計算器為什麼能實現保留根式、分數或含π的結果的功能？

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首先要區分計算器是否擁有計算機代數系統（CAS），然後分情況討論。

一、對於絕大多數沒有CAS功能的函數計算器，實際上任何計算結果都是以數值的形式給出的。在一般的函數計算器上顯示平方根、π、分數等結果的功能，其實是CASIO、TI、SHARP三家公司在本世紀初計算器研發的技術成果，這種功能分別被稱為「NATURAL DISPLAY（CASIO）」、「MathPrint（TI）」、「WriteView（SHARP）」，而其他的計算器品牌若有此功能即為盜版。以CASIO的fx-991CN X為例：

實際上，由於計算器內部的計算位數有限制，再加上只能作數值運算，所以計算器在內部仍舊是將結果表示為數值。從理論上講，在計算的結果達到一定的精度，並且符合某些條件，才可顯示為這樣的結果，也就是說計算器會在內部將結果作一個簡單的運算後，再判斷是否能夠替換成根號、π、分數等形式。例如CASIO的函數計算器平方根顯示的條件如下圖所示（源自ES系列說明書）：

一個很經典的例子就是，輸入「3.14159265358979323846264338327950288……」，隨著輸入的位數增加，達到一定的位數之後按【=】就會顯示「π」。還有一個很有趣的例子可以參考這個答案：https://www.zhihu.com/question/52342583/answer/140008529

這種表示方法有非常多的局限性，例如立方根、含「e」的結果對於這一類計算器就無能為力。

二、擁有代數功能的計算器就完全是另一種演算法了，CAS的精髓在於將整數、字母、常數等都視為符號來作運算，因此這樣的計算器不僅是能夠顯示根號、π、分數等結果，許多計算都是以符號的形式作內部的計算，且能給出符號解。例如計算定積分 $int_{0}^{pi }mathrm{e}^{x}mathrm{sin}xmathrm{d}x$ ，沒有代數功能的計算器就不可能給出像 $frac{mathrm{e}^{pi }+1}{2}$ 這樣的結果。

沒有代數功能的計算器，給出近似值結果（下圖為fx-991CN X和fx-CG20）：

擁有代數功能的計算器，給出符號解（下圖為fx-CP400和TI-Nspire CX CAS）：

哪有上面這個答主說的這麼麻煩，一個波蘭表達式足以，你自己如果有一定編程基礎都能實現一個功能齊全的計算器。