概率論或測度論與拓撲學有什麼交叉的研究方向嗎？

如題，可以是代數拓撲或微分拓撲

隨機過程可以定義熵產生。流形上的隨機過程的熵產生可以和流形本身的拓撲性質有關。錢敏先生有篇文章就是講這個The Entropy Production of Diffusion Processes on Manifolds and Its Circulation Decompositions

馬氏鏈的熵產生來自非對稱的圈，而考慮軌道繞圈的性質就非常類似於基本群。我有一篇關於馬氏鏈熵產生的working paper的prerequisite就講了不少代數拓撲，不過證明裡沒怎麼用到，主要是提供了直觀。

要說測度論與拓撲學，可以看看遍歷論。Peter Walters的遍歷論引論里就是先講測度空間的遍歷論、熵理論，再講拓撲空間的遍歷論、熵理論，然後將兩邊聯繫起來。

謝邀。

最近很多這種問題，都是在問什麼方向跟什麼方向有沒有交叉研究。這種問題實在不好答，因為這些方向的含義都太泛了。。就比如測度論和拓撲，這本身就是有密切聯繫的；在基礎知識學習階段，你就不可能拿一把刀把拓撲和測度乾乾淨淨地切成兩半。比如局部緊拓撲群上有Haar測度，不好意思我又把群論扯進來了，但沒辦法啊，這些都是測度論的基礎知識啊，幾十年前Borel寫測度論教材的時候就把Haar測度包括進去了啊。。

至於說研究前沿，我覺得現在沒有人會說自己是專門研究測度論的吧。這更像是一個基礎工具箱，而不是一個學科方向。拓撲和概率論的研究前沿自然風格迥異，但也會有交叉；做概率論的人對於點集拓撲的基礎知識應該都是知道的，因為這些東西太基礎了。。至於真正在前沿方向上交叉的，我知道有做 概率幾何 的，會用到抽象代數幾何和概率論，但是他們具體研究什麼樣的問題其實我也不是特別清楚。

看到測度和拓撲我的大腦就直接生成了tangent measure, rectifiability...

不知道Lindenstrauss他們的stiffness of measure算不算...

還有一群Kakeya type problems。就是給一組歐式空間內的有某種有幾何指標的代數簇構成的集合，然後研究集合的Borel測度性質，比如n維空間裡面包含了任意方向線段的集合，包含任意半徑的球面的集合，包含任意邊長的正方體的表面的集合，包含球心在任何位置的球面...

當然有一個經典的問題就是一類perculation集合的連通性問題...

我最近剛做的結果就是用概率方法研究random graph的拓撲性質。。算是Topology＋Probability＋Combinatorics吧。

估計大家也不感興趣細節，等我把paper寫完再說了。。

我覺得最可能相關的是做moduli space或者流形上的dynamic system和概率論，測度論的關係。比如說Dynamic system的Entropy theory可能就與概率論有直接的關係。

測度論作為一個數學的基本語言，出現在任何地方都是有可能的，比如3-manifold的measure foliation。從廣的來講，怎麼數數也是一個測度的問題，那任何數數的過程也可以認為是跟測度論有關。。

有人說了關於TDA和隨機單形的方向，下面是一些補充。

大多數人說TDA(topological data analysis)的時候說的都是persistent homology的數據分析。大意是一種在空間中的大數據點集中找尋幾何性質的方法。用的是同調論和同倫的工具，所以找尋的「幾何性質」是betti數，很多情況指的是不同維度的「洞」。一個同調論的範疇裡面complex是需要被定義的，當這個complex是作為隨機變數出現的時候，就可以考慮它的隨機betti數。可以考慮這個random variable的betti數的大數法則，中心極限定理之類的性質，就可以分析最開始的這個分布的「幾何性質」，也可以做一些machine learning的事情。

本來想多寫點，可是太多的解釋寫起來也真麻煩。

這種交叉還是很有意思的，給了TDA理論很多新的啟發。

Topological Data Analysis? （不要問我細節，我也不懂...）

https://sites.google.com/site/nips2012topology/

1. Random simplicial complices. 只是系裡有教授從事這個方向，具體本人也不太了解。大概想法就是對於simplicial complex這種組合物件下手，引入隨機性，考察拓撲性質的分布。想要回答的問題就是在所有流形中，「大多數」流形長得怎麼樣？ Ohio state Univ有一位年輕教授就是這個方向。
2. 這個都不只算是研究方向，應該是基本的工具和思路。只要state space上有合適的度量，就能用G.H. Convergence 考察scaling下的limiting shape。因為本質上都是universality的問題，所以這個方向下有超級多open problem。譬如，first passage percolation中metric ball的shape, random homomorphism的shape (conjectured to be Gaussian Free Field) 等等。