什麼是deformation quantization？

01-03

形變是一種特定結構在參數族變化下的相應的結構變化。

經典的比如Kodaira-Spencer的復結構的形變理論。再比如結合代數（或者更一般的講 $A_{infty}$ 範疇）的形變理論，考慮乘積在什麼樣的形變下還是一個結合代數，或者特別的Possion流形的形變理論。

而量子化是一個經典物理理論過度到量子物理的過程。比如單純從物理的角度看，量子力學和量子場論都是量子化。但是對數學家來說，物理上有些事情還講不太清楚，所以數學上的量子化一般指這些過程具體解釋成數學是什麼意思。

比如幾何量子化，就是物理上的正則量子化，是一種方案，這個方案的基本想法是考慮Heisenberg代數的表示。而另一種方案，就是Moyal最先在 $mathbb{R}^{2n}$ 上考慮的方案。他的出發點是從經典相空間的函數空間，因為可以認為相空間上的Possion括弧實際上是量子力學的一個影子。所以他考慮對 $mathbb{R}^{2n}$ 作為Possion流形做形變，希望將通常的結合乘積形變成Star Product，來得到量子力學的括弧(對易子)。

具體來說就是，對Possion流形 $M, A=C^{infty}(M),$ ${-,-}: A imes A ightarrow A$ , 希望找到一個滿足如下條件的Star Product $- star -: A[[h]] imes A[[h]] ightarrow A[[h]]$

$fstar g=fg+sum_{k=1 }h^kB_k(f,g)$ ；

$[f,g]_h=fstar g-gstar f=ih{f,g}+O(h^2)$ .

而Kontsevich則將這個想法做到了一般的Possion流形上，並證明了Possion流形上Star Product的存在性。此後，一般人們把這套方法叫做Possion流形的形變數子化。實際上，這個技術當然也可以拿到Heisenberg代數或者一般的李代數(或者對應的包絡代數)上來做，這就是 @趙慧君提到了方法。所以也有所謂的形變和量子化是一回事的說法。

更加具體來說，如果有一個形變問題，可以找到一個 $L_{infty}$ 代數（比如DGLA），就可以考慮相應的形變函子。然後通過研究這個形變函子的光滑性，障礙等等，可以提取形變關於這個形變問題的存在性的信息。

比如復結構的形變，考慮的是Kodaira-Spencer代數 $KS(M)=oplus_i^{dim M}mathcal{A}^{0,*}(T_M)$ .

比如結合代數，可以考慮Hochschild cohomology對應的Bar complex.

而對Possion流形，我們有兩個形變問題，第一個是possion結構的形變；第二個是Star Product的形變。於是考慮相應的兩個DGLA，第一個是 $T_{poly}=wedge T_M[-1]$ , 第二個是 $D_{poly}$ 是多微分運算元的DGLA。

Kontsevich著名的formality定理告訴我們 $T_{poly}$ 和 $D_{poly}$ 是 $L_{infty}$ 擬同構的。而形變理論的基本定理告訴我們 $L_{infty}$ 擬同構的DGLA給出了同構的形變函子。所以 $T_{poly}$ 和 $D_{poly}$ 給出的形變函子是同構的。於是Possion結構的形變存在等價於Star Product的存在性。而Possion結構的形變的存在性可以被簡單的證明。於是證明了Star Product存在。這就是這套技術的大致框架。

這套技術和思想有很深刻的發展和應用，比如在表示論上的，還有在數學物理本身的，還有辛幾何上的(比如用在證明quartic surfaces的HMS中。也見 @李吟的一些科普)

本人是做這個的（如果是個數學名詞的話），請細化該問題，否則我不知道怎麼回答

留坑待填

Sorry本人拖延症晚期，前一陣確實比較忙，所以拖了這麼久才來填坑。。。

填坑第一彈：

何為quantization：本人對物理一直一知半解，就不胡說八道了。單說數學，如果了解李代數（或更廣泛一點的Kac-Moody代數）的universial enveloping algebra（一致包絡代數？關於對應的漢語術語不是十分確定，求輕拍）和quantum group（量子群）的定義的話，這就是最典型也最經典的quantization。quantum group的定義中有參數q（quantization的第一個字母，Lusztig喜歡用l，不知道為什麼），當q取1時，對應的quantum group就是universial enveloping algebra，而quantum group考慮的是q取任意值，或者說不那麼特殊的一些值（所謂特殊，這裡指0,1和單位根）時這個代數的性質（順路：量子群不是群，是個代數）。

何為deformation：這個詞的中文翻譯一般大家默認是「形變」。以下從一個做代數幾何的人那裡聽說：幾何上的deformation是指，對給定的一個對象（比如說是個代數A），考慮所謂的微小形變（比如A[e]，此處的e數學上更喜歡用epsilon，原諒我懶。。。），研究微小形變的性質，然後如果需要原來的對象的性質只需把形變取成零（研究A[e]然後讓e=0就變回了A）。

代數上說的deformation跟quantization基本是一個意思，就是加個參數q=1時就回到了經典的情況。於是大家可以想像，對各種各樣的代數對象，其實都可以做deformation的。那麼做deformation意義何在？這個問題憑我一個弱弱的grad stud是不好亂說的，轉述我老闆說過的一句話：（我們是做表示論的）某些quantization有比較好的表示方面的性質，比如說描述所以的不可約表示是可以完成的任務，而quantization本身一定比經典對象要豐富很多，因此描述quantization的表示給我們提供了一個可以完成的同時結果又很豐富的任務，我們要好好完成這個任務。

最後，如果有人對嚴格定義有興趣，歡迎參考這篇notes第一節（不一定是最好的reference，只是我最順手能找到的一個，原諒我懶。。。）

http://www.northeastern.edu/iloseu/Yi_1_14.pdf

如有需要，可更新第二彈

搬一篇

http://zx31415.wordpress.com/2014/07/24/quantization-as-deformation/

呃。。。需要梯子