請問1/(n+1)+1/(n+2)+??+1/(n+n)=ln2 不用積分用放縮怎麼做？

01-03

就是用夾逼定理(可能也叫兩邊夾)證明。。

ln(1+1/(n+1))&<1/(n+1)&ln(1+1/n)= ln (n+1) - ln n

ln (2n) -ln (n) &> 1/(n+1)+1/(n+2)+??+1/(n+n) &> ln (2n+1) -ln (n+1)

$extup{ln}(1+x)=lim_{n o+infty}sum_{i=1}^{n}frac{(-1)^{i-1}}{i}x^iquad extup{let} x=1\ extup{ln}2=lim_{n o+infty}sum_{i=1}^{2n}frac{(-1)^{i-1}}{i}\=lim_{n o+infty}sum_{i=1}^nleft (frac{1}{2i-1}-frac{1}{2i} ight)\=lim_{n o+infty}sum_{i=1}^nleft (frac{1}{2i-1}+frac{1}{2i}-frac{1}{i} ight)\=lim_{n o+infty}left (sum_{i=1}^nleft (frac{1}{2i-1}+frac{1}{2i} ight)-sum_{i=1}^nfrac{1}{i} ight)\=lim_{n o+infty}sum_{i=n+1}^{2n}frac{1}{i}$

謝邀，樓上答案已經比較詳盡，在此不再贅述。

呃，寫完了才發現題主要求用放縮。不過辛辛苦苦寫的，辛辛苦苦拍的，辛辛苦苦上傳的……我一定要發，別攔我。（用歐拉常數來證）

用級數！