共形場論中徑向量子化（radial quantization）的問題？

01-03

共形場論中radial quantization中用算符D代表的尺度變換代替哈密頓H代表的時間平移變換，對時空進行分解。
第一步就是分解為一個徑向和低一維的球面。後面還可以把它做變換，讓其共形等價於一個柱面。
但即使對於閔氏時空我也很難想像，取了dr之後，如何把剩下的一個既有時間指標又包含空間指標的東西看成一個球面，是做了歐式化嗎？

還有D是徑向方向上相對應的生成元，就像哈密頓量之於平移一樣，但是H對應的算符表示 $partial_{t}$ ,可以明顯的看出是時間平移。而D作為生成元的徑向平移 $partial_{r}$ ,如何與D的算符表示 $-i(x^{mu}partial_{mu}+Delta)$ 等價，希望有數學嚴格的說明而不是直觀的去想
謝謝

Radial quantization is done in Euclidean space. In particular the small parameter in the OPE in Lorenzian space is indeed the Lorenzian separations, which vanishes on light cones. So you simply cannot sensibly separate operator products with spheres. This is why radial quantization cannot be done in Lorenzian space.

Note that from the Euclidean space, you can either Wick rotate the plane or Wick rotate the cylinder. The two resulting Minkowski spaces are not the same but related by a conformal transform.

As for your second question, note:

x^mu partial_mu = r partial_r = partial_tau

where r = e^tau and tau is the Euclidean time on the cylinder. So the statement is not that D = H on the plane, but rather D_plane = H_cylinder.

The Delta piece comes from the conformal factor between the plane and the cylinder.

phi_plane = e^{-tau Delta} phi_cyl

, we can go backwards. Like you said, for an Euclidean time translation we simply have:

[D_plane, phi_cyl] = [H_cyl, phi_cyl] = partial_tau phi_cyl

Then on the plane:

[D_plane, phi_plane] = [D_plane, e^{-tau Delta} phi_cyl]

=e^{-tau Delta} [D_plane, phi_cyl]

=e^{-tau Delta} partial_tau phi_cyl

=(partial_tau + Delta ) (e^{-tau Delta} phi_cyl)

=(r partial_r + Delta ) phi_plane

謝邀。

是做了歐氏化，或者叫Wick rotation.

討論1+1維的情況，以我naive的理解，簡言之Wick rotation就是定義虛時 $au=it$ ，這樣做使得時間坐標和空間坐標可以以虛數 $i$ 為係數線性組合，從而可以定義復坐標及其坐標變換。共形場論（CFT）是共形變換下不變的場論，而2維共形變換就是復坐標之間的全純坐標變換，因此引入復坐標是很有必要的。

具體可以這樣看，假設有一個定義在圓柱 $S^1 imesmathbb{R}$ 上的CFT，圓柱的母線是時間方向 $t$ ，與母線垂直的那個方向是空間方向 $x$ （空間方向是一個圓，具體的例子比如closed string theory），利用坐標變換 $w=it-x, ar{w}=it+x$ 就定義了復坐標，再利用共形變換（全純函數） $z=e^{-2pi iw/L}:S^1 imesmathbb{R} omathbb{C}$ ，其中 $L$ 是圓柱的周長，這就得到了一個平面 $mathbb{C}$ 上的理論，它的逆過程就是把平面上的理論變換成圓柱上的理論。這樣把平面上的徑向和圓柱上的時間方向等同起來了，平面上CFT的算符的徑向排序就是圓柱上CFT算符的編時排序。

平面的坐標下dilatation operator是 $x^{mu}partial_{mu}=rpartial_r=zpartial_z+ar{z}partial_{ar{z}}$ ，這裡的 $x^{mu}$ 和 $r$ 是平面的時空坐標，不是圓柱上的，滿足 $r=|z|=e^{2pi t/L}$ ，因此

$partial_t=frac{partial z}{partial t}partial_z+frac{partial ar z}{partial t}partial_{ar z}=frac{2pi}{L}(zpartial_z+ar zpartial_{ar z})=frac{2pi}{L}rpartial_r$