有多少以歐拉（Euler）命名的定理或者公式？

01-03

今天看到齊次函數裡面有個歐勒定理，查了下也叫尤拉定理，最後發現原來應該叫Euler 定理。我記得數論，幾何和複變函數里都有歐拉定理（公式），並且內容都是不同的。那到底有多少歐拉定理（公式）？為何這麼多著名的定理都以歐拉（Euler）來命名？能說說每個定理背後的故事那就極好了。

更新：下面評論有不少知友提醒我有更多以歐拉命名的定理/公式，我已經在答案里說了，我提到的都是我見過並在答題時想起來的，其他我沒想起來或者不熟悉的我就不添加了，畢竟答案末尾處已經給出了最全鏈接，點進去看就好。

——————————以下是原答案————————————

現在能想起來幾個，按領域分：

物理：

歐拉運動定律（Euler『s laws of motion）：是歐拉對牛頓運動定律的延伸，從牛頓對質點的描述延伸到對剛體（Rigid Body）的描述。歐拉第一定律描述了動量（線性）是物體質量和速度的積，第二定律描述了角動量的變化率為外加力矩。
歐拉方程（Euler"s Equation）：即 $Icdot dot{w}+w imes (Icdot w) = M$ （矩陣形式）。描述剛體轉動中角速度（w）、轉動慣量（I）和外加力矩（M）的關係。由歐二定律推導得出。
歐拉（流體）方程組（Euler Flow Equations）：流體力學方程，描述理想（非粘性）流體運動的一組偏微分方程（PDE）。
歐拉三體問題（Euler"s Three-body Problem）：關於質點在另外兩個定質點的引力場中運動的問題。與我們所熟知的三體問題（233）不一樣，因為後兩個質點是固定的，因此此問題有解析解。但同時，假如固定質點被換成有形狀的有質量物體，則只有近似解。

數學：

歐拉公式（Euler"s Formula）：即 $e^{i x}=cos(x)+i sin(x)$ ，複分析中最基礎的公式之一。大家非常熟悉的歐拉恆等式（即所謂數學中最優雅公式之一）的 $e^{i pi} + 1 = 0$ ，就是這個公式令 $x = pi$ 時的特殊情況。
歐拉-費馬定理（Euler-Fermat Theorem）：即 $a^{phi(n)}equiv 1(mod n)$ ，數論中的重要定理，同時還是RSA加密的基礎。
歐拉示性數（Euler Characteristics）：即 $chi = V-E+F$ ，是拓撲學中最基礎的不變數之一。對於與球面同胚的多面體而言， $chi = 2$ ，相信很多人小學奧數都學過。
歐拉乘數方程（Euler product formula for Riemann Zeta Function）：即 $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^s} = prod_{p prime}frac{1}{1-p^{-s}}$ ，左邊即著名的黎曼Zeta方程，而歐拉則證明了它等於右邊。數學王冠上的明珠（233 好像四流數學科普文章）黎曼猜想（Riemann Hypothesis）即是關於黎曼Zeta方程零點的猜想，而歐拉乘數方程則將這一猜想與數論聯繫起來。
歐拉路徑（Eulerian Path）：圖論最早的結論之一，源於大家都知道的柯尼斯堡七橋問題。該問題由歐拉最先解決，並提出了歐拉一筆畫定理。
歐拉圖（Euler Diagram）：與大家學集合論的時候熟悉的韋恩圖類似，實則是韋恩圖的老祖宗（唯一的區別就是韋恩圖要求把所有子集畫出來，而歐拉圖定義沒這麼嚴謹）。是早期的集合論工具。另外在圖論中的歐拉圖（Euler graph）指的是存在歐拉路徑的圖，不要混淆。
歐拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）：變分法重要公式，源於歐拉和拉格朗日在尋找等時降線問題中的工作。「歐拉公式」和「拉格朗日公式「都是史上最易混淆名詞的強力候選人，但是歐拉-拉格朗日方程僅此一家。（謝 @白如冰補充）

音樂：

歐拉-福柯種（Euler-Fokker Genus）：是一種音階。這個我只知道名字，其他根本不懂，詳情參見Euler-Fokker Genus。

上面這些東西，既有奇技淫巧，也有基礎規律。你要問我為什麼叫歐拉的公式定理這麼多？因為確實都是他做出來的啊。但是你要問我背後有沒有什麼故事，除了無與倫比的天賦和勤奮以外，我也講不出什麼道道來。不過關於歐拉對於數學技巧是多麼駕輕就熟，我覺得他對平方倒數求和的過程非常完美的做了展現（即求出並證明 $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6}$ ）。以下引自維基百科（巴塞爾問題）：

歐拉最初推導

的方法是聰明和新穎的。他把有限多項式的觀察推廣到無窮級數，並假設相同的性質對於無窮級數也是成立的。當然，歐拉的想法不是嚴密的，還需要進一步證明，但他計算了級數的部分和後發現，級數真的趨於
,不多不少。這給了他足夠的自信心，把這個結果公諸於眾。
歐拉的方法是從正弦函數的泰勒級數展開式開始：
兩邊除以
，得：

現在，
的根出現在
，其中
我們假設可以把這個無窮級數表示為線性因子的乘積，就像把多項式因式分解一樣：

如果把這個乘積展開，並把所有
的項收集在一起，我們可以看到，
的二次項係數為：
但從

原先的級數展開式中可以看出，
的係數是
。這兩個係數一定是相等的；因此，
等式兩邊乘以
就可以得出所有平方數的倒數之和。

證畢。

讓人驚呼天才。

另：歐拉作為史上最多產的數學家，在數學、物理等領域裡以他的名字命名的公式和定理比上面列出的要多得多，感興趣的可以去翻List of things named after Leonhard Euler。

再另：初中數學老師說歐拉是屈指可數的幾位精通所在時代的所有數學的數學家之一。當時不明白，後來一次一次發現這是真的。

簡而言之，因為歐拉很多的工作都比較有開創性，加之他的名氣又很大，又很高產，所以才會有這麼多的歐拉定理，歐拉公式等等。正如多位答主所提到的Wikipedia的鏈接： List of things named after Leonhard Euler已經列舉的很詳細各個以歐拉命名的公式或者定理了。歐拉是一位多產的數學家，其學術著作約有60-80冊，發表論文800多篇，內容極其豐富，對近現代數學產生了極大的影響。之前有一個網站 eulerarchive.org 最近好像掛了，不過我發現 MAA 有更全面的主頁： The Euler Archive 。上面有不少歐拉的歷史以及原著（包括一些翻譯版），有興趣可以去看看。之前我也花了一些時間去看了一些歐拉微積分和數論方向的文章，發現很適合剛上大學甚至高中生去讀。

為了盡量不和其他人重複，下面我講以下貝塞爾問題的解決過程吧（也就是平方倒數級數公式）。

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其實學過高數的人都應該知道歐拉當初是怎麼證明的，雖然不算是十分嚴格，但是非常精巧（ @Jianchi Chen 已經把那個推導寫出來了）。可是他是怎麼發現這個公式等於 $pi^2/6$ 的呢？

首先，歐拉從幾何級數的等式出發（即 $1+x+x^2+cdots+x^{n-1}=frac{1-x^n}{1-x}$ ），然後兩邊取不定積分，得到 $x+frac{x^2}{2}+cdots+frac{x^n}{n}=intfrac{1-x^n}{1-x}dx$

注意，左邊x取1的話就是調和級數的前n項（n-partial sum），它等於右邊取從0到1的定積分（瑕積分）。由於左右的相等，可以定義類似於 n=1/2-partial sum 的非整數部分和，對於這個例子： $int_{0}^1frac{1-sqrt{x}}{1-x}dx=int_{0}^1frac{1}{1+sqrt x}dx=2-2ln 2$

現在，我們已經通過積分已經把幾何級數和調和級數聯繫起來了。歐拉嘗試繼續積分，左邊得到 $frac{x^2}{1cdot 2}+frac{x^3}{2cdot 3}+cdots+frac{x^{n+1}}{ncdot(n+1)}$

此時，分母還不是我們想要的結果（我們想要得到平方項），歐拉敏銳地發現只要在積分前除以x即可。

$intfrac{1}{x}left(x+frac{x^2}{2}+cdots+frac{x^n}{n} ight)dx=x+frac{x^2}{2^2}+frac{x^3}{3^2}+cdots+frac{x^n}{n^2}$

故，我們有

$int^1_0frac{1}{x}left(int_0^xfrac{1-y^n}{1-y}dy ight)dx=1+frac{1}{4}+cdots+frac{1}{n^2}$

當 n 趨於無窮大時，我們就可以從左邊的式子估計平方倒數級數。接下來才是歐拉真正厲害之處，他的算數功底就不提了，相傳他雙目失明以後，所有的計算都是大腦中進行的。歐拉之所以是歐拉，當他看到左邊的積分後，用數值估計的方法算出來大約是1.644924....這看起來有些不可思議，但是事實就是如此。而且得到的這個數字可能對於大多數人來說都是無意義的，但是歐拉一眼就看出來是 $pi^2/6$ . （我驚呆了！！！）當他得到這個結果以後，之後的補證大家都知道了。

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再講講幾個事實：

並不是所有的歐拉定理和公式都是歐拉發現的，比如複分析的 $e^{ix}=cos x+isin x$ ，最早的發現者是 Roger Cotes，當時他給出了 $ln(cos x+isin x)=ix$ 。這個有意思的現象可以參見 Stigler"s law of eponymy。
歐拉的工作連續性很好，很多問題都是不斷的更新，得到新的結果。有一些方法，如級數、無窮分式用的特別多。
歐拉做的問題很多，但不代表證明都是完美無缺的，有不少證明是錯誤的。有一些他會事後更改，還有一些並沒有發現。比如他對 V-E+F=2 的證明即是錯誤的，儘管很有說服力。