在物理學中混沌理論（非線性動力學）和量子力學理論之間有何區別與聯繫？
謝謝邀請。
我猜題主可能是在想Chaos的被謬傳的「不可預測性」和量子測量的隨機性之間的聯繫？
在此我需要再一次的科普：
混沌（或Chaos）（其實我不想用「Chaos」或是「混沌」這樣的詞，因為它的文學意義和數學意義截然不同，容易使得非專業人士產生誤解）是一個數學概念，它不意味著不可預測性和隨機性，Chaotic system是確定的動力系統，只是在模擬上因為Chaotic system中的相鄰軌線的指數分離以及數值模擬中的誤差的存在，會使得模擬必然無法在比較長的時間尺度上保證其準確性。但是不意味著Chaotic system本身是具有不確定性的、不可預測的系統。以及再插入補充一下：上面其他人回答中所說的「量子不確定性導致複雜非線性系統產生混沌現象？」這種說法是錯誤的。混沌現象是由系統本身決定的（即具體的方程形式，其中的參數和初值都是確定的），而不是變數或參數自身的不確定性導致的。
而目前人們所最為廣泛的認同的是：量子力學中的隨機性是真正的隨機性，在微觀的量子體系中，會帶來真正的不可預測性，這是體系本身的性質決定的，而不是模擬或測量誤差導致的。
關於Chaotic system，可以看這幾個答案中所涉及的相關內容：混沌現象可以預測嗎? - 知乎用戶的回答既然現實世界是非線性的，那麼線性方程和線性規劃能解決的問題豈非太少？ - 知乎用戶的回答量子不確定性與混沌理論中的不確定性是有著本質的不同的。
混沌理論中的不確定性起源於確定性方程，它其實是一種數學機制，而不是物理效應，它與物理過程無關。一個混沌系統由它的動力學方程所決定的，它並不局限於物理。經濟學、社會學、化學、生物、生態學、通信、電網、等等幾乎每個領域都存在著這種不確定性。比如說一種非常典型的混沌系統就是股票市場。而量子力學中的不確定性卻是一種物理機制，而與數學無關。說到底，混沌理論講的是某一個完全確定的過程，由於數學上的特徵，表現出一種完全無法預測的行為；它包括：
- 它是決定論過程
- 它的演化對初始條件極端敏感
- 相空間的拓撲混合性
而量子不確定性卻是它「本身」的性質，「不確定」就是微觀粒子在測量時表現出的內稟隨機性。而對於一個經典的混沌系統，原則上，它需要一個不確定的種子，才能夠成為不確定性。也就是說，一個極其微小的觀測誤差就會被一瞬間放大到整個系統的宏觀尺度。
有一種非常流行但是是完全錯誤的觀點，它是這樣的：
經典系統原則上是不存在不確定性的（拉普拉斯之妖）。而恰好，微觀粒子都是不確定的，那麼這種微觀不確定性就是一個非常好的種子。自然界對微觀粒子的最高解析度已經被不確定原理所限定死了，雖然說這個解析度已經是極高極高的了，但是在混沌系統對不確定性的恐怖的數放大作用面前，也會在短時間內崩潰掉。所以，不確定原理和混沌理論在一起，完美地顛覆了決定論：關於拉普拉斯之妖的爭論已經可以落幕了！
這個觀點錯在哪裡呢？這涉及到經典與量子之間的邊界和過渡問題。
我們說，確定性混沌所研究的是經典的確定性物理定律。這個前提就是，我們忽略掉微觀不確定性，運用經典的決定論方程來描述物體的演化。當我們考慮微觀不確定性時，意味著我們已經不能用經典的確定性混沌理論來描述系統演化了，而必須取而代之用量子力學來描述。如果在使用經典定律時中間夾著不清楚的量子不確定性，就會變得混亂。把不確定原理硬套進經典框架下的混沌理論，肯定會出現錯誤。
這裡的關鍵問題在於，當我們引入量子力學來描述一個系統的時候，我們會發現，根本就不會發生對初始條件敏感的現象，也就是說，根本就沒有混沌現象出現了！這是因為，和牛頓定律的非線性方程相比，量子力學的基本方程（薛定諤方程）是線性的。而線性系統不存在混沌！
為什麼這樣呢？混沌的核心是什麼？是演化軌跡、是相空間結構的無限精細化。正是基於確定的位置和動量的定義，相空間的結構才能夠不斷地迭代，精細化，形成分形結構。某一個初始點出發的演化軌跡才能夠不斷地在相空間中穿梭，它最終能夠以無窮小的距離經過相空間中的每一個相點（龐加萊初態復現），但是永遠不會重複自己已經走過的路徑。這是混沌的基本特徵：無限精細化。而不確定原理卻不允許一個無限精細的狀態出現，系統的演化在經典相空間中，就是存在一定「寬度」的「軌跡帶」。那麼系統在演化的過程中，很快就會與自己前面所經歷過的「軌跡帶」重疊。重疊就意味著系統返回到初始狀態，它就進入到一種有規律的周期運動或擬周期運動的狀態。
事實上，不確定原理的引入，使得混沌系統的混沌特性受到嚴重抑制。這些早已經經過了大量實驗驗證了。在某些量子-經典邊界的系統中，人們發現，系統一開始表現出明顯的混沌特徵，但是隨著時間的推進，當經過一定時間以後，系統的演化會慢慢變為周期運動，而一開始展現出來的混沌特徵消失了！
所以說，量子力學和混沌是不相容的，量子力學中不會出現混沌現象。
這再一次讓人迷惑了：既然量子力學描述的系統在宏觀上就表現為牛頓定律，那麼，在微觀向宏觀過渡的過程中，整個行為模式的變化應該是自然而然、水到渠成的。為何微觀中不存在的混沌，在大量微觀粒子的總和中，就會突然出現了呢？我們在宏觀系統中所觀察到的混沌，「蝴蝶效應」難道都是一種幻覺嗎？
這就是我前面說的，量子力學最核心的難題之一：量子-經典過渡問題。
現在關於量子混沌的研究，有一點是有共識的，就是量子混沌（quantum chaos）是個誤解，它是不存在的。而量子混沌起源（quantum chaology）才是一個存在的問題。請原諒我語言的匱乏，我實在是難以用確切的語言把上述兩個術語簡單地說清楚。簡單說，就是量子系統中不可能存在混沌，但是在經典系統中卻到處都有混沌的特性，宏觀的混沌與微觀的線性演化（幺正演化）之間，存在著一條巨大的鴻溝。在微觀向宏觀過渡的過程中，這條鴻溝怎樣才能填平？
這是關於量子混沌研究中的核心問題。
對這個問題有一種看似合理的理論（只是其中之一），就是說，量子系統時時與環境處於糾纏狀態，而我們所關注的系統不可能包含這些糾纏的信息（糾纏熵），所以系統一直處在退相干的狀態，這成為非線性的起源，也就是宏觀混沌的起源。
聯繫是都是物理理論。除此之外幾乎是完全獨立的東西。
混沌是決定論的框架中出現的不可預測性，就是說，雖然給定初值之後物理系統是確定的，但由於對初值的敏感依賴，在操作層面上根本無法確定物理系統的運動狀態。
薛定諤方程則是在公式里出現了概率，或者說量子力學的廣義詮釋把概率本質化了。例如一個在無線深方勢能井中的粒子，它的物理本質就決定了它可以出現在任何位置。但在經過多次測量後（需要注意的是，對一個粒子只能做一次測量，然後測量很多個相同的體系），它出現位置的頻率會趨於某一種分布，而這種分布是確定的。所以量子力學的本質就是概率的，但概率分布是決定的。個人覺得二者完全不同。混沌系統理論上是無規律的，雜亂無章的，極度複雜的，但是目前所做的所有模擬其實都是確知的，只不過函數十分複雜，難以用確知式子表示。而且前期極其微小的偏差會在後期有天壤之別，混沌的產生很多，個人比較熟悉的是遞歸。通信中一般要在載波中出混沌，用馬赫曾德爾加激光器和循環線路。下學期要搭硬體做實驗了 但願能做起來。
我來答我來答，這是我的量子力學大作業小論文，做這個模型的時候感謝 @AI Euler@Summer Clover 兩位大神的幫助。。。雖然我做的計算模型很爛。
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我這裡是想說對於物理現實中的一個封閉的混沌系統，給定完全精確的初值以後一定會走向不同的結果。因為你根本不可能給定一個完全精確的初值。同時也無法避免來源於環境的微擾。
借用Euler的話這個擾動也不一定非要由量子體系來產生，事實上在現實生活中宏觀系統，溫度那麼高環境那麼複雜，量子效應大多數都沒了，但是熱力學體系中本來也到處都是擾動了，這只是初值、參數的隨機性，和混沌系統本身沒關係，因為擾動到不同的數值相當於是另一個不同的系統了。
用一個極端的例子，在劉慈欣小說《鏡子》中，給定了宇宙的爆炸發生，人們可以獲得一個完全相同的宇宙。但其實這是不可能的。
所以混沌系統實驗的結果是不可重複的
關於數學意義上的混沌系統，請本題中參照Euler的回答。
## Introduction
量子系統存在其內在隨機性，而通常經典力學觀點下的宏觀下的非線性系統雖然存在其不可預測，但是我們並不能說其存在內在隨機性，也就是說，根據貝爾不等式，宏觀下的非線性系統在每個時刻存在真實而明確的值，但是量子系統卻並非如此。我們都知道，所謂「蝴蝶效應」在非線性系統中的重要意義。即一些非線性系統可以將一個很小的干擾放大，我們的興趣點在於，除過一些精巧設計的實驗（比如薛定諤的貓），量子的內在不決定性是否在一些常見的非線性現象裡面扮演的微擾的角色。亦即，定性研究下真實物理環境下，因為量子力學的內在不確定性造成的圍繞，封閉的（不可被外部觀測到的）宏觀非線性現象是否在每一個時刻並不存在真實而明確的值。
本文希望研究量子力學意義下的不確定性在一些常見的非線性物理現象，是否可以引發宏觀上的隨機性的問題中，我們需要處理幾個問題，
第一，定性研究在理想的系統環境中，量子力學效應是否有可能被放大到足以影響到現實的數量級。
第二，引入環境的因素，使用多個二能級系統表示環境對於系統運行軌跡的干擾，在非線性系統的運行過程中，環境的複合作用是否會導致不確定的結果（或者因為統計學效應使得物理系統走向確定的軌跡，就像熱力學系統那樣）第三，如果在多個宏觀系統中存在處於糾纏態的量子對（或者多體），那麼這些系統是否有可能在宏觀上表現出一定的對偶性（即系統運行結果是否存在一定規律）## 非線性系統對於量子力學效應的放大
非線性系統的典型代表奇怪吸引子的常微分方程組可以寫成而真實的情況下，量子效應發生在普朗克常量的數量級，如果一個量子效應希望影響宏觀，他至少有被放大33個數量級的可能性，受制於MATLAB默認在20個數量級的計算精度，我們取11個數量級的跨越來說明問題。
這裡，我們選取奇怪吸引子作為典型的非線性系統。我們將看到，理想狀態下的奇怪吸引子可以把一量子效應帶入宏觀。
### 模擬實驗設計
這裡我們設計奇怪吸引子在初始條件存在一微弱干擾，其干擾為-11個數量級，由某個二能級系統的坍塌引起，比如電子自旋，因而是真隨機現象。我們取奇怪吸引子的參數為sigma = 10;
r = 28;b = 8/3;取dt=1e-5，做顯式時間步的ODE求解.
function [resx,resy,resz] = TaoTrack( x0,y0,z0 )
%TaoTrack 此處顯示有關此函數的摘要 % 此處顯示詳細說明res = zeros(3,3);
res(1,:)= [x0,y0,z0]; dt = 5e-3; sigma = 10; r = 28; b = 8/3; for i = 2:1000000 tmp = res(i-1,:); x = tmp(1); y = tmp(2);z = tmp(3);
dx = -sigma*(x-y)*dt;
dy = (r*x-y-x*z)*dt; dz = (x*y - b*z)*dt; res(i,:) = [x,y,z]+[dx,dy,dz]; end resx = res(:,1); resy = res(:,2); resz = res(:,3); end如圖，可以得到出發點為10和10+1e-10的對比圖。
可見在高達1000000的時間步後，曲線的軌跡發生了明顯的偏移。
奇怪吸引子和湍流常常存在一些關係。這裡超出了我們的討論範圍，我們認為使用這個十分簡單的模型可以看到，在宏觀中發生的某些事物，比如近似於真隨機的白雜訊，有可能有其源於量子力學的內在隨機性的本質。
## 環境的作用
在一般的符合統計學規律的宏觀系統中，漲落會引導系統走向相同的軌跡，而在非線性系統中並非如此。所以我們可以通過簡單的計算模型來定性的驗證統計學意義上的大量很小的量子內在隨機性的干擾項會使得系統的運行軌跡存在真正意義上的隨機性。
驗證了量子力學效應有可能被放大到足以影響到宏觀的數量級之後，我們可以放寬量子系統對於宏觀擾動所需要跨越的數量級。
我們引入多個兩能級系統作為環境部分，假設兩能級系統會對迭代過程中的dx/dt隨機進行加1e-5和減1e-5的操作。
function [resx,resy,resz] = TaoTrackEnv( x0,y0,z0 )
%TaoTrack 此處顯示有關此函數的摘要 % 此處顯示詳細說明res = zeros(3,3);
res(1,:)= [x0,y0,z0]; dt = 1e-2; sigma = 10; r = 28; b = 8/3;for i = 2:100000
tmp = res(i-1,:); x = tmp(1); y = tmp(2); z = tmp(3);dx = (-sigma*(x-y)+(rand() &>0.5)*1e-5 )*dt;
dy = (r*x-y-x*z)*dt; dz = (x*y - b*z)*dt; res(i,:) = [x,y,z]+[dx,dy,dz]; end resx = res(:,1); resy = res(:,2); resz = res(:,3); end如果兩個系統在環境的作用下演化，最終「分道揚鑣」，那麼我們知道環境的複雜作用使得宏觀系統可以呈現出真隨機的特性。
## 糾纏態的影響
這裡，我們認為兩個非線性系統處於糾纏態的意味著兩個非線性系統有一定數量的環境干擾符合能級
之所以說一定數量，是因為如果全部的干擾項都符合上面的式子則會造成兩個系統的運動軌跡完全一致，這是我們所不需要驗證的。
我們可以對比部分處於糾纏態系統和全部互相隨機系統對的差值，來看是否兩個宏觀系統之間存在一定量子糾纏會使得宏觀系統出現一定的對偶性。
但是在這裡的研究中，我發現非線性系統一定會講一點點微弱的錯誤放大，也就是說如果不是全部環境干擾都處於糾纏態（這是很難的），否則宏觀系統的對偶性很難收到量子系統的干擾。
## 結語
這裡使用了幾個簡單的計算模型得到了量子內在隨機性對於宏觀系統的影響，驗證了宏觀系統可以存在內在的隨機性，但是對於一些常常試圖借用科學概念來包裝自己的玄學（諸如現代版的宗教算命）所說的宏觀系統的內在巧合存在，無法給出合理的計算模型來驗證。
有待進一步計算和思考。我來扯兩句，物理界中沒有絕對線性動力學， 而量子力學就是從微觀種看molecules的運動軌跡
如果你知道所有的初始信息，精確到無限位數，那麼，演變是決定的。就算你有了這樣精確的儀器，你還是無法得到所有初始信息，量子力學裡面，xp不確定性是有一個最小值，相同的還有其他conjugate variables.
非線性和量子物理是兩個完全不同的概念～
量子不確定性導致複雜非線性系統產生混沌現象？（補：）量子理論 和 動力學 兩個行業是獨立的 本質上是兩撥人在搞 和尺度關係不大 是不是最後發現合到一塊去了？比如說目前無法詮釋的量子里的概率是某種更精細結構和某種混沌結構的結合不是不可能 。理論物理學家和數學家就干過這事 膜搞來搞去發現就是流形 純是個名字不一樣。但是這種不必要的結構目前沒有實驗依據。 一個專註於行業內的人對細節很糾結 容易理解 把細節搞清很有助於推進常規科學。不過如果不是這個細分行業的話不過大可不必對該行業的術語過分在意。我理解題主腦洞較大，更關心的是混沌這種實驗現象，在宏觀和微觀是否有什麼像「分形」一樣的結構。所以在動力學裡用混沌命名的限定範式結構是不是對回答題主的疑惑有很大參考意義？（我其實是靠跳大神為生的那種腦洞很大的人, 和某答主比起來屬於另一個極端， 逃。。。
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