線性代數中講多項式的意義何在？

01-03

證Jordan的時候用到k[x]是PID……如果你打洞證Jordan當我沒說……

因為Jordan標準型實際上是在講域上的一元多項式環的有限生成模的結構，尤其是如果你們的書講了λ矩陣，就知道空間的分解與多項式的分解有著密切的聯繫。

謝邀，這是一個非常不錯的問題，值得回答一下。

在結尾我放了一份講義，希望對你有更多的幫助。

我接下來說的非常粗淺，但是重要的結論都已經點到，希望它可以幫助你串起來一些課本上的思路；但如果你對線性代數一無所知，估計就很難看懂了。

《線性代數》這門課有一個核心的主線問題：對矩陣進行標準分解——這個問題的結論基本上是所有線性代數教材的終點：Jordan標準型定理。而「多項式」在推進該定理證明的過程中發揮了重要作用。

如果對這個主線問題進行簡單的回溯：它最初起源於解線性方程組——但從空間與映射的角度講，一個線性方程組就相當於一個線性映射 $T(x)=b$ ；而從矩陣的角度看，在給定空間基底的情況下，一個映射又相當於一個矩陣： $Ax=b$ ；

對於同一個映射，這個矩陣A是依賴於基底選擇的；換用不同的基底，同一個映射將對應不同的兩個矩陣，但他們之間是相似的： $P^{-1}AP=B$ ,這裡的 $P$ 就是兩組基之間的轉換矩陣，它是可逆的——這個時候，你就會發現我們的這個映射變成了： $Bcdot(Px)=(Pb)$ ——之所以加括弧，是希望你把括弧里的元素看成一部分。

換言之，我們的問題實際上變成了：你能否找到一個A的相似矩陣B，使得B的形式非常簡潔——這樣我們就可以比較容易地解得 $Bcdot(Px)=(Pb)$ ，中的 $Px$ ，進而了解 $x$ 的真實結構。

很明顯，最好的結果當然是要B能成為一個對角矩陣——但是我們知道並不是每一個矩陣都能對角化——所以我們想要退而求其次地尋找更一般的結果。

我們知道：矩陣A可以相似對角化，實際上意味著它的所有特徵向量（不計數乘）構成了空間的一組基——這個時候如果從空間分解的角度來看一下這個問題：就相當於我們可以對線性空間進行直和分解，這個時候構成直和分解的子空間實際上就是映射 $T$ 的特徵子空間；

換句話來說：矩陣的相似對角化，本質上就是對原空間在映射 $T$ 的「特徵子空間」意義下進行直和分解——這並不是每一個映射都能做到的，也就是說「特徵子空間」這個要求太強了；

我們能做到的是退而求其次，尋求映射 $T$ 在「不變子空間」——這是一個比「特徵子空間」弱一點的條件——意義下的直和分解。

那麼關鍵問題是，對於一個映射 $T$ 而言，它的不變子空間有哪些？

幾個明顯的結論是： $Ker(T)$ 和 $Im(T)$ 均為 $T-$ 不變子空間——但這還不夠，接下來這條結論更重要：

如果 $T_1circ T=T circ T_1$ （即兩個映射複合可交換，反映在矩陣上，就是兩個矩陣相乘可交換），那麼 $Ker(T_1)$ 也會是 $T-$ 不變子空間！

現在，你可以很明顯地列舉出更多的 $T-$ 不變子空間作為直和分解材料——例如： $Ker(T^n)$ ，因為 $T^ncirc T=T circ T^n$ ；再比如——請注意下面這個式子！！！——

$（a_ncdot T^n+cdots+a_1cdot T+a_0）circ T=T circ （a_ncdot T^n+cdots+a_1cdot T+a_0）$

也就是說： $Ker（a_ncdot T^n+cdots+a_1cdot T+a_0）$ 也會是 $T-$ 不變子空間！

至此，你可以看到，多項式已經出場了。

當然，我們的主線問題遠沒有結束——接下來你可能需要面對的問題還有：應該找到一個什麼樣的多項式，能夠使得 $Ker（a_ncdot T^n+cdots+a_1cdot T+a_0）$ 就是原空間本身？換言之、你應該找到一個合適的多項式，使得 $a_ncdot T^n+cdots+a_1cdot T+a_0=0$ ——這也就是所謂的「零化多項式」；

至於找到合適的零化多項式後，又如何把它分解，進而求的映射 $T$ 在「不變子空間」意義下的直和分解，這又是一個需要詳細解釋話題，它直接涉及了《線性代數》中的多項式分解研究；

我想這個答案就寫到這兒結束吧。

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其實，《線性代數》中為什麼會談「多項式」？這是很多線代初學者都有的疑惑，我曾經就此寫過一份講義，希望對你更有啟發：

鏈接:https://pan.baidu.com/s/1pLUOB4R 密碼:hhzb

最後打個廣告：這份講義實際上是我的一次Live：《線代選講：為什麼要談多項式》【點擊加入】的講義，如果你有興趣、歡迎加入。

講對角化的時候，即便不涉及若當標準型，依然要在涉及特徵多項式、極小多項式的時候用到一點多項式

極小多項式, 特徵多項式, 相似標準型, 矩陣的法式, 不變因子,有理標準型, 初等因子, Jordan標準型

哪個不要用到多項式. 當然你也可以說我不需要多項式還是能做這些東西. 這一套理論自然有他的優勢所在. 如果涉及到從一個更大的域限制到子域的時候, 有些在大域裡面成立的結論可能限制到小域還是成立的. 直接證明可能不易入手, 但是換成多項式這套理論(雖然不一定都能用), 只要保證每一步運算都還是在子域裡面, 類似可疑證明.

說一個例子, Jordan–Chevalley decomposition, 如果是考慮到代數閉域, 多簡單, 利用 Jordan 標準型就能你弄出來. 但是如果不是代數閉域怎麼辦?

意義不大，除了計算一些特殊的行列式、線性空間里用到一點、線性變換理論的建立外，很少用到多項式。

多項式跟線性代數應該算是兩個系統的，風格差異太大了，湊到一塊做高等代數課感覺怪怪的（這個應該是跟著蘇聯學來的做法，擱以前裡面還包含一些抽象代數的基礎知識，確實比線代要「高等」一點，現在這些都沒有了，完全沒必要沿襲這箇舊稱了），就是數學系也沒必要這樣搞。

已經有科大數學系試過了，將多項式和線代分割

李尚志在他的書的前言里說:

在中國科學技術大學數學系，經過反覆考慮和多年的實踐，將多項式這部分內容從線性代數中拿出去，與原有的初等數論課一起組成一門課程「整數與多項式」，讓學生在大一第一學期（在「線性代數」之前）學習。由於整數和多項式都有帶余除法，很多性質非常類似，放到一起反而非常合理而融洽。

當然這是十多年前的了，整數與多項式這門課用的教材《整數與多項式》（馮克勤，余紅兵著）都絕版幾年了。

同高贊回答。主要還是為了Jordan標準形中的討論。不少書放在第一章講，覺得偏離主線……倒是寫在附錄里更合適……我覺得多項式的內容完全應該下放中學（現在只有初高中競賽涉及），這內容完全初等

真的有毒，我焦慮的如何及格，人家問意義，或許真是大學生里的辣雞

我認為主要是傳統就帶的，線代的基礎或者我們認為代數從多項式為一個研究大的方向。自古就這樣。個人認為有他沒啥不妥當大學裡的教材編寫以及取捨大部分看你的課節和老師的安排。適當取捨。

多項式理論是代數學的基本工具，有可以清楚描述代數結構的用處