什麼是deformation quantization?
形變是一種特定結構在參數族變化下的相應的結構變化。
經典的比如Kodaira-Spencer的復結構的形變理論。再比如結合代數( 或者更一般的講 範疇)的形變理論,考慮乘積在什麼樣的形變下還是一個結合代數,或者特別的Possion流形的形變理論。
而量子化是一個經典物理理論過度到量子物理的過程。比如單純從物理的角度看,量子力學和量子場論都是量子化。但是對數學家來說,物理上有些事情還講不太清楚,所以數學上的量子化一般指這些過程具體解釋成數學是什麼意思。
比如幾何量子化,就是物理上的正則量子化,是一種方案,這個方案的基本想法是考慮Heisenberg代數的表示。而另一種方案,就是Moyal最先在 上考慮的方案。他的出發點是從經典相空間的函數空間,因為可以認為相空間上的Possion括弧實際上是量子力學的一個影子。所以他考慮對
作為Possion流形做形變,希望將通常的結合乘積形變成Star Product,來得到量子力學的括弧(對易子)。
具體來說就是,對Possion流形 , 希望找到一個滿足如下條件的Star Product
;
.
而Kontsevich則將這個想法做到了一般的Possion流形上,並證明了Possion流形上Star Product的存在性。此後,一般人們把這套方法叫做Possion流形的形變數子化。實際上,這個技術當然也可以拿到Heisenberg代數或者一般的李代數(或者對應的包絡代數)上來做,這就是 @趙慧君 提到了方法。所以也有所謂的形變和量子化是一回事的說法。
更加具體來說,如果有一個形變問題,可以找到一個 代數(比如DGLA),就可以考慮相應的形變函子。然後通過研究這個形變函子的光滑性,障礙等等,可以提取形變關於這個形變問題的存在性的信息。
比如復結構的形變,考慮的是Kodaira-Spencer代數 .
比如結合代數,可以考慮Hochschild cohomology對應的Bar complex.
而對Possion流形,我們有兩個形變問題,第一個是possion結構的形變;第二個是Star Product的形變。於是考慮相應的兩個DGLA,第一個是 , 第二個是
是多微分運算元的DGLA。
Kontsevich著名的formality定理告訴我們 和
是
擬同構的。而形變理論的基本定理告訴我們
擬同構的DGLA給出了同構的形變函子。所以
和
給出的形變函子是同構的。於是Possion結構的形變存在等價於Star Product的存在性。而Possion結構的形變的存在性可以被簡單的證明。於是證明了Star Product存在。這就是這套技術的大致框架。
這套技術和思想有很深刻的發展和應用,比如在表示論上的,還有在數學物理本身的,還有辛幾何上的(比如用在證明quartic surfaces的HMS中。也見 @李吟 的一些科普)
本人是做這個的(如果是個數學名詞的話),請細化該問題,否則我不知道怎麼回答
留坑待填Sorry本人拖延症晚期,前一陣確實比較忙,所以拖了這麼久才來填坑。。。
填坑第一彈:
何為quantization:本人對物理一直一知半解,就不胡說八道了。單說數學,如果了解李代數(或更廣泛一點的Kac-Moody代數)的universial enveloping algebra(一致包絡代數?關於對應的漢語術語不是十分確定,求輕拍)和quantum group(量子群)的定義的話,這就是最典型也最經典的quantization。quantum group的定義中有參數q(quantization的第一個字母,Lusztig喜歡用l,不知道為什麼),當q取1時,對應的quantum group就是universial enveloping algebra,而quantum group考慮的是q取任意值,或者說不那麼特殊的一些值(所謂特殊,這裡指0,1和單位根)時這個代數的性質(順路:量子群不是群,是個代數)。何為deformation:這個詞的中文翻譯一般大家默認是「形變」。以下從一個做代數幾何的人那裡聽說:幾何上的deformation是指,對給定的一個對象(比如說是個代數A),考慮所謂的微小形變(比如A[e],此處的e數學上更喜歡用epsilon,原諒我懶。。。),研究微小形變的性質,然後如果需要原來的對象的性質只需把形變取成零(研究A[e]然後讓e=0就變回了A)。代數上說的deformation跟quantization基本是一個意思,就是加個參數q=1時就回到了經典的情況。於是大家可以想像,對各種各樣的代數對象,其實都可以做deformation的。那麼做deformation意義何在?這個問題憑我一個弱弱的grad stud是不好亂說的,轉述我老闆說過的一句話:(我們是做表示論的)某些quantization有比較好的表示方面的性質,比如說描述所以的不可約表示是可以完成的任務,而quantization本身一定比經典對象要豐富很多,因此描述quantization的表示給我們提供了一個可以完成的同時結果又很豐富的任務,我們要好好完成這個任務。最後,如果有人對嚴格定義有興趣,歡迎參考這篇notes第一節(不一定是最好的reference,只是我最順手能找到的一個,原諒我懶。。。)http://www.northeastern.edu/iloseu/Yi_1_14.pdf如有需要,可更新第二彈搬一篇
http://zx31415.wordpress.com/2014/07/24/quantization-as-deformation/呃。。。需要梯子推薦閱讀:
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