實在難講，所以老師才這麼騙人的，算是有個交代罷了。磁場同理。

但引入場線，那場線就可以類比為流線，人們發現某點上電場的散度等於該點的電荷密度，這就說明電場線是有源頭的（場線從這裡發出），而且電荷就是電場的「源」（負電荷那就是「匯」），可磁場呢？磁場很可能是沒有源的（至少直到目前，還沒有找到能發出或者吸收磁場線的東西，磁場線都是自己跟自己閉合地接起來，無頭無尾的）。

這些概念，在麥克斯韋的《電磁通論》緒論「量的測量」中，講得極透徹、明白，只用了20頁。

根據此文可知，散度和旋度的概念都是由麥克斯韋首次提出。

最典型的例子不是沒有，你一定也聽說過，叫麥克斯韋方程組。。。鑒於我水平很渣，就不具體展開說了。。。建議自行百度一下麥克斯韋方程組(四個積分形式+四個微分形式)。。。再結合具體物理意義，對理解通量散度環量旋度這些東西還是很有幫助的

愛因斯坦說，麥克斯韋方程組簡單的數學形式後面蘊藏著極其深奧的內容，所以題主要是有什麼新發現，請告訴我一下。。。

高斯定理

安培環路定理

對於通量啊，可以理解為水龍頭的排水量。那個向量就是水的流速咯

感覺例子都在物理題里。。。

厲害

高數里的知識我看來完全是理論，不結合實際，我對這樣的東西沒有任何感覺，所以我的數學一直都不好。但你所說的通量，散度，旋度，梯度等等在電磁場與電磁波這個課程裡面都有非常實際的體現，這樣學起來就不一樣了，結合工程實際，就會理解的非常直觀。當結合實際理解之後，再倒過來看高數就會有完全不一樣的理解了，高數不再是晦澀難懂的公式，而是一系列傳播的電磁波

遇到一個很好的老師，講解的非常詳盡。其實這幾個定義你可以參考電磁場與電磁波這門課程的講解，應該會讓你滿意。

通量，通量，通過的量。就是在一個圓環，通過其中的矢量與圓環面積之比。通過的量與面積之比越大，通量就越大，形象的理解就比如水管吧，水管的管徑越粗，單位時間內通過的水量也就越大，這個值就可以用通量來衡量。

手機碼字，其他的可以私信我。講的比較粗，見諒，這是我的理解，有錯誤的地方還望指出。

電磁波與電磁場你值得擁有！看完前兩章你就全明白了

學渣的我看了看電磁場和電磁波教材里關於通量散度環量旋度的例題就明白了

相信我，找本矢量分析的書，你就會發現驚喜。