用 Levi-Civita 符號升降指標，有何特殊之處？

01-03

參考 A. Zee， Group Theory in a Nutshell for Physicists
設有矢量 $psi^i$ ，書中定義 $psi_i equiv psi^{i*}$ ( $*$ 表示復共軛)
對於某個群 $G$ ，矢量的變換矩陣 $D(g), gin G$ 構成該群的表示。

書中說， $SU(2)$ 的二維表示是 pseudoreal 的（即 $D(g)^* = S^{-1} D(g) S$ ）。因為二維情況下的 Levi-Civita 符號 $varepsilon_{ij}$ 正好有兩個指標，可以用它來升降指標： $psi_i = varepsilon_{ij} psi^j$ ，因此表示矩陣和它的復共軛相似。
而 $SU(3)$ 的表示就不是 pseudoreal 的，因為三維情況下的 Levi-Civita 符號 $varepsilon_{ijk}$ 有三個指標，無法將 $psi_i$ 和 $psi^i$ 認同起來。
請問為什麼用 Levi-Civita 符號來升降指標，它有什麼特殊的地方嗎？用度規之類的 $(0,2)$ 型張量升降指標不行嗎？

用Levi－Civita symbol升降指標不是因為它有兩個指標，而是因為SU(N)群的行列式為1，因此Levi－Civita symbol是一個不變數，這樣由它把逆變指標降下來得到的矢量自然是一個協變矢量。

我有點地方沒搞懂，因為在我的理解里，連通李群的表示，就只有實（real）的和不實的，從沒聽說過什麼叫做贗實（pseudoreal）。

依照我的理解，所謂贗的（pseudo），就是說在空間反射下的變號情況和通常的有差異，也就是說，SXX群的表示下，是沒有真的和贗的的區別的，必須加上空間反射才行。

所謂實表示，就是說它與它的共軛表示是等價的，等價就是可以通過相似變化轉化：

$F^*(g)=A^{-1}F(g)A$

這是個實打實的定義，和A是個什麼線性變換沒有任何關係，只要可逆就行了，二維情況當然Levi-Civita 符號可以當個線性變換用，但這豈不是宣告三維以上都沒有實表示？這顯然不對啊！

一般來說，一個李代數的表示可以用它的首權來標記。李代數表示出來了，李群做個指數映射也表示出來了。

什麼是首權呢？我們知道李代數可以分為嘉當子代數和其他，嘉當子代數里的元素都是對易的，所以它們可以有共同的基底使他們對角化。我們可以把李代數的一組基分為如下兩種：

1.嘉當子代數的基（以SU(2)為例子就是 $J_3$ ）；

2.升降算符（仍以SU(2)為例子就是 $J_pm$ ）。

什麼是權，既然嘉當子代數的表示可以對角化，那麼實際上每個對角元都確定了一個線性函數，每給定一個嘉當子代數中的元素，某個對角元就給出一個對應數值，而且滿足疊加性質。這些線性函數就統稱為權。而通過嘉當內積，我們可以把這些線性函數嵌入到嘉當子代數中。

而首權（又叫極大權）就是單李代數的一個表示中，在某個字典序中最大的權，我們可以用一種對偶基分量來表述一個權，顧名思義就是給出權在素根基的對偶基下的分量。這裡提一下，根就是伴隨表示的權，而不能分解為兩個正根之和的根就叫素根。具體的要多看看李代數的理論了，我就不多說了。

SU(2)的嘉當子代數只有1維，它的表示的首權只能是 $(frac{n}{2})$ ，n為自然數，也就是我們說的角動量量子化。

再看SU(3)，它的表示的首權可以是 $(frac{n_1}{2},frac{n_2}{2})$ ，可以證明，一個表示和它的共軛表示的首權，剛好對偶基分量掉了個個，也就是說共軛表示的首權就是 $(frac{n_2}{2},frac{n_1}{2})$ ，顯然一個表示是實表示，當且僅當 $n_1=n_2$ 。

而所謂SU(3)的三維表示或者基礎表示，一般指表示 $(frac{1}{2},0)$ 它的共軛表示是 $(0,frac{1}{2})$ 當然不是實表示。

推廣到SU(n)，基礎表示是 $(frac{1}{2},0,...0)$ ，共軛表示是 $(0,0,...frac{1}{2})$ ，也不是實表示，但我們很容易通過構造一個分量對稱的表示，使它變為實表示，只是一般來說，它不是n維的表示了。