為什麼Mumford要引入stable bundle？如何理解stable bundle？

01-03

Stable vector bundle
本來想問的比標題多一些的，可惜知乎問題有字數上限，只好把問題放在說明裡面了。

Stable vector bundle最早由Mumford定義，隨後在Kobayashi–Hitchin correspondence的猜想中成為了關鍵性的條件，並最後由Donaldson–Uhlenbeck–Yau theorem解決。最近讀了一點點Uhlenbeck-Yau，對這個條件產生了好奇。
1.Wikipedia認為stable bundle是Mumford在1963年定義了。在那個時代為什麼Mumford會引入這樣一個定義呢？

2.從wikipedia來看，Kobayashi–Hitchin correspondence之所以有其猜想，是高維推廣了Narasimhan Seshadri (1965)。那麼（無論從哪一組人出發）為何stable bundle會成為這個結論中的一部分？
3.stable bundle有沒有wikipedia page上這樣標準定義以外的好的定義？
特別是3.因為我自己是學幾何分析的，很長一段時間裡stable意味著該對象是某個能量泛函的極值點。能否有直觀的方法從這個角度來考察stable bundle？

模問題可以用stack, 也就是fibered category in groupoids使得所有decent datum有效, 來表達. base可以取流形或者概型範疇, 帶上相應的grothendieck topology.

而為了這個stack是可表的, 必要條件是需要限制對象,使得他們的自同構群成為平凡群.

於是如何限制模問題分類的對象, 使之產生的stack的每個對象自同構平凡就是一個值得考慮的問題. 這是Mumford引入穩定性的原因. 並且他發展了GIT來做商, 來得到模問題的表示.

然後他就算出來, 按他的穩定性定義, 得到的就是所謂的穩定和半穩定的向量叢. 而且也不負期望, 現在stable bundle的自同構只有scalar, 於是做GIT商的時候把scalar模掉就只剩平凡自同構了.

包括stable curves也是同樣的想法.

至於變分的問題, 變分的方法在黎曼曲面上是比較好看的, 儘管高維的證明也不太需要這麼看. Kempf-Ness定理說, 考慮一個Moment map模長的最小值也可以得到半穩定點, 所以Atiyah-Bott就用Yang-Mills泛函考慮了這個問題, 而Donaldson則遵照這個精神給出了代數曲線(就是N-S定理)的新證明, 代數曲面上的證明. 然後才有了Uhlenbeck-Yau.

Atiyah-Bott的文章和Donaldson對代數曲線的證明裡, 變分的看法還是很明顯的. 不過我不認為這可以作為穩定的直觀定義.

現在大家比較接受的都是wiki里那種樣子的定義.

至於為啥Narasimhan-Seshadri也走向了這個定義, 實際上還有點八卦. 據說當時他們已經知道了基本群的酉表示(這個時候要平坦叢, 更一般的是投射酉表示)要對應到一種特定的向量叢的條件上, 並且基本上已經有他們定理的雛形了, 然而卻還不知道如何對這種向量叢進行表述. 然後你看Mumford的文章出來的那個時間點, 於是他們一下子就知道這是他們想要的, 於是就得到了他們定理的表述. 這個故事是上周剛剛聽孫xt講的...

1.因為Mumford這輩子最重要的工作是GIT，引入stable bundle也是基於研究模空間的考量。構造模空間需要quotient by automorphism group（通常不是isolated）。我個人不懂GIT（在巴黎的時候有人看我做工作用了下flip就覺得我懂GIT，其實有時候只要懂一個例子就足夠寫文章，尤其是我只是個做辛幾何的，不用general case），然而大致想法是你需要拿掉一些壞的點，限制在stable points做quotient，才能得到一個好的quotient。

2. Narasimhan-Seshadri就是研究曲線上stable bundle的模空間（其實更早的研究應該追溯到Atiyah，他研究了橢圓曲線上的stable bundle並確定了它的模空間，可以想像這基本上reduce到Abel-Jacobi理論），而Atiyah-Bott把它和Yang-Mills connection（http://www.math.toronto.edu/mgualt/Morse%20Theory/Atiyah-Bott.pdf）聯繫起來了，Kobayashi-Hitchin就是推廣這個聯繫到高維。這就是為什麼研究gauge theory有代數和分析兩套方法。代數幾何學家考慮moduli space of (semi-)stable coherent sheaf，而微分幾何學家考慮moduli space of Yang-Mills connection，或者flat-connection。Donaldson thesis的問題是Kobayashi-Hitchin correspondence，但是他卻受這個問題的啟發，做出了Donaldson theory。

我建議你多讀讀Donaldson的文章，他是這個方向最權威的人物。雖然他沒對Kahler manifold證明general case的Kobayashi-Hitchin correspondence，然而他對algebraic manifold有個簡單證明，發在Duke上。丘成桐教授認為，Kobayashi-Hitchin correspondence應該叫做Donaldson–Uhlenbeck–Yau定理，但Dominic Joyce教授明知如此還堅持管它叫Kobayashi-Hitchin correspondence。