目前數學有沒有結構比較清晰嚴謹的基礎部分？

請問目前數學有沒有結構比較清晰的基礎部分（即從日常生活和邏輯開始引入最初的數學定義和公理，然後再往上構建）？

之前了解到是集合論以及更基礎的數理邏輯，但有幾個問題，

1、關於研究數理邏輯的必要性，之前了解過數理邏輯的東西，大致是研究命題及其相關的定義定理的推導，但有個問題是我們用本身已有的邏輯去研讀和規範邏輯，如果我們的邏輯有問題，那麼對數理邏輯知識推理的對錯的判定就不準確，繼而也就不敢用；如果邏輯沒問題，那就沒有必要讀這部分內容，總之就是不管我們初始的邏輯有沒有問題去研讀它都沒有意義，那為什麼還要去研究？

2、我看的那本書的數理邏輯一開始的很多定理因為類似集合而不加證明的套用集合論的結論，但它本身就是集合論的基礎，這難道不是一種邏輯上的顛倒嗎？

3、數學的證明中關於排列組合的基本結論被廣泛應用，比如集合論里證明(AUB)UC=AU(BUC)就需要對任意x討論是否屬於A,B,C一共八種情況下前式都成立，但哪部分理論有關於為什麼是八種的說明嗎？另外可想而知如果把排列組合的結論提前包括其他一些結論的有限個推廣，會涉及自然數和歸納法，但這些東西都是公理化體系集合論里講完函數才引入的，不算是邏輯上的顛倒嗎？

4、題主是本科生，自從接觸了大學數學就感到它的內容是試圖把每一步推導作為之前的定義或者證明的定理的應用，所以在學習的時候也會很刻意的考察每一步推理是否有過「證明」（包括高中的知識），這樣一直到了解了集合論、數理邏輯和布爾巴基，現在一方面我發現作為初學者過度關注推理會少有經歷培養直覺，可能會走布爾巴基錯誤的教育路線，但另一方面有些結論（比如上面說的排列組合的種數）腦子裡好像完全是直覺想不出證明過程，想問各位前輩作為本科生想學好數學目前應該質疑哪些問題，不該質疑哪些問題呢？

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謝 @Yuhang Liu 學長邀. 之前由於手機驗證的原因寫了一半的答案擱置了，今天清理草稿箱的時候才看見.

1. 研究數理邏輯至少有以下兩個理由：

1) 「我們本身已有的邏輯」很多時候是模糊的，尤其在涉及無窮是更是如此.

舉例來說，假定 f 是 [a, b] 上的連續函數且 f(a)f(b) &< 0, 求證 f 在 (a, b) 上有一個零點. 常見的證明是取中點將區間一分為二，保證新的區間仍然滿足類似的條件，「如此做下去」，最後用閉區間套定理. 但這個「如此做下去」的嚴格意義是什麼？這裡其實是值得商榷的. 數理邏輯會明確告訴你，（在一階邏輯的框架下）證明本身的長度應當是有限的；這個「迭代」過程其實是對集合論中遞歸定理的應用.

類似的問題還牽扯到選擇公理——如果 & 是一列非空集合，那麼能否找到一列 x_i 使得 x_i ∈ X_i? 直覺上這也是顯然的——因為每個 X_i 都是非空的，只要取 x_0 ∈ X_0, x_1 ∈ X_1, 「如此做下去」即可. 然而實際上這個命題等價於可數選擇公理. 同樣一句「如此做下去」，前者用的是 ZF 中的一個定理，後者卻等價於歷史上最有爭議的公理之一. 可見如果不對證明中允許出現的推理步驟做一個明確的規定的話難保不會出現問題.

2) 對「推理過程」本身的形式化與算術化使得數學證明本身也成為了一種數學對象，可以幫助我們研究「證明的限度」. 更具體地說，著名的連續統假設與 ZFC 公理系統是獨立（UPDATE: 之前寫成了不可判定，這個說法不準確，感謝評論區 @洪濤 同學指出）的，這一「獨立性」可不是僅僅通過哲學思辨得出的！為了說明這一事實，我們需要先定義什麼叫一個證明，研究一個證明有什麼樣的數學性質，再定義可證性，發展一些相關概念（一個理論的模型），最後用數學技巧（力迫法）來構造這樣的模型以完成證明. 試想，如果我們對「證明」沒有清楚的理解，怎麼可能證明某個命題「不能被證明」呢？

2. 這個問題 @楊睿之 老師已經寫過一篇很好的解答了，參見 楊睿之：集合論和一階邏輯的關係？

3. 這是經典邏輯中的排中律 (law of excluded middle) 和一些其他邏輯公理（分配律等）保證的. 另外你要推廣可以在引入自然數之後再推廣啊，那之前 on-demand 的用就行了. 或者也可以在元理論中歸納.

4. 我個人的體會是一個定義往往要通過在證明中實際應用它才能培養出「直觀」，比如拓撲空間的定義看起來非常奇怪，但讀了一些證明之後發現確實很好地 capture 了我們直觀上理解的那種「靠近」關係和「連續」變換. 因此在我看來關注證明和關注直觀是不矛盾的. 實際上由於很多定義已經經過了多次「版本迭代」（比如流形在一點處的切空間），

關於質疑什麼，我覺得學數學應該有質疑所有問題的精神，比如看到一個定義可以思考：為什麼要加這個條件？去掉行不行？這個定義刻畫了什麼概念？能否推廣/特化？典型例子是什麼？看到一個證明可以思考：為什麼要這樣證明，能不能簡化？有沒有把所有條件都用足，能不能弱化條件？之類的. 至於你說的這個問題，可以歸結為「這個證明對嗎？如何形式化？」，相信你在學了一些數理邏輯之後很快就能解答.

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關於(AUB)UC=AU(BUC)就需要對任意x討論是否屬於A,B,C一共八種情況，你完全可以用窮舉法。

另外，重要的是這個可以通過窮舉來證明，而不在於你分析出是八種情況。

在學習數學基礎時，你完全不需要關心這種步驟。

有一種說法，城堡底部的蜘蛛在努力修補它們的網，彷彿城堡是建立在它們脆弱的網上的。

人們為了數學體系的完備，構建了數學基礎。

但是，假設一套數學基礎的理論真的與上層理論不兼容，人們是可以選擇為上層理論重建一套數學基礎的。

不必過分地，言必稱數學基礎。

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先佔個坑吧

問題一:承認不同的邏輯律就有不同的邏輯系統。我們常用就是承認排中，同一，無矛盾和充足理由。有些邏輯系統不承認排中律，例如直覺邏輯。

問題二:集合論的基礎還由命題邏輯和一階邏輯構成。

問題三:集合的交，並運算可以規約成命題邏輯的與，或運算。

在ZFC系統中現證明：

公理：

1.

2.

3.

4.

定理1：

證明如下：

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語言是用來描述事物的，但語言並不是事物的基礎。

同樣，我們用邏輯來描述數學，邏輯同樣也不比數學更為基礎，所以題主才會有這樣的疑問，數理邏輯為什麼看起來如此複雜，基礎的東西不都應該是簡潔的嗎？

因為它不是基礎啊。

你可以這樣理解，邏輯是一個相機，它對整個數學世界拍了張照，照片和整個數學世界很像，很容易混淆二者的區別。

而且，這個相機本身也是數學製造的。

所以題主對著照片追根溯源，自然找到了相機，才有種循環論證的感覺。

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。題主的問題還是蠻多的啊，做一個沒有邏輯的回答吧，不喜勿噴。

首先第一個研究的意義，怎麼說邏輯學是研究推理形式的，確實我們平時都在思維（而且有很多是有邏輯的思維），但是這種方式是虛無得，不確定得，我們想把有關邏輯這一塊的內容總結出來，成為大家共有的標準，就是古典的邏輯學。數理邏輯只是用數學符號和數學方法繼續研究，會更加的簡便。當然這只是歷史。具體說「有啥應用」「對人類進步有無貢獻」。我覺得題主可以去數學哲學那裡扯點皮。很多人認為數學是沒有用才存在。當然數理邏輯應用其實繁多，邏輯電路算是最簡單得了，別的還是大神來舉例。希望樓主不要只從「有用性」角度來分析問題，這是哲學問題，不是數理邏輯問題。

第二個問題，個人的觀點是這樣的：數理邏輯下面包含了四論（集合論，遞歸論，模型論，證明論）所以說那個更基礎是沒有意義的，都是數理邏輯得組成部分，只不過集合論在數學這邊用途更廣泛，一階邏輯模型可能是這本書主要講的，所以沒有定義集合論，只講了一階邏輯得性質。多數數學集合論有著直接的作用，所以被較多的重複定義了一遍。本身集合論也是需要公理化，這個描述也需要一階邏輯甚至其他理論的支撐的，也就不存在矛盾得問題。

第三個問題，前面已經有人解釋過了，枚舉法是不依賴數字的，你說有八種情況，只是方便論述，我說有a，b，c，d，e，f，d，h情況，不需要定義自然數，至於為啥只有這八種，是一階邏輯的無矛盾性保證的。排列組合和一一列舉是完全不同的東西。

第四個問題。。。如果你學的是「大學數學」，而不是數學專業，建議不要隨隨便便說出「布爾巴基咋滴咋滴」之類的話，把考試應付過去就行了，如果是數學系，數理邏輯是一個可選擇得方向，沒有數學家能夠精通全部的數學，這是人類作為一種生物的無奈和妥協。

歡迎指正，撕逼再見。

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你看的數理邏輯很可能直接使用了很多定理。

你可以整一本公理集合論或者證明論看看，那樣你可能就會覺得合理了。因為這樣的書一般都會從原始去定義很多東西，然後給公理，再推定理。

公理系統和元數學應該更符合你想知道的純粹的基礎的概念。不過對本科沒什麼幫助，對讀研貌似也沒幫助，做這個的人很少。

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集合論是基礎，數理邏輯並不是基礎。

另外，ZFC推出「數」和運算並不需要排列組合，說明你看了假的集合論

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