通信里星座圖到底是什麼意思啊?

01-03

看了好多書還是不甚理解

近幾日正好看了些這方面的資料，就順道答一下，雖然樓主的問題時間比較久遠了，但是希望能夠對再看到的人提供些思路。

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文章參考了很多前輩們的資料，參考文獻已在後面備註，如需請自尋。

感謝前輩！！！

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要說星座圖，要先從IQ調製說起：

IQ調製：

IQ解調原理：

t=-1:0.001:1;

f=1;

y=cos(2*pi*2*f*t);

subplot(1,2,1);plot(t,y);

y=sin(2*pi*2*f*t);

subplot(1,2,2);plot(t,y);

前面我們講了IQ調製和解調的原理，下來我們看一下如何應用IQ調製來實現MPSK調製（QPSK、8PSK等）、MQAM調製（16QAM、64QAM等）。

先來了解一下BPSK（Binary
Phase Shift Keying，二相相移鍵控）

如何用IQ調製實現QPSK調製？

%輸入信號

&>&>
subplot(4,1,1);

&>&> t=0:0.001:8;

&>&> d=[0 0 ;0.5 1;1 1;1.5 0;2 1
;2.5 1;3 0;3.5 0;4 0;4.5 1 ;5 1 ;5.5 0 ;6 1 ;6.5 1 ;7 0 ;7.5 0];

&>&>
s=pulstran(t-0.25,d,"rectpuls",0.5);plot(t,s) ;

&>&> axis([0 8 -0.5 1.5]);

&>&> text(0.25,1.2,"0") ;
text(0.75,1.2,"1") ; text(1.25,1.2,"1") ; text(1.75,1.2,"0") ;

&>&> text(2.25,1.2,"1") ;
text(2.75,1.2,"1") ; text(3.25,1.2,"0") ; text(3.75,1.2,"0") ;

&>&> text(4.25,1.2,"0") ;
text(4.75,1.2,"1") ; text(5.25,1.2,"1") ; text(5.75,1.2,"0") ;

&>&> text(6.25,1.2,"1") ;
text(6.75,1.2,"1") ; text(7.25,1.2,"0") ; text(7.75,1.2,"0") ;

% I路信號

&>&> subplot(4,1,2);

&>&> t=0:0.001:8;

&>&> a=1/sqrt(2);

&>&> d=[0 -a ;1 +a;2 -a;3 +a; 4 -a
;5 +a;6 -a;7 +a];

&>&>
s=pulstran(t-0.5,d,"rectpuls");plot(t,s) ;

&>&> axis([0 8 -2 2]);

&>&> text(0.5,1.5,"-0.7") ;
text(1.5,1.5,"+0.7") ;text(2.5,1.5,"-0.7") ;text(3.5,1.5,"+0.7");

&>&> text(4.5,1.5,"-0.7") ;
text(5.5,1.5,"+0.7") ;text(6.5,1.5,"-0.7") ;text(7.5,1.5,"+0.7");

% Q路信號

&>&> subplot(4,1,3);

&>&> t=0:0.001:8;

&>&> d=[0 +a;1 -a;2 -a;3 +a; 4 +a;5
-a;6 -a;7 +a];

&>&>
s=pulstran(t-0.5,d,"rectpuls");plot(t,s) ;

&>&> axis([0 8 -2 2]);

&>&> text(0.5,1.5,"+0.7") ;
text(1.5,1.5,"-0.7") ; text(2.5,1.5,"-0.7") ; text(3.5,1.5,"+0.7")

&>&> text(4.5,1.5,"+0.7") ;
text(5.5,1.5,"-0.7") ; text(6.5,1.5,"-0.7") ; text(7.5,1.5,"+0.7")

%QPSK調製信號

&>&> subplot(4,1,4);

&>&> t=0:0.001:8;

&>&> d1=[0 -a ;1 +a;2 -a;3 +a; 4 -a
;5 +a;6 -a;7 +a];

&>&>
s1=pulstran(t-0.5,d1,"rectpuls").*cos(2*pi*5*t) ;

&>&> d2=[0 +a;1 -a;2 -a;3 +a; 4 +a;5
-a;6 -a;7 +a];

&>&> s2=pulstran(t-0.5,d2,"rectpuls").*sin(2*pi*5*t);

&>&> plot(t,s1-s2) ;

&>&> axis([0 8 -2 2]);

&>&> text(0.3,1.5,"3pi/4") ;
text(1.3,1.5, "7pi/4") ; text(2.3,1.5,"5pi/4") ; text(3.3,1.5,"pi/4") ;

&>&> text(4.3,1.5, "3pi/4") ; text(5.3,1.5, "7pi/4") ;
text(6.3,1.5,"5pi/4") ; text(7.3,1.5,"pi/4") ;

QPSK調製的星座圖

星座圖，就是說一個坐標，如高中的單位圓，橫坐標是I，縱坐標是Q，相應於投影到I軸的，叫同相分量，同理投影到Q軸的叫正交分量。由於信號幅度有差別，那麼就有可能落在單位圓之內。具體地說，64QAM，符號有64個，等於2的6次方，因此每個符號需要6個二進位來代表才夠用。這64個符號就落在單位圓內，根據幅度和相位的不同落的地方也不同。從其中一個點跳到另一個點，就意味著相位調製和幅度調製同時完成了。」

QPSK的映射關係可以隨意定嗎？

還以發送數據是11為例，接收數據誤判為10和00的概率要高於誤判為01的概率。11誤判為10錯了1個比特，但11誤判為00卻錯了2個比特。

綜上所述，在相同的信道條件下，採用00?π/4、01?3π/4、10?5π/4、11?7π/4映射關係的QPSK調製的誤比特率要高於採用00?π/4、01?3π/4、11?5π/4、10?7π/4映射關係。

象00、01、11、10這樣，相鄰的兩個碼之間只有1位數字不同的編碼叫做格雷碼。QPSK調製中使用的就是格雷碼。

十進位數

自然二進位數

格雷碼

0000

0001

0010

0011

0010

0100

0110

0101

0111

0110

0101

0111

0100

1000

1100

1001

1101

1010

1111

1011

1110

1100

1010

1101

1011

1110

1001

1111

1000

如何使用IQ調製實現8PSK？

如何使用IQ調製實現16QAM？

註：前面講的PSK調製（QPSK、8PSK），星座圖中的點都位於單位圓上，模相同（都為1），只有相位不同。而QAM調製星座圖中的點不再位於單位圓上，而是分布在複平面的一定範圍內，各點如果模相同，則相位必不相同，如果相位相同則模必不相同。星座圖中點的分布是有講究的，不同的分布和映射關係對應的調製方案的誤碼性能是不一樣的，這裡不再展開去講。

利用IQ調製實現BPSK調製

參考文獻：（感謝前輩們）

通信基礎 - 星座圖的原理和應用

通信中星座圖簡介

http://blog.163.com/shadow_hier/blog/static/4051874220095873614689/

[原創連載]深入淺出通信原理（11月1日連載562：信息傳輸之基本概念）

坐標軸的度量單位是角度。

1.星座圖中，點到原點的距離代表的物理含義是：這個點對應信號的能量，離原點越遠，意味著此信號能量越大。

2.相鄰兩個點的距離稱為歐氏距離，表示的是這種調製所具有的的抗雜訊性能，歐氏距離越大，抗雜訊性能越好。

星座圖裡的點表示的是一種調製里可以判決的各種情況。比如一個簡單的PSK來說，就2種判決，相位相差180度，兩個點可以一個在正半軸，一個在負半軸。如果在星座圖中，各個點離得越遠，就是說明誤判的可能性會變小。如果還有不清楚的，再和我討論哈。

樓主不能理解星座圖，可能線性代數沒學透徹。先放結論，

信號星座圖是線性空間的延伸概念，便於更加方便形象地分析信號，它是信號分析的利器。

之前的所有答案已經很全面了，但是還是不夠清晰，我從頭至尾好好梳理下星座圖的由來。

數字調製

首先，需要說明調製的概念。調製通過改變正弦波的幅度，相位或者頻率，將基帶信號的信息載入到正弦波上。載入了基帶信息的信號稱為已調信號(modulated signal)，所有的帶通已調信號都可以表示成如下形式

兩個式子是等價的，其中的 $s_l(t)$ 就是基帶信號， $s(t)$ 是已調信號。

規範正交基

在線性代數中，任意的內積空間都有自己的一套規範正交基 ${v_1(t),v_2(t),cdots,v_n(t)}$ ，兩兩不同正交基之間的相互正交，每個正交基之間的內積為1。如下所示

$<v_m(t),v_n(t)> =egin{cases}1 m=n\0 otherwiseend{cases}$

有了規範正交基之後，任意一個函數都可以表示成所有的規範正交基的線性和，即

$s(t)=Sigma_{i=1}^n{c_iv_i(t)}$

其中

$c_i = <s(t),v_i(t)>$

藉助規範正交基的概念，就可以將任意複雜的信號 $s(t)$ 等價表示成一個與之一一對應的離散向量 ${c_1,c_2,cdots,c_n}$ ，它就是複雜信號 $s(t)$ 在這個規範正交基下的坐標。而且可以證明

$||s(t)||^2 = Sigma_{i=1}^n{c_i^2}$ $<s(t),q(t)> = Sigma_{i=1}^n{c_iq_i}$

通過簡單對應向量的加乘操作，就可以得到信號能量和信號之間的內積，將複雜的積分轉換成了簡單的坐標的加乘運算。

上面的圖片摘自Prokis的《數字通信》，所有的信號 $s_1(t),s_2(t),s_3(t)$ 都可以表示成 $phi_1(t),phi_2(t)$ 的線性和。最直接形象的例子就是三維空間，其中的三個正交基是 $x = (1,0,0)$ , $y = (0,1,0)$ , $z = (0,0,1)$ ，任意一個點都已表示成這三個正交基的線性和。

信號空間

再回到星座圖的問題，再仔細觀察一下之前的已調信號的表達式，

請注意，任意的帶通已調信號都可以表示成上面的形式哦！與之前的線性內積空間作比照，是不是可以理解為任意複雜信號都可以表示成正交基的線性和呢？

答案是肯定的，以 $v_1(t) = sqrt{frac{1}{T}}cos(2pi f_ct)$ 和 $v_2(t) = -sqrt(frac{1}{T}){sin(2pi f_ct)}$ 為規範正交基，所有的信號都可以表示成它們的線性和，

$s(t) = x(t)v_1(t)+y(t)v_2(t)$

兩相對照，而且可以發現 $[x(t),y(t)]$ 就是信號 $s(t)$ 在該規範正交基下的坐標！到了這一步，星座圖的概念就呼之欲出了。拿張紙，畫張圖，於是所有信號的表示就一目了然！

至於什麼同相分量，正交分量，I路信號，Q路信號，都是表皮，簡單說

$v_1(t)$ 的係數 $x(t)$ 是同相分量/I路信號， $v_2(t)$ 的係數 $y(t)$ 是正交分量/Q路信號。

它們都是信號 $s(t)$ 在坐標軸上的投影，或者說權重。

有啥好處？

你肯定要問了，信號就是信號，又是空間又是坐標的整這麼費勁幹嘛？

答案就是，為了分析簡單。之前說過一個很重要的性質，複雜信號之間的內積就是它們坐標的內積，信號的能量就是坐標的平方和。

$||s_i|| = sqrt{Sigma_{j=1}^{N}{s_{ij}^2}}$ $||s_i-s_k||=sqrt{Sigma_{j=1}^{N}{(s_{ij}-s_{kj})^2}}$

再結合星座圖看看，信號能量就是向量 $[x(t),y(t)]$ 的長度啊！是不是很簡省很直觀？！其實，這不是最主要的，以星座圖為基礎，研究信號在高斯白雜訊下的解碼性能，非常直觀非常順手。可以證明，在高斯白雜訊信道條件下，最大似然信號的誤比特率約是

$P_b = Q(frac{d_{min}}{sqrt{2N_0}})$

其中的 $d_{min}$ 就是星座圖中的所有調製星座點之間的最短距離，而且這個公式的推導離不開星座圖，這就是另一個話題了，按下不表。

下午認認真真讀了Fundamentals of Digital Communications (by Upamanyu Madhow)關於星座圖(constellation)的內容，終於記完這部分筆記了，有點開心。

數字調製按照多種分類方法中的一種，可分為線性調製(linear modulation)，差分調製(differential modulation)和頻率調製(frequency modulation)等。

而星座圖則是針對線性調製而言的一種映射圖。

其實在Madhow的書中，他是同時提到constellation和將bits stream映射為symbols時用到的alphabet的。（額，這句話好像有點繞）

在數字通帶調製中，我們將一個複數基帶信號等效表示為通帶的實值信號。這個複數基帶信號的實部和虛部分別叫做in-pase分量(I)和quadratic分量

(Q)。(這部分數學推導稍微有點繞) 總之，基帶信號是一個複信號，而且可以表示成下面這樣，也就是說，b[n]是複數。

如果是通帶調製(passband modulation)，也就是說如果{b[n]}是複數集，那麼我們將Re{b[n]}畫在x軸上，將Imag{b[n]}畫在y軸上，就得到了我們常見的二維星座圖。如4-QAM, 8-PSK，每一個點代表一個symbol b[n].

說明一下，我們可以寫出每一個symbol對應的坐標，比如我畫的b1點是(A,A)。對於每一個有M個symbol的星座圖，其中的任何一個symbol都可以和一個log2M大小的bits一一對應。比如左下圖，M＝4，所以這四個星座點都可以找到另一種用2bits表示的映射，比如，可以將b1映射為00，其餘三個則分別是01，10和11。這也就是我們通常看到的星座圖都是用這些bits標明的原因。