有些晶體的聲子譜顯示出負的頻率，是什麼意思？

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這是Bulk TiSe2 的晶體結構示意圖和聲子譜

負的頻率實際上是虛頻，即解特徵方程的時候得到 $omega^2<0$ 。 $Gamma$ 點附近很小的虛頻通常來自數值誤差可以通過Acoustic Sum Rule (ASR)去除。圖中的虛頻表明這種結構不是力學最穩定的，原子沿著它的softmode去relax可以得到更穩定的結構。

手機寫的，寫得簡略一些，寫一些我的理解。頻率依賴於Hessian矩陣特徵值（也就是力常數）開根號。所以要是出現負特徵值或者說負的力常數，那麼開根號成虛數。有的軟體裡邊，為了表述或者作圖方便，拿負數替代虛數進行顯示。回過頭來看，Hessian矩陣是勢能面的二階導，Hessian矩陣特徵值就是勢能面各個正交方向的二階導。計算收斂時候，我們認為已經收斂到一階導為零的地方了。所以Hessian矩陣二階導為負證明某個正交方向這個點是個極大值點，就是馬鞍點。馬鞍點並不是能量最低點，所以通常情況下應該避免收斂到馬鞍點。數值計算裡邊，常見的演算法很容易收斂到馬鞍點，並且很長時間在馬鞍點附近震蕩而不離開，所以常常會收斂到這樣的點。還有些勢能面平坦的地方。也容易收斂到一系列馬鞍點上。

拿彈簧振子打個比方：

設彈簧振子離平衡位置的偏移量為 $mu$ ，由牛頓第二定律可得彈簧振子運動方程為：

$mddot mu+kmu=0$ 。

這是一個二階常係數齊次微分方程，直接套公式得到通解為：

$mu(t)=c_1e^{-sqrt{ -frac{k}{m}}t}+c_2e^{sqrt{ -frac{k}{m}}t}$ 。

接下來分類討論：

$k>0$ ，彈性勢能 $U=frac {1}{2}kmu^2$ 隨 $mu$ 增大而增大。此時 $sqrt{-frac k m}$ 是個虛數，可以根據歐拉公式將通解化簡為三角函數的形式，即彈簧振子做簡諧振動。對 $mu(t)$ 做傅立葉變換，其像函數只在與 $sqrt{-frac k m}$ 對應的實頻率上不等於零。類比到聲子譜上，就是實頻。實頻對應簡諧振動，因此原子在做周期運動，晶體不會散架。
$k<0$ ，彈性勢能隨 $mu$ 增大而減小，減小的彈性勢能轉化為動能，也就是說離平衡位置越遠，原子跑得越快。此時 $sqrt{-frac k m}$ 是個實數， $mu(t)$ 是兩個指數函數的線性組合，做傅立葉變換，其像函數只在與 $sqrt{-frac k m}$ 對應的虛頻率上不等於零，也就是聲子譜上的虛頻。兩個指數函數的指數互為相反數，無論是t趨於 $+infty$ 還是 $-infty$ ， $mu(t)$ 都趨於 $+infty$ ，原子一去不復返，晶體就散架了。