如何在寒假期間系統的學習數學？

01-03

本人現在大二在讀生，有感於數學基礎較差，希望能夠在寒假期間自己補習。大一時學校的課程是數學分析，高等代數，空間解析幾何，概率論與數理統計，常微分方程，但自我感覺學的非常不好，基本和沒學差不多。希望對數學能有一個比較系統的認識，應該學習哪幾門課程？大量做題以增加熟練度的方法可以嗎？

首先，最重要的，也是最緊要的。數學物理方法和複變函數一定要弄明白搞清楚會做題啊。現在不在國內我也幫不了你了。一般來說這個題型和一個月前的那個是差不多的，那張卷子上的題一定要都搞定啊。即使搞不定的話上課講的抄的筆記上的重點題和卷子上的題的交集我敢保證是這次考試的卷子上的題的真子集啊。數理方程上的題有些是可以直接抄的（半球穩定場方程）有些需要做一點變換。也就是說在本徵方程上作變換得會啊。（也就是求個導帶個入的事）。複變函數部分簡單的和不太簡單的基本運算都得會啊。留數定理還是只考前三種一定一定要注意啊這邊都是大題還不止一個不會甚至是不熟練都很危險啊。強烈建議找本習題集抄幾道經典的至少是不能立刻想到的變換上去啊，實在不行習題集直接帶上去也行啊。我會說上次卷子上一道大題本來我鐵定不會的所幸抄了一個類似的上去嗎。我的筆記都帶回家歸檔了這一點就不要指望了但是習題集應當還在寢室是綠皮的小本門鎖隨便用什麼一捅就行。這次老師雖然很生氣但是卷子應當不會太報復社會。但是上次的卷子上的題不會是一定不行的。看你寒假都快過完了才問這個問題就十分危險了啊這個考試一定要過啊你要不想兩年後在11號樓五樓一邊轉圈圈一邊背政治背三個帶表的話就千萬千萬千萬要過啊這幾天就把系統複習數學的事情先放放吧開學1到3周，甚至到5周都是可以各種happy的啊。考試是千萬要過得啊。

& //ipad寫這東西實在是難受所以我寫一點提交一點好了而且考慮到時差問題我能寫到北京時間半夜去，你就先複習去吧。

大二這個時段重新學習數學實在是極好的選擇，一來數分高代空解概率常微復變之類的基礎課都完事了所以學習重點可以從「這門課我要刷到xx分」轉移到「這裡是將來工作研究比賽要用到的」同時還沒有達到「因為是考研要考的所以要著重複習」的境界。（你看咱隔壁學校大一就已經進入第三境界了）雖然說考試對學習還是有進步作用的但是對大多數人而言考試尤其是考綱嚴重的限制了學習的深度。更要命的是有些前面學的概念學習的不深入的話就不明白這個概念的精髓所在。就像現在你能馬上說出排除美學上的因素為什麼要用schimidt變換求標準正交基么?二來不有這麼一句話嗎，種一棵樹最好的時間是十年前，第二好的時間是現在。（引用）第三點也是很重要的一點：現在開始就不是大平台基礎課而進入專業基礎課的領域內了。既然明確了方向接下來的工作就從刷分變成鋪路了。也就是說前面花一年半打磨的工具現在開始拿出來用了。這樣的話遇到（將來可能遇到）什麼就鑽進去學什麼其實是一個極好的選擇。

當然，我明白你想要將數學系統化的想法。從這方面而言數學史是一個很好的入手點。因為一般意義上而言我們學習的每一個概念，公式都是有其工程背景的（大一大二大三工科專業課學到的限定）從數學史開始不僅僅是以時間為綱綱舉目張的把所學過的（還有更多沒學過的）穿上一遍，而是要明白一個概念提出的時代，物理乃至工程背景。只有結合了實踐的知識才是有根之木有源之水，只學習了概念會做幾道習題到了應用的時候會不會有「銑刨磨電焊線切五連擊，然而是外科手術」的感覺呢。當然在這個意義上而言參加數學建模競賽是一個極好的機會，也就是「通過實際問題理解數學是幹什麼用的」。然而以數學史來學習的話一大問題就是它。。。太厚了。上學期我借了一本結果。。。咱學校有這門課你可以去聽,如果不願意考試的話可以不選這門課光蹭課（反正咱已經不用為學分發愁了不是）。

另外一點就是要了解你將來要從事的領域。既然配了導師就要用好，不僅僅要了解該專業最前沿的東西（這是最為基本的）更要了解一些過去的知識。數學是一個非常非常寬廣得領域而你所用的只是其中一個真子集而已。如果把整個數學體系簡化成一個深度為n的樹，那麼你所用的只是其中以第m層的某節點為根的子樹而已（或許還沒有完全使用）。那麼與其泛泛的學習所有領域的表面東西不如將一方面鑽研精深來的好。當然，吃蛋糕的時候大家都願意刮上面的奶油而不願意挖蛋糕胚來吃（也有那種喜歡吃蛋糕胚的。。。當你能利用別人無法利用的資源充實自己時你就變大牛了）。換而言之對於絕大多數數學分支學習的越深入其心裡回報是遞減的。

但是，有一個你必須明白的道理。你將來的成就（包括但不限於工資）與你的努力程度關係並不是很大，否則火車站扛大包的應當富可敵國才對。事實上，你將來的成就和你的不可替代性 //這五個字黑體有極大關係。泛泛的將所有領域看一遍，就算你認真如神，你的不可替代性也不會大於三個工資1800的，平時上課睡覺打遊戲的一般學生，那樣的話高薪出國什麼的就指定沒戲（這裡有一個例外是某些諮詢行業，其實你挺適合搞諮詢的真的。辯論和諮詢的共同特點是都得把別人忽悠明白了，你抽到什麼立場就得說什麼話）。但是假使你專精一處，而這一處全球會的不超過10個人且某領域突然急需該方面人才那就變成賣房市場了，平時想像中的待遇也就不難實現了不是。而個個專業其精深之處都在於數學。

那具體學習到什麼程度呢？首先不能重複發明輪子，其次有發明輪子的能力。具體到考試上就是有成熟，通用解法的問題不能不知道。像這樣的問題哪怕自己搞出了一種解法也並非光榮之事。哪怕這種方法被用爛了假使用的合適也並非羞恥之事。其次對於沒有成熟解法（或者你剛好忘了）的情況，你要有創造新方法的本領。具體到工作中前者保證你的產能（不會因為工作效率低被老闆開掉），後者保證你的工資。

以上的說明，其中隱含的很重要的一點再重複一下就是:打破各科課程中的gap。例如平時學數分的時候學到一般積分變換因為「jacob矩陣是高代里的事」這樣的理由就不考了，大家就記住柱坐標系和球坐標系的就行。當然，在考試中咱對這樣的行為是非常歡迎的。在工作中呢？所以現在學習的主題思想是：將來的boss和工作本身是我們所有人精神上的父親，我們所有的生活資料都是偉大的工作所賜予的。所以從現在開始我一切一切的努力，都是為了榮耀我的崗位和獲得加薪。考不考試什麼的才不管呢，將來工作上要用的，就一定要學號。為此你甚至應該去學離散數學。熟練編程是你的一大亮點不要白瞎了。下學期正好我有離散要不你來蹭課？

當然，現有教材的知識體系也是極其有價值的。現有的教材知識體系是經過反覆驗證的，科學合理的。然而這種教材的需要尤其注意的一點就是它是以「上帝視角」俯瞰這本書的，所以在第一遍學習的時候會造成比較大的困難。引用一個劉未鵬在《暗時間》中舉的例子：柯西當年試圖將函數的連續性從單個函數推廣到無窮級數上面去，即證明由無窮多個連續函數構成的收斂級數本身也是一個連續的函數，柯西給出了一個巧妙的證明，似乎漂亮地解決了這個問題。然而傅立葉卻給出了一個噩夢般的三角函數的收斂級數，它的和卻並不是連續的。這令柯西大為頭疼，以至於延遲了他的數學分析教程的出版好些年。後來，賽德爾解決了這個問題：原來柯西在他看似無懈可擊的證明中非常隱蔽（他自己也不知覺的情況下）引入了一個潛在的假設，這個假設就是後來被稱為的「一致收斂」條件。當時我看到這裡就去翻我們的數學分析書，發現「一致收斂」這個概念第一次出現的時候是這樣寫的：定義：一致收斂...（引用完畢）但是在現在，因為你對整個知識體系畢竟學過一遍有個具體了解了，再一次學習的時候這樣的脈絡反倒能幫助你歸納知識體系。也就是說教材的知識體系到這裡才會發揮用場。

最後牢記一點：數學只是工具。所以就要按照打磨工具的方法來淬鍊自己的數學功底。就比如拋光，首先用砂輪，然後用砥石，精讀再高就用砂紙200，500，800，目數一點點提高。再然後用打磨膏加抹布磨出鏡面。解決問題也是一樣的，如果只求粗略的解決問題，各種經驗公式是非常簡單的。隨著問題的深入你會發現經驗公式沒有了（你就可以發論文了）需要用到各種數學知識了。再深入下去你發現你學到的知識是有適用範圍的，只在一定的假設條件下成立的。而你遇到的問題不在這個範圍內，這個時候你就需要延拓範圍使其成立，或是往深里鑽（使用抽象程度更高的模型）解決問題。

個人意見：這樣的學習模式是對你現階段最有利的。具體到哪裡尋找這種問題呢？學科前沿，數學建模賽都是不錯的途徑。實在不行別忘了，學校每學期還給咱導師發錢呢。

「自我感覺學的非常不好，基本和沒學差不多」——那就應該好好做題鞏固一遍，要不然基本上就算是流沙上蓋樓，很危險，很費勁。