將一個正方體電阻挖去其中的1/27體積，怎樣挖可以使電阻最小?

• 假設可以使用超導體讓立方體電阻左右兩個平面分別等電勢

• 挖空部分可以不連續

將一個正方體電阻平均分為九份，挖掉中間一塊，現在的電阻是多少？ - 物理學

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謝邀。。。這個系列問題也太搞了。。。

答案非常簡單，只要挖掉從正極到負極的正柱體即可，比如這樣：

藍色是負極面，紅色是正極面。

至於你挖掉的柱體是方的還是圓的，在邊緣還是在中心，都一樣。反正電阻是之前的27/26。證明過程如下圖：

(注意，圖中的紅色部分，是理想導體，電阻為0。)

上圖中，最右邊的不等號的來源，是由於電流遇到挖掉的洞要繞彎，造成的電流路徑增加，形成額外電阻。具體可以看將一個正方體電阻平均分為九份，挖掉中間一塊，現在的電阻是多少？ - qcmsqas 的回答。或者簡單點理解，在原本的電阻中間插入幾塊電阻為0的理想導體，幫助它導電，電阻總歸是減少，至少不會增加。

而左邊的不等號，可以從數學上證明：

對於正數和正整數

當且任意時，，

如果上面的不等式覺得難證明，可以先嘗試證明下面這個n=2的特殊情況：

，當

這個證明過程初中數學應該就夠用了。

於是我們得到了電阻最小的挖洞法：挖掉正柱體，得到電阻是之前的27/26。

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蠻有意思的問題。

（1）先建立模型

我們來看下圖：

此圖是一個正方體，它的邊長都是1，電阻率為，於是此立方體的電阻為：

，

可見此立方體的電阻就是電阻率。

我們來看下圖：

其中A層也即圖4由完整的9個立方體構成，相當於9個立方體並聯，其電阻為：

而B層也即圖1、圖2和圖3都是去掉其中一個立方體，相當於8個立方體並聯，其電阻為：

我們發現，不管B層用何種方式取掉一個立方體，其電阻均為：

根據題主的題意，我們知道系統由兩個A層和一個B層串聯而成，以此總電阻R為：

（2）現在我們來考慮題主的問題，如何挖使得總電阻為最小？

由於不管怎麼安排，不外乎2個A層和1個B層如何串聯而已，總電阻既不會增加，也不會減少，都是。

（3）如果結合電流流向因素又會如何？

相信，這才是關鍵。如果電流從前後兩個平面流入和流出，或者沿著兩個對角線流入和流出，電阻的阻值還會一樣嗎？

沿著前後兩個平面流入和流出，電阻應當是不變的。但沿著對角線流入和流出會怎樣呢？

我們發現，電流沿著對角線流入和流出，由於長度增加了，並且截面也是逐步增加的，雖然沒有去計算，但是估計電阻是會增加的。顯然，這和題主求電阻最小是矛盾的。我們就不再考慮這個方案。

順便說一下，沿著對角線計算電阻需要用定積分才行。

（4）新方法

我們還是讓電流沿著前後兩個平面流入和流出來考慮。

題主的題目中說過，求挖去正立方體體積的1/27，但是並未說挖去的體積一定也是立方體，所以我們可以用另外一個思路來求解。

我們知道，電阻與導體長度成正比，與截面面積成反比。如果我們把正立方體沿著長度方向削掉一層，使削掉的體積正好等於正方體體積的1/27，這樣截面積不變，而長度減小了。總電阻當然也減小了。

我們看下圖：

立方體的總體積為：，故其1/27的體積就是1。又知道立方體的截面為：3X3=9，因此削掉的長度為1/9。於是有：

顯然，這下小了很多。一下子減少了%，很不錯的方案。

沒時間再考慮了。把問題還給知友們吧。看看還有什麼好辦法。

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在正方體的一極切掉1/27厚的一層,電阻為原來的26/27。

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把正方體的沿電流方向的角都拋成弧形的，拋掉1/27就行

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