為什麼費馬大定理表述起來這麼簡單，證明卻這麼複雜？

01-03

整數，乘方，按說是很直觀的邏輯，定理本身表達也非常簡單，
看了《費馬大定理》一書，很震撼，小時候上課聽說的猜想，居然變成了定理，
居然有這麼漫長曲折的過程
疑惑的是，按照直覺和對數學粗淺的經驗，簡單的問題也應該有簡單的答案，

日常實踐的經驗是殺雞不用牛刀，物理學上的經驗是複雜的現象背後公式卻異常簡單，
為什麼數學上這麼簡單易懂的命題要用到這麼恐怖複雜的證明？
是不是因為人類對整數和乘方的定義，或者因為無限的定義，或者數學本質就是如此，還是因為別的什麼深層原因，造成簡單命題需要複雜證明？
或者說，看似簡單的費馬大定理，本質複雜在何處？
能從宏觀和常識上直觀的解釋嗎？
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補充一下，按說數學的所有內容既然都基於幾個公理，所以一切定理其實都應該是那幾個公理的疊加，那麼整個證明過程，應該是個等價變換的過程，一堆公理的疊加（也就是證明過程）=定理結論，那麼費馬大定理看著簡單，但應該蘊含了某種東西，等價於複雜的證明過程。
或者說，定理簡單的形式中，必定在某處藏有巨大的複雜性。這個等式中，我想知道複雜性蘊藏著何處？

5.30.16

請大家至少讀完我的答案（並且最好做出習題:P）再去替高票答案說話/反駁我。難得認認真真寫篇科普，麻煩尊重一下勞動成果。底下無質量的留言我不會再回了。

實在懶得讀的話：

1. 你們要的一句話直觀：乘法乘方很簡單，對應的事實是驗證一組數x, y, z滿不滿足x^n+y^n=z^n很簡單。

自然數有無窮多個，費馬大定理直覺理解難在驗證無窮多種排列組合的情況。或者說，怎麼能斷定對所有的數組都不可能，因為比如哪怕驗證了一千萬以內的所有xyz, 也不代表一千萬以外不存在一組數對某個大n成立。

2. 上面是一個很粗略的概括，力求能讓外行理解。費馬大定理從技術上難證的原因是理論數學的範疇，真感興趣的人請從大學基礎課學起。線性代數（包括向量空間相關）是數學專業的大一基礎課，離費馬大定理的證明大概至少有四五年學業的距離。用線性代數解釋費馬大定理類似於用生活常識研究相對論。高票答案給人一種「自己懂了高深數學」的錯覺，實際上那不怎麼高深，邏輯上也不通。至於真正的數學研究大概是什麼樣的，我下面有寫。

3. 這個問題完全是數學的。所以我覺得比起聽一位建築師講數學，你們更應該信任我一個純數學專業研究生的話，而不是出於惰性選擇好像更通俗易懂的解釋。數學本來就不是非常容易的，哪怕是讀科普也需要一定的思維含量。

4. 有些話出於禮貌沒直說，但意思應該很明白了。再不懂的就面壁去吧。

11.7.15

一年後偶然看到這個答案，再次被整個問題下如此濃郁的非min專ke業氣息折服。所以我決定好好答一下。

我希望人們看了我的答案後能夠忘了前排那個很多贊但是很有誤導性的答案。

純數學問題大多不能用宏觀和常識來直觀解釋，因為純數學和宏觀和常識基本沒有關係。

因為目標讀者是非專業人士，所以我會全用中文（當然除了人名），盡量不用太多專業名詞，雖然有一些是不可避免的。

最後我對數論和邏輯的了解程度都只是本科高年級或以上水平，可能有錯漏，觀點一定不是最好的。這只是篇科普。

1 定理本身

費馬最後定理（費馬大定理）本身是一大問題的特殊情況：整係數多項式的整數零點的性質問題（哪些多項式有零點，有多少，有沒有系統的辦法給出所有零點等等）。

我們將只考慮整數解的整係數多項式方程叫做丟番圖方程。在數理邏輯中丟番圖方程的解叫做丟番圖集。丟番圖集都是遞歸可枚舉的，遞歸可枚舉意味著它是部分可決定的，簡單地說，給出一組值，你可以很容易地判斷它們是不是某個特定次數的費馬等式的解（這也對應了乘法乘方之類的運算很簡單的事實），但是不存在一個演算法能夠「有效地」（在有限步內結束）判斷一個多項式有沒有解（如果一定要直觀理解的話，自然數有無窮多個，所以將所有可能的情況驗算下來需要無窮的時間）。

數學可以幫助我們完整地分析某些多項式。一個例子：x^2+y^2=z^2的所有正整數解都是x=u^2-v^2, y=2uv, z=u^2+v^2的形式，其中假設xyz沒有公約數，uv是互質的正整數，uv不全是奇數。證明留作練習。Wiles做到的是給出了所有次數的費馬方程的解的特徵。

此外我想再引一段stackexchange上的答案，為方便起見我隨手翻譯了一下：

It is a common false hunch that shortly-stated theorems should have short proofs. This hunch is easily falsified by employing basic results in logic. For any formal system that has nontrivial power (e.g. Peano arithmetic) there is no recursive algorithm that decides theoremhood. Now if there existed a recursive bound L(n) L(n) on the length of proofs of a statement of length n,n, then we could test for theoremhood simply be enumerating and testing all possible proofs of length ≤L(n). Hence there can be no such recursive bound on the length of proofs. It follows that there exist short stated theorems with proofs so long that they are probably not amenable to human comprehension (these results date back to Goedel"s 1936 paper on speedup theorems).
人們時常錯誤地認為一個有簡短表述的定理一定有簡短的證明。只要運用一些數理邏輯中的基本結論就可以輕易看出這種認識是錯的。一個形式化公理系統如果有不平凡的階數（？）（比如Peano算術），那麼不存在遞歸的演算法去驗證一個猜想是否是定理。假設對於一個長度為n的表述，證明的長度有遞歸上界L(n)的話，那麼排序並驗證所有長度小於等於L(n)的可能證明就給出了一個驗證猜想的演算法。所以證明的長度並沒有遞歸上界。……

費馬最後定理還是ABC猜想的一個直接推論（我們先不去管那個沒有人看得懂的望月新一的ABC證明）。可能有很多非專業人士對數學證明產生的認識還停留在Eureka!的階段。然而實際上一個大猜想的證明通常需要很多人很多年的努力，定理與定理的關係更跟向量空間沒任何關係。向量空間是一類有明確定義的代數對象，是field的module. 首先所有定理就不構成一個域。任何一個學過線性代數的人都應該認識到這種說法有多麼不嚴謹。更重要的是沒有人會回溯到最基本的那些（ZFC之類）公理來去證定理（也許除非他/她本身就是做數理邏輯的）。

我想再大概翻譯一段陶哲軒寫給廣大數學愛好者的博文：

…大問題的解一般是按類似如下的步驟產生的（通常需要若干數學家以及幾年甚至幾十年的時間，很多中間的結論自身也是非常有意義的可發表的成果）

從主要問題X中分離出一個簡單特例x.

用方法A解決特例x.

試圖用方法A解決主要問題X.

失敗，但是我們發現了方法A還能解決X的更多特例x", x"".

我們最終發現，方法A可行的核心前提是性質P, x, x", x""都具有性質P，這解釋了我們目前的進展。

我們猜想，X的所有個例都具有性質P.

我們發現了這個猜想的一系列反例y, y", y""…所以我們要麼需要改進A使得它不依賴於性質P, 要麼我們需要一些另外的方法。

考慮這些反例中最簡單的一個，y. 試圖對y證明X. 同時試圖研究A能不能脫離P成立。

發現若干A行不通的例子，每個例子都可以回溯到因為是不具有性質P. 放棄改進A.

意識到特例y與另外某個數學領域內的問題z相關或類似。去閱讀關於z的文獻，或是問該領域內的專家關於問題z的最新進展。

我們知道了人們用某種方法B成功的解決了z, 於是我們試圖調整B來解決y.

付出了很多努力之後，改進版B"成功地解決了y.

重複以上步驟1-12，其中A替換為B"（當然，具體情況可能會有所不同）。繼續做同樣的事情若干年，直到所有典型特例都可以被某種方法解決。

最終，我們有了一系列方法可以給出X的部分結論，每種方法都有各自的強項和弱點。我們積累了足夠多的直觀印象，所以能夠很快判斷在某種情況下某種方法是否有效。

開始整合併簡化這些方法，尋找新的典型特例，並且/或者尋找一個統一且清晰的大框架，使得之前的方法觀點結論等都來著這個框架的某個角度。

最終我們發現有一系列方法A^*（其中A是我們發現的第一個方法），簡略地說，它們能夠解決所有具有性質P^*的情況（P^*是近代對P的推廣）。還有另外一組方法B^*能夠解決具有性質Q^*的情況。

根據之前的所有工作，所有已知的典型特例都具有P^*或Q^*. 提出猜想C：所有X的情況都具有P^*或Q^*.

驗證問題X確實是猜想C的推論。我們極大地簡化了問題X！

重複步驟1-18，問題X被猜想C所取代。（同樣的，發生的事情會有所不同。）整個步驟可能會重複若干遍。

最終，我們將問題化簡到了最本質的形式：有一個關鍵猜想K，（至少人們相信）K決定了方法A^*, B^*等等是可用的。K成立則C成立則X成立。

一個突破：人們發現了一個新方法Z來解決K的一個特例。

結局：人們利用之前的直覺、經驗、結果去快速地推廣方法Z，去證明K, C, 最終解決X.

我們解決X的過程中發展的技術被用在領域內的相關問題上。現在X有一個天然的後繼問題X", 現有的技術無法解決…回到步驟1.

這才是數學證明。

3 misc.

多項式零點的問題通常都很難。費馬最後定理之所以著名更多的不是因為人們很早以前就意識到了這一類多項式有多麼重大的意義之類的，而是因為有費馬這個坑貨。

除此之外這世界上有太多表述很簡單然而我們還不能給出一個確切正誤判斷的陳述，比如pi+e是不是無理數，比如（！！）pi^pi^pi^pi是不是整數，比如有沒有無窮多個質數是x^2+64的形式。我們知道的東西很少很少。

4 拓展閱讀

http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/mazur1.pdf

題主有沒有看過Zagier"s One Sentence Proof? （雖然不是證明last theorem

在方法論和認識論上都很難，大道至簡。還有個更樸素的猜想角谷猜想_百度百科，幾乎沒有方法簡化或者轉化為已知問題來解答。

回答1、越簡單的表述，反而顯得我們對這個問題了解得不夠深入，以致於不能用理論來表述這個問題，就好像在微積分沒用到嚴格分析語言之前，我們要表述一個數列的極限，似乎很不容易，更別提嚴格的證明連續、可導之類了。現在看來，我們用到的數學還算是自洽的，在這個體系內做事那麼必須這麼定義，否則以前不是問題的問題又成了問題，或者還會更多更複雜。數學本質就是抽象和邏輯推理，對問題的抽象確實很重要。

2、沒有更深層的原因，就是連問題都不能嚴格表述，那麼就表示我們對這個問題完全不了解。

3、本質複雜在怎麼把這個問題抽象到一個我們已知的數學體系中來，或者找尋新的方法來表述它。比如在解決這個問題的過程中誕生了，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅瓦理論和赫克代數等理論。

4.直觀上解釋，臣妾做不到啊！留待這個方向的人來解釋吧。抽象代數我學得很差，群表示論就更差了，而模表示似乎是轉化問題的首要方法，所以無能為力。

其實你可以構造出無數的這種簡單問題，但是最後只有費馬大定理等少數幾個定理是有顯著意義的。只是問題表述上簡單而已。它說的是不存在整數解，其實這個結論是一個很複雜的結論，只不過用語言來說只有一句話；但是說1+1=2也是一句話，但這跟費馬定理蘊含的信息量有很大差距。

好吧，請教了一名牛逼的科學家，給我這樣的答案，讓我理解了大概

我整理了一下，要點如下：

他斷言，

世界上一切的複雜都是通過簡單的原理疊代而成的
簡單和複雜本來就是一致的

對於公理系統，

公理相互獨立，構成向量空間，公理之間的有序或無序組合構成了定理以及整個理論體系

（命題）要麼屬於公理空間，要麼不屬於

所有定理都在公理的「向量空間」里，只不過有些定理投影到各個公理上，分量表述比較複雜
其實定理本身就是那麼一個向量點而已，存在簡單，但是存在的樣式就不見得簡單了
這幾個東西（不同的定理）本來就是分頭行動的，雖然也有聯繫
比較難推理的定理，只是說獨立性比較強，但還是沒脫離公理體系
只不過人們把一些東西定為公理/出發點，那（其餘的定理）自然離有些站點近，有些站點遠。換過來說，如果幾千年前人們大腦特異，定義費馬猜想為公理，讓你證明兩點只有一條直線，（也會很複雜）說貴州偏遠，是因為把北京當首都了，其實地球表面不存在中心，你定義了，就發生了區別

對於數學

數學的公理很有限，而且是人為的造成很有限，因為大家都想讓數學變得盡量自然，不要讓有限的經驗結論作為大前提
（所以）要把內容歸於既定的直觀公理，就得複雜了

最後，他說

複雜性就在於，人們對高階乘方之類的東西沒有足夠的形象認識

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這就是我想要的答案。他告訴我公理的向量空間的說法，來自研究生的唯物辯證法課。。。讓我這個科學哲學愛好者淚流滿面。。。。

於是腦中出現了一張科幻電影里那樣閃閃發光、漂浮在空中的知識節點組成的大網，互相聯繫，複雜無比

有很多節點似曾相識，有公理，有定理，但聯通的路徑各不相同，而且有些部分還相互獨立，有些連接還沒打通

大網會自由的變換形式，但本質的關係並不改變，所有的規律都永恆且統一且唯一的存在於大網中。

只是當我們從不同的角度，不同的切面去觀察，看到不同的樣貌。

對我這樣的業餘人士，這樣的直觀理解就夠了。

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後來我又搜了一下，向量空間_百度百科

數學家還真是厲害啊，原來向量空間一直就是個牛逼的方法

在現代數學中，「向量」的概念不僅限於此，符合下列公理的任何數學對象都可被當作向量處理。譬如，實係數多項式的集合在定義適當的運算後構成向量空間，在代數上處理是方便的。單變元實函數的集合在定義適當的運算後，也構成向量空間，研究此類函數向量空間的數學分支稱為泛函分析。

你真的以為數學屆努力了幾百年才搞明白的一個問題，知乎里的幾段話就能讓你認識它？

還有說什麼大道至簡，複雜的東西都是簡單的構成的，說這類話的人，簡直浪費你自己的時間，因為這本身就是一句廢話，沒有任何意義。如果你去問一個一聲，胳膊斷了怎麼接，他告訴你，世界萬物都是有原子分子構成，把他們用正確的方式湊在一起，自然就接住了。這句話有問題嗎？沒問題。但是這是一句廢話。

所以，面對自己不懂得東西，我們要保持敬畏的態度，不要什麼問題都自己衝上去給別人一番解釋，因為你不懂，你的解釋只代表你自己對這個問題的理解。

嚴謹負責，實事求是，知之為知之不知為不知，謹於言而慎於行，我想這不僅是我們對待學術研究應該有的態度，也是對數百年來那些孜孜不倦的探索人類文明的前輩們的尊敬。

費馬大定理不管你如何說它簡單，最終，你仍然無法用簡單的方法成功證明它。

最終能證明費馬大定理還是如天書一樣浩瀚繁瑣的過程。

把這件事刻意簡單化的公知，有本事自己證明一下，被總是雞湯！

1、對於一個目測「簡單」的問題是否必然存在簡單的解法？

2、存在簡單解法的問題定義為「簡單問題」。

問題1，沒有這方面的判定定理

else

樓主的問題不要回答了。

你要知道不是所用的東西都是可以用數學歸納法搞的，