拓撲學究竟是是一種什麼樣的學科？

01-03

Zero談數學——聊聊拓撲（1） - DivisionByZero - 知乎專欄

雖然（2）遙遙無期……但是題主可以先看著

說說個人感悟：

拓撲學其實就是研究分析學搞出來的。

請回想你初次學習數學分析時接觸的是實直線連續統，在那裡花了不少精力研究。

因為那時函數的定義域是取自實直線的，為了確保分析的基礎，必須花精力研究實直線。

後來要對分析學進行推廣（請注意數學研究中必做的事情，對現有理論進行完善推廣），就提出如果函數的定義域不是實直線，比如複數，其他的空間，我們現有的理論還適用嗎？對於這個問題我們顯然沒有底氣說一定適用！因為函數的定義域是我們沒見過的，不熟悉的。

基於此，我們就得系統的對它們進行研究，但我們又不可能對每一個都去研究，就抽象成一個普遍適用的來進行研究，即公理化！所以你會見到後來學過的序關係，這個是為了給任意空間中的集合定義有界用的，引入拓撲空間是為了定義開閉集（以前實直線上開閉區間的推廣），有了這兩樣就可以推廣以前的有界閉區間為緊集，然後再對分析學的三大基本定理（極值、介值、一致連續）以緊集進行推廣論證，還有其他的各種推廣，這樣我們就逐步建立了另一種抽象的，觀點更高的分析。

拓撲學研究幾何對象的內在的性質，具體來說就是連續形變下保持不變的性質。比如，一個皮球總是將空間分成兩部分，除非你把它戳破。再比如，平面上一根橡皮筋怎麼也繞不過一個釘子(即有一個洞的平面阻止曲線之間的連續變化)。

再換個角度，拓撲學主要討論空間的分類問題。比如，為什麼 $mathbb{R}$ 和 $mathbb{R}^2$ 不一樣，因為 $mathbb{R}$ 摳掉一個點就變成兩個不連通的部分了，而 $mathbb{R}^2$ 去掉一個點仍然是連通的。為什麼 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 不一樣，因為 $mathbb{R}^2$ 中摳掉一個點，繞這個點的橡皮筋縮不到一個點，但 $mathbb{R}^3$ 是可以的。

要區分不同的幾何對象或空間，就需要憑證，也就是說需要算出來一個數或一個可量化的東西，來比較它們是否一樣。因此，需要有拓撲不變數的概念。我們其實是熟悉一些拓撲不變數的。比如，維度，比如凸多面體的歐拉數: 2=頂點數-邊數+面數。一般的三角化曲面的歐拉數也是這麼定義的，光滑曲面的歐拉數也有歐拉數，和它的三角化曲面在數值上一樣。比如，凸多面體和球面的歐拉數都是2，凸多邊形和圓圈的歐拉數都是0，輪胎面的歐拉數為0。

因為涉及到計算，主要有兩個工具：代數拓撲或微分拓撲。代數拓撲的做法是直接將空間上的連續的問題變成代數上的計算問題，即(空間,連續映射) =&> (群,同態映射)。簡而言之，就是將不好計算的問題變成好計算的問題。比如，一個輪胎面有一個連通分量(0維"洞")，兩個獨立的閉環(1維"洞")，一個封閉的曲面(2維"洞")，這都是可以用代數拓撲中的同調代數算出來的。

神奇的是，不同維數的"洞"的個數的交錯和居然等於其歐拉數：1-2+1=0。這實際上是歐拉數的一般的定義方式。比如，球面有1個連通分量(0維"泂")，0個1維"洞"，1個2維"泂"，於是其歐拉數為1-0+1=2。圓圈有1個連通分量(0維"洞")，1個1維"洞"，於是其歐拉數為1-1=0。

註：輪胎面有一個連通分量，2個獨立的1維"洞"(紅線和藍線)，1個封閉曲面，因此歐拉數定義為1-2+1=0。另一方面，它的一種三角化曲面(右圖)，有32個頂點，96條邊，64個三角形，因此，這裡的歐拉數定義為32-96+64=0。兩種定義是一致的。

微分拓撲則是通過某種測量方式來測出空間上的一些局部感興趣的東西，然後，再拼湊成全局的拓撲性質。

比如，把一個輪胎面豎起來，即在它上面定義高度函數，則此高度函數有4個點是梯度為零的點，最上面那個極大點有0個遞增方向，最下面那個極小點有2個遞增方向，中間兩個點各有1個遞增方向，將具有不同遞增方向的點的個數以交錯的方式相加：1-2+1=0。這其實就是輪胎面的歐拉數。這個例子可推廣到一般的情況，也就是用一個好的測量方式能得到空間的拓撲性質。

總之，具體到拓撲學的各個研究領域，實際上就是找一種方法來算拓撲不變數，看一看哪些性質是不隨連續形變而變的。

上面完全是以幾何為背景，實際上拓撲學最初是從圖論引申出來的。還需要指出來的是，數和幾何是數學的兩面，或看待問題的兩種方式，很多情況下是可以相互轉化的。

放一些圖應該更好理解一些，如果有需求的話，我再整理。

約翰·凱萊曾經說過：拓撲學家是分不清咖啡杯和麵包圈的人。

A continous deformation(a type of homeomorphism) of a mug into a doughnut(torus) and back.
——General topology,J.L.kelley

這句話乍一看似乎很難理解，咖啡杯和麵包圈兩個看似毫無關聯的東西怎麼通過拓撲學聯繫起來的？這裡我們不妨賣個關子，先由拓撲學的另一個名字——「橡皮幾何學」入手。

而在討論「橡皮幾何學」前，不妨先明確一下什麼是幾何？我們參照Klein在1872年於愛爾蘭根綱領（Erlanger Programme）中所述：幾何是研究在某種運動群下不變的性質。喵兒喲，看到這句話簡直要按右上角紅叉把這篇文章關掉了是把。別急別急，我這就舉兩個栗子先：

我們以「三角形全等」為例：

在歐氏幾何中

三角形全等意味著三條邊對應相等。即經過若干變換後，三角形三條邊的長度不變。

在仿射幾何中

三角形全等意味著三個角對應相等。即經過若干變換後，三角形三個角的角度不變。

有了上面兩個小栗子，相信已經可以對「幾何是研究在某種運動群下不變的性質。」這句話有一些初步的認識了。那麼拓撲學又是在什麼變換下進行研究？又能夠發現其中怎樣「不變的性質」呢？

在這裡先給出第一個問題的結論：「拓撲學研究同胚變換下不變的性質。」

所謂同胚，百度百科中[1]給出的定義是：

在拓撲學中，兩個流形，如果可以通過彎曲、延展、剪切(只要最終完全沿著當初剪開的縫隙再重新粘貼起來)等操作把其中一個變為另一個，則認為兩者是同胚的。

在這裡為了更加直觀地感受同胚變換，我們可以將其與揉捏橡皮泥加以類比。

同胚變換與隨意欺負百變怪之間的距離只有兩條簡單的規則：

不允許剪切。
不允許粘合。

如果百變怪A、B能在遵守上述遊戲規則的前提下，通過連續變換相互轉化，我們便認為他們是同一隻百變怪。這也就是拓撲學家認為咖啡杯和麵包圈沒有差別，卻能清晰分辨直線和圓的原因。那麼直線和圓又有什麼樣本質上的區別呢？這裡我們就需要介紹拓撲不變數（Topological invariant）的概念，由於篇幅有限，我們先用兩個例子簡單的體會一下其中一個經典的拓撲不變數——歐拉示性數（Euler characteristic）

植樹問題
多面體分類問題

（喵帕斯持續施工中）

[1] 同胚_百度百科