怎樣理解矢量？如何理解高斯定理和斯托克斯定理？

01-03

最近在學習電磁場，線性代數忘了很多。感覺很抽象。散度和旋度認識感覺不夠深。靜電場是有源無旋，那有源有旋是個什麼樣的場？有人說中國工程水平不高，因為我們大學生的數學工具不夠先進，有矢量不用用標量，我希望能深入學習一下矢量。先謝謝諸位大神了！

知乎上關於這部分內容的問題不少……

旋度：環量的面密度

散度：通量的體密度

電磁學理解到這裡就夠了，剩下的就是要熟悉哈密頓運算元的計算技巧，刷刷題。感覺這部分內容高數里講的不系統，後面的課程又不會系統的講。可以去看一下任何一本「電磁場與電磁波」教材中名為「矢量分析」的章節，或者費曼物理學講義第二卷第一章。

試著回答一下，散度和旋度還有梯度是數學物理裡面非常容易把人繞暈的三個概念。

梯度是表徵標量場中遞增方向最快的方向的，比方說看地圖中等高線，給定任何一點，最陡峭的地方就是梯度的方向。

散度和旋度是用來表徵矢量場的特點的，一個矢量場只有同時知道散度和旋度才能確定它的性質，我記得這好像是由唯一性定理決定的。

散度是用來表示場分布有沒有源的，因此要用到體積分和封閉的面積分概念，靜電荷的電場線分布是這樣一個例子，不過這裡要區分一下，就是散度表示的是局部微分的概念，因此只有電荷所在位置才能不為0，但我們通常說有源場或者從體積分不為0來說，則是指場的整體空間分布了。

旋度顧名思義看某點處造成的旋轉效果，要用到面積分和封閉的線積分概念，一根穩恆電流線周圍的場分布看起來是一個渦旋場，在電流分布的線上，場的旋度不為0，在外面的場旋度為0，但我們總是說這個場分布是個有旋無源場。

以上算作拋磚引玉，請大牛批評指正。

推薦參考資料鏈接：

1.中文維基百科

梯度

散度

旋度

2.《向量微積分》一書

該書把矢量算符的運算關係講解的清晰明了

向量微積分 (豆瓣)

上書雖然給出了三種正交曲線坐標系的梯度旋度和散度表達式，最好再參考一下相關的一般推導方法，比如一般講電磁場的書後面的附錄，郭碩鴻《電動力學》附錄，《導波場論》一書的附錄或者《Methematical methods for physicsist, a concise introduction》by Tai L. Chow第一章內容Vector and tensor analysis。其實任何一本講解矢量或張量分析的書都會提到這些，另外就是從微分幾何的角度來理解，因為在那裡坐標可以不限於正交而只需要對偶並引入度規張量了。

嘗試說一下我的理解。

矢量可以簡單地理解為一個有長度的箭頭，或者有方向的線段。但這是直觀地理解，不太有啟發性。

關於矢量的本質定義，可以把矢量理解為向量空間中的元素（向量空間就比向量本身更加真實，因為它有嚴格的公理化的定義）。

現在來看矢量場，我們只去考察三維空間，就把矢量場理解為R3的切叢的section吧！

但事實上，物理學家總喜歡把各種各樣的東西看做矢量場；這樣做是有道理的，畢竟R3太優美了。R3的0，1，2，3微分形式分別（自然）同構於R,R3,R3,R。於是R3的1，2形式就可以看成向量了。

定義從k形式到k+1形式的映射d: adx_I→da∧dx_I. 這樣我們就把梯度，旋度，散度統一起來了呢（梯度，旋度，散度分別對應變數為0，1，2形式的d映射，驗證雖然樸素，但是很有意思）！

既然提到這裡，我們就又有了更好玩的統一了。我們所熟知的三維向量的點乘和叉乘又可以統一起來，分別對應於R3的1形式∧2形式，1形式∧1形式。

於是就這樣看待斯托克斯定理:

流形的邊界上k形式w的積分等於該區域上k+1形式dw的積分。

他是一維的微積分基本定理的推廣。

篇幅所限，有點兒亂，就當成個小說看吧-_-||

不會各種編輯器。

重點是旋度吧，散度很好理解，但散度和旋度其實都是高等數學裡的導數，散度就是沿矢量線的方向求導，旋度呢？就是沿垂直於矢量線的方向求導！說好理解一點就是這樣！

看完張量分析，你這一切全都懂了。

不去研究張量很難講清楚這一切。張量又因為太抽象沒法一兩句話講清楚。

直接說結論：

標量是零階張量，矢量是一階張量，梯度是張量場中哈密頓運算元（就是那個到處都有的倒三角）與張量的張量乘乘積，散度是哈密頓運算元與張量的點乘乘積，分左邊點乘和右邊點乘，散度是哈密頓運算元與張量的叉乘乘積，也分左右。

向量微積分讀熟就好了,線代其實用的很少,只要會簡單矩陣就好惹

沒記錯是路徑積分啊，怎麼就線代了…

看費曼物理講義，二卷，有詳解，神簡單，告訴你咋推導出來的，根本不用記就融在你的血液里