數學裡有哪些被認為是Folklore的命題，但是一直沒有人去證明的？

01-03

舉兩個比較近的代數幾何中的例子：
1.Deligne的著名工作Hodge to DeRham spectral sequence degenerate.有一個Differential graded algebra的版本，conjectured by Kontsevich and Soibelman,被稱為Hochschild to cyclic homology degeneration.顧名思義，這個命題是說Hochschild to cyclic homology spectral sequence 在E_1 page上degenerate.然後，很多人就把這個命題看成是一個定理了（很長的一段時間沒人去寫證明），各種文章里就開始用了，直到後來一個叫Dimitry Kaledin的童鞋才寫了兩篇文章，聲稱證明了這個」定理「。

2.一個看上去更自然，想當然都覺得是對的【定理】：X 是一個quasi compact（或者為了方便，noetherian) separated scheme over a field,考慮它的derived category, $D^b_{coh}(X)$ ,我們有如下：
X 是smooth的(in the usual sense aka Grothendieck)當且僅當 $D^b_{coh}(X)$ is homological smooth.
X 是proper 的當且僅當 $D^b_{coh}(X)$ 是proper的。

（這裡的homological smooth的意思是考慮 $D^b_{coh}(X)$ ,考慮對應的DG algebra,say A.那麼 A is homological smooth over k if $Ain D^b_{perf}(Aotimes_k A^{op})$ ,基本上可以理解成A 是有限生成 projective $Aotimes_kA^{op}$ -module.導出範疇proper的定義就是說裡面的complexes的項都是有限生成的。）
這個folklore最早應該是Kontsevich用不同的形式提出的，後來B.Toen在他的notes里寫了，沒給證明，由於確實看上去就應該是對的，所以一直就沒有人去寫證明，直到去年才有人寫出了一個比較滿意的證明（使用了DG-enhancement)，並且可以把命題推廣到stack,甚至ringed topoi上。
那麼數學裡（代數，幾何，分析，拓撲）還有哪些被大家認為是正確的，被一直使用著的，但在文獻中又找不到證明的」定理「呢？

謝邀。據說辛幾何中有一些基本性的問題沒有徹底解決，有一個東西大家都認為是正確的，然後有3個流派，都認為自己證明了這個東西，但是互相不服別的流派的證明。。

想請辛幾何的同學來詳細講講這個問題，不過又似乎牽扯到學術界的一些爭端。。

個人感覺數學裡面不少這樣的東西：熟知這個方向的人都覺得某個命題是對的，但是非常難找到有嚴格證明的參考文獻。當然有的確實是比較容易但證明寫出來很繁瑣，比如高階的Sobolev-Poincare不等式。有的是嚴格證明很難寫出來。比如位勢（capacity）和曲線族的模（modulus of curve family）（在某些條件下）的等價性有很多書中都嘗試寫過，但是嚴格地說我知道的幾個版本證明上都有些問題，但是大家都默認這個命題是對的。

還有一種，那就是某些大人物提出的東西，草草地給了個證明思路就算完事，直到後來才有人慢慢補上。比如拓撲學中有個Sullivan定理，大概講的就是嵌入映射的分解問題。這個定理其中一個重要的推論就是在 $n eq 4$ 的無邊界流形上我們都可以找到一個Lipschitz結構。但是Sullivan在他的書裡面根本沒有嚴格地證明，但是大家基本上都是把他的定理默認是對的，然後就當做一個黑箱使用。直到最後Tukia和Vaisala在證明擬共形映照從 $mathbb R^n$ 到 $mathbb R^{n+1}$ 的延拓問題的時候，另外寫了一篇文章嚴格證明了這個定理，順帶證明了他們需要的版本。

別的方向不清楚，但是偏微分方程裡面很多這種東西，因為偏微分方程的估計很繁瑣，所以大家只要覺得大概沒問題就懶得寫證明。我在博士期間的一篇論文就做了這樣一個證明，主要的結果是證明一個係數是跳躍的偏微分方程的正則性問題：如果一類方程它的係數是逐段光滑的，那麼在每一段它的正則性可以達到理論上的最高，雖然整體性做不到。雖然很多論文都大概認為這個結果是成立的，但是沒人去證，我導師說你去證一次，我就在那片論文裡面證明了一次。我處理的方程是一個非橢圓非拋物非雙曲的奇怪東西，但是我的處理方法可以很自然的推廣到正常的方程上。就是這樣。

不知道有沒有誰能說一下統計裡面的。。。感覺統計里似乎很多都沒有很嚴格的證明，但是大家用的都很開心

我遇到過的兩個例子：一是關於概型的代數德拉姆上同調的Kunneth公式；另一個關於rigid space的Kunneth公式。反正我找了很多文獻都找不到相關證明，而恰好我要做的東西需要用到上面兩個公式，可能數學家們都認為是顯然的，懶得證。沒辦法咯，我只能自己證明一遍。

「Peter Scholze很牛」

人人都說Scholze厲害得不得了，硬點是下一屆菲爾茲獎得主，這都快成公理了。然而他的工作世界上沒幾個人懂，老實說也沒幾個人care。大家也都是道聽途說，人云亦云。可見科學訓練也不見得能培養人獨立思考的能力。他到底哪兒厲害了？證明了什麼重要定理了沒有？講來講去就是他的那個perfectoid space。起的名字的確非常唬人，但這個玩意有什麼用？按花姐的話來說：「以後有什麼有趣的application或者implication？如果沒有的話，為什麼要去做呢？。。。多少也要有進一步的重要發展，去做它才有意義吧？」

這種過於抽象的理論是不會有很強的生命力的，甚至包括Grothendick的理論在內：現在的代數幾何已經有「回歸古典」的趨勢。真正好的數學是不會故弄玄虛的。像Caffarelli的工作，只用微積分和線性代數就能得到非常深刻的結果。這是真的硬碰硬，別人不服不行。

那麼「Scholze現象」產生的根源是什麼？我們知道一個國家需要一個領導人，「核心」，這樣可以團結人心，提振士氣。一門數學學科也如此。算術代數幾何傾全力打造這樣一個年輕的領袖，正是想對外界說明：這門學科是有未來的，充滿希望的，從而吸引優秀的年輕人加入。然而，這個盛名之下其實難副的領袖恰恰暴露了算術代數幾何已經陷入了深重的危機。大家入坑請謹慎！