能否解釋下choice of collectral和multi-curve discounting？

看得一頭霧水，不知道是啥

簡單的說，金融危機之後，Libor 利率不再是無風險的。因此，對於 swap 的定價，以前用一條 discount curve 同時來做貼現和未來現金流的預期的做法就不再適用。現在的做法，是把 discount curve 和 forward rate curve 當作兩條不同的曲線，而不是像以前一樣，forward rate curve 是用 discount curve 算出來的。

具體原因大概幾方面吧。第一，現在的 swap 都是 collateralized ，就像上面的回答里 Piterbarg 的文章解釋的一樣，這個時候貼現率自然就是抵押物的利率。第二，市場上存在 tenor swap 和 basis swap，如果用 single curve discounting，他們的 spread 應該都是 0，這和實際是相反的。第三，對於 cross currency swap，如果也使用 single curve discounting，那麼 spread 也應該是 0 。當然，這個問題早在危機之前就已經存在，解決方法大概也是把 discounting 和 forward 分開。

更多細節可以看 Marc Henrard 的書， Interest Rate Modelling in the Multi-Curve Framework: Foundations, Evolution and Implementation，第一章。

Vladimir Piterbarg的這個lecture slides解釋的很好：

https://eu.spb.ru/images/ec_dep/Lecture_Posters/CollatFund_Slides_02.pdf

RISK 雜誌上的精簡版文章，具體多看文字部分：

http://zerizeblem.free.fr/RISK/2010_mar_funding%20piterbag.pdf

更加入門的可以看這本書的前幾章：

The XVA of Financial Derivatives: CVA, DVA and FVA | Dongsheng Lu | Palgrave Macmillan

簡單來說，當一筆OTC交易雙方沒有collateral的時候，基於使用Libor來借款Financing hedging position的假設，可以使用Libor來折現。

但是當雙方都post collateral之後，因為margin call的存在雙方會根據mark-to-market的價格變化來調整collateral的數量，並且多數情況下會對收到的collateral支付OIS利息（取決於雙方CSA）。這些利息的折現對於pricing的影響使得產品的價格應該使用OIS來折現而不是LIBOR（詳細推導見上面的reference）。

07年金融危機之前，Libor-OIS spread幾乎為零，所以用Libor或者用OIS來折現對於產品價格沒有影響。但金融危機之後Libor-OIS spread變大導致使用這兩個curve折現的價格差別不能再被忽視，於是有了multi-curve discounting.

關於理論和技術上的細節，前面兩位已經講得基本上差不多了。題主如果還感興趣的話，也可以看看這本書"Interest Rate Modeling: Post-Crisis Challenges and Approaches" by Zorana Grbac Wolfgang J. Runggaldier。 下面我主要來補充一點大背景吧。

其實，在金融危機之前，CCP中央結算和collateralization已經在OTC市場上存在一段時間了，但沒有制度化，雙邊的交易中使用質押物來降低風險更多是交易雙方為了降低風險的自發行為。在這一時期，質押物由於每日結算而產生的利息收益是以OIS rate來計算的，而絕大多數利率衍生品的payment是與LIBOR rate錨定的。但是，因為那時的LIBOR-OIS spread幾乎一直穩定在single digit bips，幾乎可以忽略不計且鮮有波動，所以，用LIBOR來做為discounting curve也不失為一個risk-free curve的不錯的proxy。

此外，當時業界普遍存在一個假設：所有利率掉期（OTC市場上volume最大，也最重要的利率衍生品）所產生的現金流再投資之後，都可以獲得和LIBOR rate相等的利息，這樣就使得選擇LIBOR作為discounting curve更加邏輯自洽。更不要說，用單一利率曲線作為forecasting和discounting curve所帶來的數學建模上的簡易性（multi-curve framework不可避免地要在數學模型中碰到valuation上的convexity問題和risk上的cross gamma問題）。

所以，在危機之前，沒有人有動機去費時費力implement multi-curve framework。當然，一切都因那場危機改變了：LIBOR-OIS spread一度高達200 bps，信用風險和流動性風險的嚴重性在危機中暴露無遺，沒有人再認為那些高評級的大銀行會真的永遠too big too to fail，因此，作為反映大銀行間無擔保借貸的平均風險程度的LIBOR rate就不再適合作為collateralized trade的discounting curve了。至於uncollateralized trade，在2010年Dodd-Frank Act出來之後，也全被要求補上collateral。所以，危機之後，OTC市場上的參與方，不論是出於風險規避，還是出於滿足監管要求，都非常有動機去做collateralized trades，並且選一條合適的discounting curve。加之，2010年六月之後，世界上最大的利率衍生品清算所LCH主動將所有頭寸改為OIS discounting，其他參與方（包括賣方的大銀行和買方的各路基金）也就自然而然地蕭規曹隨了。

至於choice of collateral，一般而言，CSA裡面會列出不止一種collateral供交易雙方選擇。這就牽扯到一個CTD(cheapest-to-deliver) collateral的問題。因為collateral所associated的discount rate會直接影響產品的定價和對沖，因此，交易雙方都有動機選擇「最便宜的」collateral（一般都是某G6 currency的cash）。但外行（甚至一些從業人員）都會將CTD collateral誤解為利率最低的currency，這主要是因為他們對OTC市場上衍生品的交易規則不熟悉。由於CTD的存在，collateral posting在交易過程中就產生了optionality，目前，各大銀行還沒有認真price in這個optionality，可能主要是因為技術難度不小（至少鄙行是這樣），所以，現在僅是簡單粗暴地把這個dynamic process當成static來處理，也就是說只計算這個optionality的內在價值，忽略時間價值。不過，目前業界的風嚮應該是以後要規範CSA，規定single collateral。