物理中引入散度旋度有什麼意義？

01-03

之前的各位從幾個具體的方面回答了一下，我來從比較抽象的方面回答。

先說結論：物理上梯度散度旋度是希望找到一個坐標變換下不變的微分，從而用這樣的微分寫出坐標變換下不變的物理學方程。

物理上的空間，是一個帶有若干基矢，同時定義了距離的空間。物理學的實際要求我們在這個空間內求導數，隨後就出現問題了：求導數這個過程，在坐標變換下是不變的嗎？

這個問題答案是：不一定。我們很容易想到這樣的例子，比如 $frac{partial f}{partial x}$ ，在旋轉變換下可能會變成 $frac{partial f}{partial y^{$ 。但是物理學定律首先要求的就是坐標變換的不變性，不能因為你換了一套坐標物理規律就變了，所以我們希望得到一個坐標變換不變的導數。

幸運的是，這是比較容易做到的。假設我們做這樣的坐標變換： $dx^{$ ，給出微分形式是因為要包含曲線坐標變換的情況。這樣一來，我們如下構造一個量： $extbf {grad}f=frac{partial f}{partial x} extbf x+frac{partial f}{partial y} extbf y+frac{partial f}{partial z} extbf z$ ， $extbf x$ $extbf y$ $extbf z$ 代表基矢，同時 $f$ 是個標量函數，我們對這個量做坐標變換：

$extbf {grad}^{$ ，用愛因斯坦求和約定。

代入坐標變換，我們得到： $extbf {grad}^{$

於是，我們找到了想要的不變數，這樣就引入了梯度。

旋度也是一樣，我們這樣構造一個量：

$div extbf v=frac{partial v_i}{partial x_i}$ 用了愛因斯坦求和約定。

代入坐標變換容易知道，這個量也是不變的。

對於矢量，我們還可以構造這樣的不變數：

$vot extbf v=epsilon_{ijk}frac{partial v_k}{partial x_j} extbf x_i$

這個量嚴格來說在坐標變換下會多出來一個標量因子，但是在積分中這個標量因子會消失掉，在這個意義下是不變的。

於是，我們會發現物理學方程基本上都是用這些微分寫成的。正好前兩天看到一個問題是如何判斷方程的洛倫茲不變性，這就是答案：如果我們的方程使用某種變換下不變的量寫成的，那麼方程自然就擁有這種變換下的不變性。反過來說，如果我們要總結出某種物理現象的方程，這方程里也只能包含在一些基本變換下不變的量，這裡的基本變換在經典領域是伽利略變換，在相對論中是洛倫茲變換等等。

我們可以把向量場看作是描述某種物質的流動，每個點上的向量代表這個點上物質的流動速度，或者說單位時間流過單位截面積的流量。散度是向量場當中，某個點流入的量與流出的量的差，它代表向量在這個點上某種累積的效應，如果散度不為零，流動的這種「東西」一定在這個點上被創造出來，或者終結到了這個點上，就好像電荷的電場產生於正電荷，終結於負電荷一樣。

旋度代表流量在這個點附近的繞行的流量的差異，也就是類似於「繞過左邊的比繞過右邊的少」這件事。這說明流量在這個點附近打圈。由於「繞過」是有方向性的，所以旋度是個矢量，垂直於「繞過」的所在平面。它其實暗示著能量流動在這個點附近是不均勻的，這種物質在這個點附近獲得了或者損失了能量（體現在獲得或損失速度上）。如果沒有旋度，流量從點的左邊或者右邊流到同一個位置，能量的變化是相同的，這說明能量在這個向量場當中是守恆的，可以利用積分規定一個勢能，使得流量流動過程中獲得或減少的動能與勢能差
相等。如果有旋度，則物質在這個點附近繞行一周，動能會增加或減少，就不能規定勢能。我們可以想像一下一種液體從一個點兩邊流過時，左邊流過的比右邊的
少，這說明要麼左邊有一些摩擦力導致損失了能量，要麼右邊有一些使液體加速的機制導致了這個差異。

可以簡單粗暴總結為：

散度是某一點附近流過質量的變化率；旋度是這一點附近流的機械能的變化率。

如果用場線的話，也可以類似描述為：散度是某一點附近場線數量的變化；旋度是某一點附近能量差的變化

我們用一個曲面圍住這個點附近的空間，考慮流過的物質的量，就可以得到高斯定理：第二類曲面積分等於散度的體積積分；我們用一條曲線繞這個點一周，考慮沿曲線流量的變化，就可以得到環路積分定理。

在幾何直觀的意義上，一個靜態矢量場的變化可以分為兩方面：

一方面是沿著徑向的變化，這一點便由散度來度量。沿徑向向內或向外的差別則由散度的正負號體現。

另一方面是沿著切向的變化，這一點由旋度來度量。為了描述切向的取向（順逆時針），所以用右手定則使旋度成為一個軸矢量。

進一步地又可以得到散度定理和旋度定理，它們都是廣義斯托克斯公式的特殊情況。

這是Helmholtz定理決定的。邊界條件不變的情況下，給定散度旋度能唯一確定一個矢量場。所以散度旋度可以完全描述一個矢量場。

謝邀。

在這裡羅列一些公式沒有意義，我說一下我個人的理解，如有紕漏，請指正。

首先從數學上說，散度的提出就是為了方便求面積分，旋度的提出就是為了方便求解體積分。

從物理上說，電場的散度表示電場中某點的電通量密度，根據高斯電場定律，用電場的散度求解源的電荷密度。電場的旋度表示電場的環流源密度，可以用來計算電荷在電場中移動所做的功。

散度和旋度分別表示了矢量場的兩個源，通量源和環流源，如果一個矢量場的散度和旋度給定了，那麼這個矢量場也就唯一確定下來。

麥克斯韋最初提出的麥克斯韋方程組是積分形式的，但是積分形式的方程難以計算，只能計算規則空間內的電磁場，難以計算複雜形狀空間的電磁場，因此就出現了微分形式的麥克斯韋方程組，用散度和旋度計算空間電磁場分布。

結論：散度和旋度是用來表示矢量場分布的，一個場的散度和旋度確定了，那麼這個矢量場也就確定了

謝邀，才疏學淺，不能回答。

簡單粗暴的理解，散度和旋度是為了在繁雜的物理方程的推導過程中對有特定含義的方程式給予實際的物理意義。跟定義的類似拉普拉斯運算元一樣。

工程電磁理論中在計算三維複雜方程的時候，在矢量的基礎上，還會定義並矢，以此簡化方程與運算。

望大神能幫忙修正。

降維打擊。

我不知道怎麼回答這個問題……

在物理算式中引入乘法除法有什麼意義？引入代數表達式有什麼意義？

環量和旋度一時想不好。通量和散度，意義很明顯啊，平穩的水流，就很容易說明通量和散度啊。下面假設流體的密度是不變的（物理學中叫不可壓縮流體），以流體的流動來說明通量和散度是什麼東西。看時，若對公式不感興趣，可略過，不影響閱讀。

水在水管中流動，那麼通過管的橫截面（該面垂直於水流方向），1秒（物理學上通常說成單位時間）有多少立方米的水流過（即流過水的體積是多少）？這個很好算，小學咱們算渠道里水的流量什麼的就算過了，水的流速乘以橫截面積即可()，這就叫水流通過這個面的通量。

當然啦，這是說得太過簡單了，是最特殊的情況，要是更一般一點兒，譬如你要研究的面不和水流垂直而是斜著呢？那就把該面投影到垂直於水流方向去（即乘以一個夾角的餘弦）就行了：，其中是水流方向與面的垂線（法線）方向的夾角，數學上可以把面積規定成一個矢量，方向就沿著其法線，那麼這個式子可以寫成矢量點乘，注意這裡v和S都是矢量；那麼最一般情況的呢？可能水流速度的大小、方向在各個點都不一樣（這就是說水流速度是在空間各點分布的，所以稱為流場），或者我研究的那個面壓根兒就不是個平面呢？這個好辦，把這個面劃分成很多個小面元（即微分），各個面元就都可以看成平面了（正如地球表面是球面，但你在操場上跑步可一點兒也感覺不到你是跑在一個球面上一樣），而且在這微元內流場的流速也可以看成均勻的了，那麼就按照剛才的演算法，同樣可以把各個面元規定成矢量，算出各個小面元上的通量，然後把通過各個小面元上的通量加起來，就是整個面積上的通量了——看到這裡估計一些童靴已經笑了，什麼加起來，面元無窮小、面元的數目無限多，這個「加起來」明明就是積分嘛，所以這時候通量的計算式就變成了：（v和dS都是矢量）。

看，在流體的流場中，這就是通量的意義：所謂流體的速度場通過某個面的通量，簡單說就是速度與這個面的乘積（嚴格說就是上面那個曲面積分了），其物理意義，乃是流體通過該面的流量（單位時間內流過的體積）。

在物理學和數學中，經常關心的、也是和下面要講的散度相關的，是通過所謂閉合曲面的通量，按照上面的計算式，這時候寫成，畫個圈圈表示這個面是「閉合的」。對於閉合面，它在各個點的垂線（法線）可以向著面內，也可以向著面外，我們取面元dS的時候，規定以向外的法線作為其方向，這樣對於閉合面，很容易算出來，如果某點的流體流速是向著面內的，那引起的通量是負的，否則才是正的，也就是說我們以流出為正、流入為負。

由於是不可壓縮流體，密度不變，那麼如果在我們研究的閉合面內既沒有泉眼兒，也沒有漏洞，可以斷定，在一定體積內，流出的通量一定等於流入的通量（總通量為0）。如果流出的多流入的少（也就是通過閉合面的總通量為正），那麼我們可以斷定，這個閉合面內一定有包含的泉眼兒，反之呢，可以斷定其中一定有漏洞（漏洞其實就可以看作「負的泉眼」），通常把這種「泉眼兒」叫作「源」，而把漏洞叫「匯」（匯可以看作負的源）。

但是泉眼噴水的量不一樣，可能某個閉合面的通量是每秒3立方米，而另外一個閉合面的通量是每秒50毫升，這說明前面那個泉眼的噴水量多。然而這事情也不好比，如果你前面那個閉合面是個直徑300米的球面，後面那個閉合面是直徑3厘米的小球面，那麼直接這麼比，好像也不太「公平」。怎麼辦呢？我們把通過某個閉合面的通量（按上面說的，其意義即單位時間的流量），除以該閉合面包圍流體的體積，看，都摺合成單位體積了，這公道了吧？好了，主角登場了，這個除出來的結果，就叫做這個體積內的（平均）散度。——注意，這麼做得出來的只是「平均散度」（可能這個詞兒是我生造的哦），要想精確地反映各個點的散度，你只要在你研究的點附近選一個儘可能小（數學說叫包圍的體積趨近於0）的面元把該點包圍起來，按通量除以體積的辦法算散度就是了，當面元極限趨近於0時，這個面元包含的體積也就趨近於這個點了。這樣每個點都可以計算散度，所以散度也是空間分布的，是空間點函數。

所以，簡要地說，什麼是散度？散度就是某點附近單位體積內散發出的流量。顯然散度大於0，表示有源，小於0表示有匯，而其大小的絕對值，表示單位體積的源或者匯單位時間內產生或吸收的流體體積。所以，一句話，流場中速度的散度就是某點附近單位體積內散發出的流量，或者流體說成是表示該點處的「源強度」。

數學上可以推知，這個源強度（這可能又是我生造的詞兒）——即散度的計算式是Nabla（即倒三角）運算元點乘以速度，直角坐標系中，這也就等於速度在各個坐標軸上的分量分別對相應的坐標求偏導，然後三者加和。

物理學中用到流量的地方很多，但愚以為最容易理解的，還是上面說的這個流體的的流場例子。把流體換成電荷，那同樣可以用於描述電流。電流中，所謂的電流密度矢量其實就對應上述的「速度」，而電流強度就對應流體的流量，所以通過某個面的電流強度是電流密度矢量通過該面的通量。

至於更耳熟能詳但卻並不膾炙人口的（因為其實比較難以理解），就是電通量、磁通量的概念了。其中事實上並沒有什麼東西在流動了，所以上面這種理解就不好移植了，其實這個移植可以是純數學的，那就是仿照流體速度場的通量等於速度對面積的曲面積分，那麼電場的通量就是電場強度對曲面的積分。但這太純數學了，所以還有我們的救星法拉第先生（感謝上帝讓他的數學功底不深）引入的場線（其實流體里也經常畫出流線的），然後老師騙我們說電通量就是電場線通過某個面積的場線條數。相信我，這真的是騙你的，因為電通量得到單位不是多少「條」，而且電通量也不是一個沒有單位的「數」，而且電通量可以等於0.5的（電場線是0.5條嗎？）。所謂電場線的條數，只是我們在圖中對電通量的一種幾何表示罷了，對某個量的表示不能算是這個量的物理意義，只是因為電通量的物理意義實在難講，所以老師才這麼騙人的，算是有個交代罷了。磁場同理。

但引入場線，那場線就可以類比為流線，人們發現某點上電場的散度等於該點的電荷密度，這就說明電場線是有源頭的（場線從這裡發出），而且電荷就是電場的「源」（負電荷那就是「匯」），可磁場呢？磁場很可能是沒有源的（至少直到目前，還沒有找到能發出或者吸收磁場線的東西，磁場線都是自己跟自己閉合地接起來，無頭無尾的）。

Divergence(散度)和Curl(旋度)的主要作用目前看來好像就是方便積分，其中Divergence Theorem和Stokes Theorem可以轉化散度和旋度的複雜的積分到簡單一點的形式。(其實也不是每一個轉了之後都變得更好的)

物理上的理解也許採用流體力學的版本較好，一個點的散度測量水流流進和流出這個點的速率，一個點的旋度測量這個點水流旋轉的快慢。

未完待續

通俗地比喻：

若空間實在是有經緯的，那麼散度是經線，旋度是緯線。

描述場點的性質，散度是通量密度，旋度是環量密度，用於描述場點有源無源和有旋無旋。

這是課本上的描述，我的理解的話，有源簡單，泉水流出。

有旋無旋的話，一些場是無旋的，主要是因為他們是保守的，也就是不能繞一個環做功，否則能量不守恆所導致。

通量和環量也能夠描述這一性質，只不過用散度旋度更加集中於這一點罷了。

以流體力學來類比也許就好理解些了。類比在我們認識世界時能幫忙。

回答里有個同學講到不依賴坐標系:

因為物理規律是不依賴坐標的，其次物理量有很多是矢量的。而矢量的規律也是不依賴坐標的。於是出來那麼一門課，就叫《矢量分析》(還會牽扯到一些場論的)。(搜搜有書，一些課件也可以吧)

其實就是同濟六版多元微積分提到的向量值函數。很多矢量分析中的東西都穿插在書里。。。後面同濟的是直接從正交直角坐標系下推出格林，高斯，stokes定理。比較繁瑣，而且簡單引入，給個定義:通量散度環量旋度這些。矢量分析裡面直接按矢量處理，用矢量引出這些概念。定理推出來也是矢量形式，這就不依賴於坐標了。在不同坐標下可以賦予不同形式。

所以。。。找一本矢量分析的書，or網上課件，都會講到三大定理。。比較明了。同濟六版也可以看，涉及三大定理的初步了解下。曲線積分曲面積分這幾節倒要好好看看。這裡同濟後面給出了矢量形式。還有矢量線積分的。。

散度描述的是一種縱向變化率，旋度描述的是一種橫向變化率。因此當我們知道一個向量場的初始條件，縱向和橫向的變化率時，就可以求得向量場在整個空間的分布。我覺得這可能就是麥克斯韋預測電磁波存在的基礎，同理也可以得到彈性波場的分布，這也是地震理論的基礎。這些都是散度和旋度在物理學中的應用。。。。

題主可以把它們理解成對於場線的正交分解，也可以理解為對於曲線運動的自然坐標把速度與加速度分解成切向與法向，不過這次是對一個彌散在3空間的場線做分解，意義就是---簡化運算啊！！！！題主知道沒有那個小三角，那些方程有多難記！

麥克斯韋要請你喝咖啡

跟上面那位一樣，我個人的理解也比較粗暴

與分量形式對比的話，很顯然表述大大地簡潔了。

與積分形式對比的話，微分形式看上去能更直觀地感受到物理圖像，而且也很容易看出怎麼導出波動方程並預言光速的。處理很多問題時，很多時候用起來也更方便。

個人愚見

瀉藥。一個偉大的問題，但是我也不是謙虛，我連Maxwell方程組都不會寫，還是另請高明吧。我認為引入這些數學概念就是為了從數學上更完好地描述場。這是一個偉大的方程組。

自然界需要這麼去描述，為什麼要去問意義？是先存在這樣的現象，我們才會發明這樣的數學工具去描述！

謝邀。

散度旋度可以準確描述物理現象，於是，物理就使用它們了呀。

說白了，一句話：一切都是為了計算的簡化。

我們場波老師說的。

我敢說回答這個問題的人99%都不知道這到底是怎麼回事，這些日怪的字元串是啥，我表示完全不懂。拖後腿了