為什麼「除以一個數等於乘以它的倒數」（底層的數學意義是什麼）？
我需要的是底層意義，我傾向於問，為什麼是這樣的計算規則。
用乘法法則的逆運算回答的，根本不懂我在問什麼，因為你不能用結論去證明結論；你不能用1+1=2，去說明1+1這個式子就是=2，我問的是，為什麼所有人都認為1+1=2，是誰告訴你們，這個世界1+1=2 的？為什麼等於2？底層的原因是什麼？
因為我們就是這樣使用語言的。
這個問題是哲學病，所以我要打臉。覺得不友善請舉報，反正我是不會改這種說法方式的。
順便，這個問題已經收錄於：《對不起，你沒有權利問為什麼》，理由是：你根本就不知道你自己在問什麼。在討論這個問題之前，我希望你能先閱讀這個回答，如果你覺得這個回答中的思維方式不能回答你的問題，那麼恭喜你，你被確診為哲學病。
另外，我希望你對於抽象代數中的群環域結構有基本的了解。
在一個群上面談論乘法和談論加法一樣（當然一般我們用「+」的時候，意味著這個群上的「+」滿足交換律，但是我在這裡並不額外強調這一點），乘法的獨特性至少需要通過環結構才能展現出來。但是，如果我們只是單純地考察一個數域上的乘法，而不考慮加法的話，那麼這個乘法本身和一個群上的加法是類似的：它只需要滿足結合律，單位元存在，逆元存在這三條要求即可。這個數域中所有的非零元和這個乘法就構成了一個群。
單純考慮「除以一個數等於乘以它的倒數」這個現象，實際上就相當於是在問，為什麼 a-b=a+(-b)。當然一種方法就是訴諸定義，而另一種方法則是前面那個回答中提到的：(*) 如果 a+x=b，那麼 x 就是 b 和 a 的差，記作 x=b-a。
而在這裡，就是要證明如果我們這樣定義減法，那麼 a-b=a+(-b)。當然，首先 -b 就是一個沒有定義的操作，一般來說我們還是需要一個約定，因為我們已經用 (*) 的方式定義了減法，因此我們就只能說，我們約定 -b=0-b。而根據定義，這就是在說 b+(-b)=0。假定我們已經證明了：a+c=b+c 當且僅當 a=b。- 假設 c=a-b，我們可以得到 b+c=a（根據「-」的定義）。
- 而另一方面，假定 a+(-b)=c"，我們可以得到 a+(b+(-b))=b+c"（根據b+(-b)=0） ，進而得到 a+0=b+c"，即a=b+c"。
根據我們假定已經證明了的內容：通過 b+c=a=b+c"，得到 c=c"。因此 a-b=c=c"=a+(-b)。
註記：原則上來說是不需要使用到交換律的，但是由於某些地方可能倒騰來倒騰去弄不清楚，所以假定這裡的「+」滿足交換律。在不滿足交換律的情況下，上述討論將 + 換成 ×，(-b) 換成 (1/b) 也是成立的。（當然自然數的乘法本身滿足交換律） 因為這個問題本身並不涉及環和域中加法對於乘法的分配律。因此沒有區分加法和乘法的必要。把它們一併當作群中那個唯一的算符就好了。
當然，你可以接著問為什麼，證明中的每一步你都可以接著問為什麼，但是我要說的是你的問題是不恰當的。因為這和問「為什麼所有的光棍都是沒有結婚的人」一樣。毫無意義。還是那句話：我們就是如此這般使用語言的。就算 1+1=2 不是定義，a+0=a 也是定義。2 在 Peano 記號中要不然寫作 SS0，要不然寫作 S1，如果是前者的話，相當於是說 (1+0)+1=2，而後者就相當於是說 1+1=2。
語言的形成過程是有任意性的，而一旦形成了之後，就具有相對的穩定性和客觀性。我可以用「1」來表示 1，也可以用「」來表示 1，甚至可以用「1」來表示 2，但是這種具體來說符號的演變顯然不是你關心的問題。
所有人都認為1+1=2，
是因為存在這樣一種客觀的經驗傾向在裡面：凡是受到訓練的人，都會有能力作出這樣的事情，這種事情是寫在人類的基因之中的：對於大多數正常生長的兒童，我們有教育他們並且使得他們能夠正常使用語言的可能性。別說人了，動物也有他們那種層面上的可能性。
是誰告訴你們，這個世界1+1=2 的？
老師，父母，周圍的人。語言的使用和訓練是一種社會性的過程。
為什麼等於 2？
再次強調：因為我們就是這樣使用語言的。
底層的原因是什麼？
沒有底層的原因嘛，也不對，底層的原因是有的。但是這個原因不是因為存在一個柏拉圖的天國，而是因為世界本身具有某種性質。我們能夠使用顏色辭彙的底層原因是世界中物體是有顏色差別的，並且這種顏色差別是基本上能恆定保持的。如果世界上所有的物體都像夜晚的廣州塔一樣不停變色，那麼我們就談論不了顏色的。至少不會像現在這樣形成簡單的顏色詞。
1+1=2 成立的基本原因是，我們世界上的物體，在把兩個放在一起的時候，絕大多數情況下不會忽然出現第三個。有極少數情況下可能會出現諸如兩個粒子對撞出來四五個粒子，但是這是個例。並且這種個例也並不能說明 1+1=2 失敗了，而只能說明在這個模型中有一些基本的假設失敗了。
在簡單的情況下（題目中這兩個問題都屬於簡單的問題），數學的可應用性問題等同於語言的可應用性問題。在複雜的情況下，問題會變得困難，因此我不妄加判斷。不知道為何這麼多人對實數構造理有興趣，這套理論很乏味，有興趣可以看
Number Systems and the Foundations of Analysis (Dover Books on Mathematics): Elliott Mendelson, Mathematics: 9780486457925: Amazon.com: Books裡面寫的很明白，這本書價格也不貴，可以自己買來看。你第一個問題，實際上我們説實數R的時候是在説實數（R,0,1,+,?,&<),一個域，在其上有偏序還是完備的，但大部分情況下寫作R，你可以看到上面沒有減法也沒有除法，減法是由加法定義，除法由乘法定義。為何要這麼定義，使用方便而已，這真沒有什麼理由，就根問為何平行四邊形叫平行四邊形，而不叫四邊平行形一樣，沒有為什麼。至於R是如何構造出來的，看我給你推廌的書，這本書用了300多頁才把這個問題説明白，我不可能幾句話讓你明白。至於第二個問題是一個老生常談的問題，簡單來説是這樣，1+1=2是由Peano axioms 和Peano axioms有模型保證的，Peano axioms有模型是由ZFC有模型和Axiom of infinity保證的，ZFC有模型等價於其是一致的，這是G?del"s completeness theorem 的結論，一致的無法在其內部證得這是G??del"s incompleteness theorems的結論，所以數學家引入一個新公理，Inaccessible cardinal 存在公理（記為V），這個公理可以保證ZFC有模型，但會引出一個新問題就是ZFCV在其內部無證明它是一致的，對這個問題我們沒有什麼辦法。這部分內容上面那本書並沒有談，你要看一些專門的集合論書籍，如Set Theory: Thomas Jech: 9783540440857: Amazon.com: Books 不過這本書很難。
實際上真有人問人為何1+1=2，兩行就可以證出來，你直接把Peano axioms有模型當定理用就可以了，就如同平面幾何題你沒必要從公理開始證一樣。為什麼你一定是你爸的兒子？
題主你對「除以一個數等於乘以它的倒數」 不滿意嗎？你哪裡不滿意你就說嘛，你不說我怎麼知道你哪裡不滿意呢，雖然你很有誠意地問了這個問題，可你還是要說說清楚你到底哪裡不滿意的。你真的不滿意嗎？那我們就改一改，不這樣好了。你不是真的不滿意吧？難道你真的不滿意嗎？
題主，建議你先去了解一下倒數的定義。。。
所謂倒數，在你說的這個問題里，指的就是兩個相乘起來等於1的數
說白了就是x*y=1，那麼x=1/y
那麼這裡的意思就是說，x是y的倒數，y也是x的倒數
那麼再來個z
z/x=z/(1/y)=z*y
哎，我已經無力解釋了，知乎上為什麼會出現這樣的問題啊
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題主知不知道數學是一門定義性質的學科？首先由約定俗成的公理，進而得到推論以及定力，再不斷發展下去。。。
也就是說數學裡很多東西是既沒道理又有道理的
比如有些東西，他沒道理，是因為你也說不清他為什麼有道理，比如這個1+1，憑什麼就等於2？
但是相反，這些東西他又是有道理的，就在於這些道理都是人定義的，你不需要考慮1+1為什麼等於2，因為1+1在我們定義的這個空間下他就是等於2的。你不需要抓破腦袋去想為什麼，因為這是沒有為什麼的
科學不是為了要向所有的疑問探尋真相
科學最終的目的是為了使用已有的真相探尋未知的真相糾結於這些細枝末節的東西，只能讓大家感覺題主不過是個民科都不如的水平什麼叫底層？
不是需要這樣的規則，而是這兩種演算法本質上是一樣的
說一加一等於二的真是夠了 你要規定數系(我在對什麼進行操作？)和加法運算(我在如何操作？)之後才可能談到加法
現在 比如我有一個元件 它只可以記錄0/1 我規定「數（三聲）數（四聲）」是撥動開關來改變元件0/1狀態的一個操作 然後才能談我撥了幾次開關 什麼是加法之類的問題
自然數系是人們通過一系列奇怪的公理建立的 它不可能通過有限個這樣的元件盡數表達 人類為它強加了一些特性(約定一些公理) 所以1+1=2是一個完全不合乎常情的東西
我們回到那個元件 對那個數據很容易溢出的元件 顯然1+1=0 或者你的加法器升級了 於是你也可以寫I+I=II了 這東西在於你怎麼定義
乘除法正在學 建議你翻下陶哲軒的實分析 裡邊有解釋首先，所有科學都是用來描述和解釋客觀現實的。其次，語言是人們約定俗成的一種交流工具。舉個最簡單的例子，你有一個蘋果別人又給你一個，你就有了兩個，這就是客觀現實，如果一定要問為什麼就有了兩個，我只能說這是這個宇宙的規則，也許在別的宇宙，一個蘋果加一個蘋果就變成了三個橙子，而且在那個宇宙的人也覺得事實就應該是這樣的。其次，人們可以用1+1=2，用來描述蘋果的道理，當然也可以用任何符號來描述。最後吐個槽，樓主以為這個問題很高深，其實low逼的要死，這不能證明樓主有思想，只能證明樓主有思維問題，究其原因不過一點，讀書太少瞎想太多！
我當初學物化的時候，熱力學裡面關於溫度和能量的定義上面，存在一點悖論的感覺，到底先定義誰。這時候對於初學者，(或者說年輕人)來說應該做的是多學一點，把書接著往後面翻，看下面的，而不是在那裡追求邏輯上的完美，因為這東西真的沒有太多的意義，往往浪費大量的時間而最後卻沒什麼收穫。
那我們來把題目放到情景裡面好了
要想解釋清楚我們要把問題分成兩類，一類是分數除以整數，一類是一是分數除以分數先來分數除以整數為了弘揚奧林匹克精神，小明發誓要進行體育鍛煉 ，他2小時跑了2/3千米，那麼小明的速度是多少？2/3除以2
從除法的意義來說，就是把2/3千米平均分成兩份，取其中的一份是多少就是一小時對應的路程，這也就是小明的速度那麼同樣是這個意思，我們用其他方式是否也能展現，也就是2/3 x 1/2 這個意思也是把把2/3千米平均分成兩份，取其中的一份是多少？分數除以分數為了弘揚奧林匹克精神，小紅也發誓要進行體育鍛煉 ，他7/12小時跑了5/6千米，那麼小紅的速度是多少？
5/6除以7/12 5/6千米對應7/12小時，要想知道一小時跑多遠，就要先知道1/12小時他跑了多遠再乘12就可以了，那麼問題轉化，先要知道1/12小時跑多遠 ，5/6千米對應7/12小時，那麼先用5/6除以7就能知道1/12小時跑多遠再成12連起來是
剛剛前一步解決了分數除以整數，所以
那麼最後
作為一個正在補初中數學知識的高二生來回答你這個問題～從為什麼"為什麼"那裡開始看吧。
關於「底層」一詞，提問者想表達的意思是不是「最根源」？
事物的起源本身就具有一定意義。
提問者如果看到這個回答也回答一下我的問題吧，你在生活中是不是比較有自己的主見或喜歡思考哲學方面的問題？我為他們不懂得思考卻隨意指責嘲笑思考的人感到可悲。除法是乘法的逆運算，這個回答的意義你也沒有懂得。簡單的說，這樣做，你可以把除法變成乘法來做，用乘法的思維做除法運算。這個真的很酷！也許你用分數計算的時候沒有覺得，如果你用小數，你就會發現，原來
強迫症？糾結於無意義的為什麼，好熟悉的感覺。我建議你買幾本關於強迫症的心理書看看。 你就找哪些不停問為什麼的案例來看，只看符合你的案例就行，但是千萬別把其他案例往你身上套。每個人想法不同，我也不知道誰的書適合你，多看看不同人的。
在最初 沒有1 沒有+ 沒有= 沒有2後來隨著人類的進步 我們提出了1 +和=然後我們用1+1=定義了2
1+1=3也行啊 你就規定1+1=3、1+1+1=2了，完全沒問題啊 我們不需要為什麼1+1=3隻需要一個通行的規則來便於大家解釋這個世界。這樣你家熊孩子出去打三瓶醬油才不會拎回來兩瓶啊。 就像你問為什麼我代表自己，你代表對方，他代表第三者，它代表動物或無生命的一方。這本就是基本規則，社會運行的基礎。
「1+1=2」是個事實 就是把「1」那麼多的物質和另一些「1」那麼多的同種物質放在一起 （如果不出意外）會得到「2」那麼多的物質 這是我們這個世界裡的普遍規律 就是物質的穩定性 人人都可自行驗證 「1+1=2」也就是這個規律抽象的表述
而「1」、「2」、「+」和「=」都是人類規定的成體系的符號（「1」就是完整物體容易找到的數量里最少的那個） 所以必然是對的（所以樓上說「我們就是這麼說話的」） 所以「1+1=10」也可以是對的 只要我們總結的規律正確 對規律的表述準確你補充提問的關於「1+1=2」的問題讓我相信你需要的「底層數學意義」就是這些 那麼「除以一個數等於乘以它的倒數」的底層數學意義你就嘗試自己分析吧
--------------------------------------------------------------------------------------------------另外 關於「是誰告訴你們，這個世界1+1=2 的？」「1」、「2」、「+」和「=」和 「1+1=2」是我父親告訴我的（感謝他） 而上面的道理是我自己分析的 如果題主看了 請別忘記是我告訴你的 祝愉快！一加一等於二，和你說的乘除轉換，在性質上可不同。
1+1=2這相當於一個公理化體系的基本假設，或者說公理，它是從生活實際抽象而來，大家都認為是這樣，無需證明，是公理化體系推理的起點，所以你也沒辦法在同一個體系內證明他就是對的。類似的還有像物理學裡的定律，你只能從實驗中抽象，但永遠沒法通過理論去證明。
底層的原因是一開始它就是這樣被設定的，參照你的問題，我還可以問，為什麼1就是1它不是2？（對著一個蘋果我們會說這是一個而不會說這是兩個），倒數是一個簡單的分數，把一個單位分成某數份，除法也是均分，所以計算起來它們必定相等。人們使用計算以來就用這樣的除法，它是人為設定的一種概念，如果一開始給它其他的定義和計算方法也同樣可以（這個說法可能有點不嚴謹）。數學反映的是本質的關係而並非數字上面顯現的計算，數字、法則只是一種符號。
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