概率論或測度論與拓撲學有什麼交叉的研究方向嗎?
如題,可以是代數拓撲或微分拓撲
隨機過程可以定義熵產生。流形上的隨機過程的熵產生可以和流形本身的拓撲性質有關。錢敏先生有篇文章就是講這個The Entropy Production of Diffusion Processes on Manifolds and Its Circulation Decompositions
馬氏鏈的熵產生來自非對稱的圈,而考慮軌道繞圈的性質就非常類似於基本群。我有一篇關於馬氏鏈熵產生的working paper的prerequisite就講了不少代數拓撲,不過證明裡沒怎麼用到,主要是提供了直觀。
要說測度論與拓撲學,可以看看遍歷論。Peter Walters的遍歷論引論里就是先講測度空間的遍歷論、熵理論,再講拓撲空間的遍歷論、熵理論,然後將兩邊聯繫起來。
謝邀。
最近很多這種問題,都是在問什麼方向跟什麼方向有沒有交叉研究。這種問題實在不好答,因為這些方向的含義都太泛了。。就比如測度論和拓撲,這本身就是有密切聯繫的;在基礎知識學習階段,你就不可能拿一把刀把拓撲和測度乾乾淨淨地切成兩半。比如局部緊拓撲群上有Haar測度,不好意思我又把群論扯進來了,但沒辦法啊,這些都是測度論的基礎知識啊,幾十年前Borel寫測度論教材的時候就把Haar測度包括進去了啊。。
至於說研究前沿,我覺得現在沒有人會說自己是專門研究測度論的吧。這更像是一個基礎工具箱,而不是一個學科方向。拓撲和概率論的研究前沿自然風格迥異,但也會有交叉;做概率論的人對於點集拓撲的基礎知識應該都是知道的,因為這些東西太基礎了。。至於真正在前沿方向上交叉的,我知道有做 概率幾何 的,會用到抽象代數幾何和概率論,但是他們具體研究什麼樣的問題其實我也不是特別清楚。
看到測度和拓撲我的大腦就直接生成了tangent measure, rectifiability...
不知道Lindenstrauss他們的stiffness of measure算不算...
還有一群Kakeya type problems。就是給一組歐式空間內的有某種有幾何指標的代數簇構成的集合,然後研究集合的Borel測度性質,比如n維空間裡面包含了任意方向線段的集合,包含任意半徑的球面的集合,包含任意邊長的正方體的表面的集合,包含球心在任何位置的球面...
當然有一個經典的問題就是一類perculation集合的連通性問題...
還有一類問題乾脆就叫quantum geometry了,詳細請看scott sheffield的頁面吧,我的關於QG知識儲備也就是知道一個人名而已...我最近剛做的結果就是用概率方法研究random graph的拓撲性質。。算是Topology+Probability+Combinatorics吧。
估計大家也不感興趣細節,等我把paper寫完再說了。。
我覺得最可能相關的是做moduli space或者流形上的dynamic system和概率論,測度論的關係。比如說Dynamic system的Entropy theory可能就與概率論有直接的關係。
測度論作為一個數學的基本語言,出現在任何地方都是有可能的,比如3-manifold的measure foliation。從廣的來講,怎麼數數也是一個測度的問題,那任何數數的過程也可以認為是跟測度論有關。。
smooth ergodic theory就是啊。
遍歷論啊
有人說了關於TDA和隨機單形的方向,下面是一些補充。
大多數人說TDA(topological data analysis)的時候說的都是persistent homology的數據分析。大意是一種在空間中的大數據點集中找尋幾何性質的方法。用的是同調論和同倫的工具,所以找尋的「幾何性質」是betti數,很多情況指的是不同維度的「洞」。一個同調論的範疇裡面complex是需要被定義的,當這個complex是作為隨機變數出現的時候,就可以考慮它的隨機betti數。可以考慮這個random variable的betti數的大數法則,中心極限定理之類的性質,就可以分析最開始的這個分布的「幾何性質」,也可以做一些machine learning的事情。
本來想多寫點,可是太多的解釋寫起來也真麻煩。
這種交叉還是很有意思的,給了TDA理論很多新的啟發。
Topological Data Analysis? (不要問我細節,我也不懂...)
https://sites.google.com/site/nips2012topology/
- Random simplicial complices. 只是系裡有教授從事這個方向,具體本人也不太了解。大概想法就是對於simplicial complex這種組合物件下手,引入隨機性,考察拓撲性質的分布。想要回答的問題就是在所有流形中,「大多數」流形長得怎麼樣? Ohio state Univ有一位年輕教授就是這個方向。
- 這個都不只算是研究方向,應該是基本的工具和思路。只要state space上有合適的度量,就能用G.H. Convergence 考察scaling下的limiting shape。因為本質上都是universality的問題,所以這個方向下有超級多open problem。譬如,first passage percolation中metric ball的shape, random homomorphism的shape (conjectured to be Gaussian Free Field) 等等。
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